数学建模论文学校广播站网络的建立与优化.docx
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数学建模论文学校广播站网络的建立与优化
第七届数学建模竞赛
题号A题
论文题目
学校广播站网络的建立与优化
姓名
XXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXXX
手机
班级
诚信承诺书
本论文是我组独立完成,论文中所有引用其他已有成果处均已标明。
论文一经提交,组委会有权对其进行审阅、评定,并对获奖论文有权组织公开发表。
如果论文是抄袭他人成果,本组将承担所有相关责任。
签名:
XXXXXXXXXXXXXXXX
摘要
本问题要求我们建立一种合理的模型,使得学校的十二个广播站能够达到信息互通的目的,组成广播站网络。
首先通过了MATLAB对十二组坐标数据进行处理和分析,得出了十二个坐标点,并通过算法得到了每两点之间的距离。
在对数据的分析之后,建立一个模型。
该模型为:
运用“floyd”经典算法对题目进行分析和研究,得出两个“欧拉回路”,再通过比较两个“欧拉回路”之间的坐标点的最短距离并连接,从而最终形成一张最佳的广播站网络。
关键词:
floyd欧拉回路最短距离
问题重述
为丰富同学的业余生活,现学校要架设12个广播站,选取适当的坐标系后,它们的位置可以用如下的坐标表示为:
,
,
,
。
现在要求把这些广播站连接成一张网络,而连线费用与长度成正比,应该如何连接才能使总费用最省。
对于所建立的网络的理解,可以是多种多样的。
例如对于每个站点的连接要求,是每个点都要和其余11个站点都要连接还是一条线将12个站点串起来等等,对于这些我们都要进行分析。
问题的分析
问题是通过建立一个预测模型,来计算在十二个广播站之间建立网络的最短长度。
建立模型的关键:
能够计算出广播站点之间的最短距离,组成最短距离的广播站网络。
通过对问题的分析,在建立模型的过程中需要做到以下几点;
1)建立一个简单实用的数学模型;
2)通过算法对每组数据进行处理,计算出两点之间的距离;
3)假设出多种模型方案,利用两点之间的距离算出总距离,寻找出最短总距离;
4)将优化后的最短距离利用MATLAB进行绘图,形象化的以图片形式呈现出广播站网络。
对于网络建立的方法,我们做出如下几种假设:
1)将所有的站点两两相连,形成每个站点都与其余十一个站点互通的网络连接方式,此种的连接方式,线路总长始终是一个定值;
2)寻找任意一个站点,将其余的十一点都连接到这个站点,如此也能形成信息互通的广播站网络,以这样的方式连接的网络,有十二种连接总长结果;
3)从A点开始,将该点与其最近点连接,形成“欧拉回路”,之后再将“欧拉回路”以最短的线路连接,如此便有了一张信息互通的广播站网络。
然后我们对这三种假设进行对比:
假设一中,所有站点两两相连,总长即是将所有两点之间的距离相加,并未符合题目中距离最短,费用最少的要求。
假设二中以任意点为起点,再将另外十一点与之连接,这十一点与该点距离有长有短,所以线路也并未达到最短。
假设三中,首先是利用“floyd”经典算法算出最短距离,再将最短距离的两点连接,如此所以的连接距离皆是最短,总长便也是最短[1],符合题目要求。
通过对三种假设的阐释对比,我们了解到假设三的方法形成的网络相比较假设一和假设二是更加优化的,所以我们以假设三的网络连接方法建立模型。
模型假设
模型建立的假设:
1)连线费用与长度成正比;
2)所提供的广播站坐标准确,无误差;
3)广播站之间可以直线连接线路,即广播站之间没有阻隔;
4)不考虑外界干扰因素。
符号说明
:
第
个点的横坐标;
:
第
个点的纵坐标;
:
最近点的距离总和,它表示每个点与其最近的一个点的距离之和;
:
DF与IL距离之和,它表示在求与其最近一个点距离之和过程中,最近点重复的两端线段的距离之和;
:
GF的距离,它表示在将最近点连接之后,坐标点被分为两部分,用最近的坐标点将这两部分连接,S3即为这两最近坐标点之间的距离之和;
:
最近的网络连接距离,它表示用最短的连接方式将坐标点连接成网络的这段距离。
基本模型的建立
根据对题目的初步分析,设想出用“floyd”算法来建立一种最优化的数学模型。
对十二个坐标点:
,
,
,
进行分析,我们可以通过使用MATLAB来画出十二个点的位置的分布图[2]。
于是,我们把十二个坐标点数据输入MATLAB中做数据处理,得到了十二个广播站的坐标分布图,如图1所示:
图1十二个广播站的坐标分布图
我们可以清楚的看到,十二个点大致都在范围(0,0)到(35,20)中,于是试图通过某种算法来把这些广播站连接成一张网络,要求线段最短,即费用最少。
通过MATLAB计算出了每两点之间的距离,得到所有两点之间最短距离,可以从这些数据中得到最短连线的方法。
以下是我们计算出的数据[3]:
表1:
两点之间的距离
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
A
0
7.21
13.0
7.21
11.4
13.4
20.6
20.6
24.5
20.1
26.0
29.4
B
7.2
0
17.7
10.1
8.6
14.3
19.7
17.6
20.1
15.2
20.1
24.6
C
13.0
17.7
0
7.6
14.1
8.5
15.0
18.6
24.3
21.9
29.1
29.1
D
7.21
10.1
7.6
0
7.6
6.4
13.8
15.1
20.0
16.4
23.4
25.0
E
11.4
8.6
14.1
7.6
0
7.2
11.1
9.4
13.1
9.0
15.8
18.1
F
13.4
14.3
8.54
6.4
7.2
0
7.6
10.1
15.8
13.6
20.8
20.6
G
20.6
19.7
15
13.8
11.1
7.6
0
5.8
11.3
11.7
18.0
15.2
H
20.6
17.6
18.6
15.1
9.4
10.1
5.8
0
5.8
6.0
12.2
10.4
I
24.5
20.1
24.3
20.0
13.1
15.8
11.3
5.8
0
5.0
7.2
5
J
20.1
15.2
21.9
16.4
9.0
13.6
11.7
6.0
5.0
0
7.2
9.4
K
26.0
20.1
29.1
23.4
15.8
20.8
18.0
12.2
7.2
7.2
0
7.6
L
29.4
24.6
29.1
25.0
18.1
20.6
15.2
10.4
5.0
9.4
7.6
0
模型的求解
在计算出每两点之间距离的基础之上,可以计算出与每点距离最近的点,通过表1的数据,再利用“floyd”经典算法,得出所有连线最短的点的对应点,如表2所示:
表2:
广播站网络中最近坐标点
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
D/B
A
D
F
F
D
H
I/G
L/J
I
J
I
在对数据进行判断后,通过A(4,7)与另外十一个坐标点之间距离的比较,得出据A点的最近点分别是B(10,3)和D(8,13),将A点与该两点连接,以此类推,将会得出另外十一个坐标点的最近点,并将其连接,最终会形成一张广播站网络。
由此,我们得到这样一个计算方法:
对所有每一个点与其最近的一个点的距离求和,并减去最近点中两个点相互双向是最近的距离,然后加上相互之间不存在最近点的线段。
这样就求得了题目所要求的最近连线距离。
于是,我们推导出公式:
其中,
是所有坐标点与其最近的一个点的距离之和,公式如下:
表示从第一行第一列到第十二行第十二列做循环,寻找坐标点中所有最近两点之间的距离。
是所有最近点中重复计算的距离之和,公式如下:
是在使用“flyod”算法,形成两个“欧拉回路”之后,连接两个“欧拉回路”的最短距离,公式如下:
通过我们在MATLAB中编程序得出的最近点结果,得出表2内容并将这些点依次连接(即A与B、D连接,B与A连接,C与D连接,D与A、F连接,F与D、E连接,E与F连接,G与H连接,H与G、I连接,I与L、J连接,J与I、K连接,K与J连接,L与I连接)。
得出如图2的坐标连接图:
图2“欧拉回路”图
从图2中可以发现两个“欧拉回路”未进行连接,也就是还没有形成一个最短距离的网络。
所以仍要比较“欧拉回路”中,两个回路之间最短距离的连线。
我们通过使用MATLAB计算FG、FH、EG、EH之间的距离,比较两点之间距离,可以发现FG=7.6158,FH=10.198,EG=11.18,EH=9.434,从而得出FG为最短距离的连线。
所以通过FG将两部分连接起来,连接之后的坐标连接图即为最短网络连接图,如图3所示:
图3最短距离的广播站网络图
图3是最优化的广播站网络,网络之中所有两点之间的距离是通过“floyd”经典算法,得出的最短距离。
“floyd”经典算法对于本题来说是最合适的计算距离的算法。
我们运用公式
,代入已知的坐标点,得出结果:
由此,我们把通过MATLAB处理的数据,即表一中的数据代入公式中,得到结果:
综上所述,利用“floyd”经典算法,我们计算出的最优广播站网络的最短连接距离为72.2101。
模型的优缺点
1、对于给出数据,我们对数据进行处理,将其转化为有用的数据,如:
附件中的各点的坐标转化为点与点之间的距离。
2、模型建立的思路简单清晰,并且可以得到很好的效果。
3、模型的假设很符合实际生活,以致模型可以很好的运用于相对应得实际生活中。
4、没有考虑特殊情况在内,如:
广播站之间的情况没有考虑,若广播站之间有阻隔之类的问题。
5、如果广播站站点多,数据就会复杂很多,运算本模型不够便捷。
参考文献
[1]张圣勤,数学实验与数学建模,复旦大学出版社,2004.
[2]陈杰,MATLAB宝典,电子工业出版社,2010.
[3]徐瑞黄兆光阎凤玉,MATLAB科学计算与工程分析,科学出版社,2008.
附件:
以下是我们在MATLAB中编译的程序:
x=[410581513202328243033];
y=[73201310172015129512];
plot(x
(1),y
(1),'+')
text(x
(1),y
(1)+0.7,'A')
holdon
plot(x
(2),y
(2),'+')
text(x
(2),y
(2)+0.7,'B')
holdon
plot(x(3),y(3),'+')
text(x(3),y(3)+0.7,'C')
holdon
plot(x(4),y(4),'+')
text(x(4),y(4)+0.7,'D')
holdon
plot(x(5),y(5),'+')
text(x(5),y(5)+0.7,'E')
holdon
plot(x(6),y(6),'+')
text(x(6),y(6)+0.7,'F')
holdon
plot(x(7),y(7),'+')
text(x(7),y(7)+0.7,'G')
holdon
plot(x(8),y(8),'+')
text(x(8),y(8)+0.7,'H')
holdon
plot(x(9),y(9),'+')
text(x(9),y(9)+0.7,'I')
holdon
plot(x(10),y(10),'+')
text(x(10),y(10)+0.7,'J')
holdon
plot(x(11),y(11),'+')
text(x(11),y(11)+0.7,'K')
holdon
plot(x(12),y(12),'+')
text(x(12),y(12)+0.7,'L')
fori=1:
12%求两点间的距离
forj=1:
12
dist(i,j)=((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2)^0.5;
ifdist(i,j)==0
dist(i,j)=inf;
end
end
end
display(dist);
n=min(dist)
fori=1:
12
forj=1:
12
ifdist(i,j)==n(1,j)
m(2,j)=i;
h(1,j)=j;
h(i+1,j)=m(2,j);
m(1,j)=j;
end
end
end
h
fors=1:
12
holdon
plot([x(s),x(m(2,s))],[y(s),y(m(2,s))])
end
plot([x(6),x(7)],[y(6),y(7)])%将F点和G点相连
axis([035035])
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