中考中的三角尺问题.docx
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中考中的三角尺问题.docx
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中考中的三角尺问题
1.(2005年青岛市)在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90º,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。
图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?
并结合图②加以证明。
(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?
若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由。
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:
MB=1:
3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?
并结合图④加以证明。
答案:
解:
(1)连结PC
……5分
(2)共有四种情况,学生每写出一种得1分,共4分
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB
③当CE=1时,此时PE=BE
……9分
(3)MD:
ME=1:
3
A
2、一位同学拿来了两块45°三角尺ΔACB做了一个探究活动:
将ΔMNK直角顶点M放在ΔABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a。
(1)如图1,两三角尺的重叠部分为ΔACM,则重叠部分的面积为,周长为。
(2)将图1中的ΔMNK绕顶点逆时针旋转45°,如图2,此时重叠部分的面积为,周长为。
(3)如果将ΔMNK绕M旋转到不同于图1、图2的图形,如图3,猜想此时重叠部分的面积有何变化?
证明你发现的结论。
3、如图1,将两个等腰直角三角板叠放在一起,使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合,并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转。
在旋转过程中,下面三角板的斜边被分成三条线段,我们来研究这三条线段之间的数量关系。
实验与振作:
如图2,如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时,它的斜边恰好旋转到CN的位置,请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形,并涂上阴影。
观察这三个正方形的面积之间的关系。
猜想与探究
如图3,直角ΔABC中,AC=BC,∠ACB=90°。
M、N是AB边上的点,∠MCN=45°。
作DA⊥AB于A,截取DA=NB,并连接DC、DM。
我们来证明线段CD与线段CN相等。
∵∠CAB=∠CBA=45°,且∵DA⊥AB于A,∴∠DAC=45°。
∴∠DAC=∠CBA。
又∴DA=NB,AB=AC,∴ΔCAD≌ΔCNB。
∴CD=CN。
请你继续解答:
(1)线段MD与线段MN相等吗?
为什么?
(2)线段AM、NM与NB有怎样的数量关系?
为什么?
拓广与应用
如图4,已知线段AB上任意一点M(AM 若能,请在图4中画出N点的位置,并简要说明作法;若不能,请说明理由。 4.(2006年内蒙古鄂尔多斯)如图14(),两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起,并且有公共的直角顶点. (1)将图14()中的绕点顺时针旋转角,在图14()中作出旋转后的(保留作图痕迹,不写作法,不证明). (2)在图14()中,你发现线段,的数量关系是,直线,相交成度角. (3)将图14()中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图14(),这时 (2)中的两个结论是否成立? 作出判断并说明理由.若绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立吗? 作出判断,不必说明理由. 解: (1)如图3()(字母位置互换扣1分,无弧扣1分,不连结扣1分,扣完为止)2分 (2);(每空1分)4分 (3)成立.如图3() 即: (或由旋转得)5分 6分 7分 延长交于,交于(下面的证法较多) ,8分 9分 旋转更大角时,结论仍然成立.10分 5、如下面两个图,四边形ABCD是正方形, (1)在图1中,直角三角尺AMN的直角顶固定在A处,在旋转过程中一条直角边和CB的延长线交于一点P,另一条直角边CD交于Q点。 请你通过测量PB和DQ的长度,猜想PB和DQ满足的数量关系和怎样的变换关系,并证明你的猜想。 (2)在图2中,直角三角尺AON的45°角顶固定在A处,在旋转过程中一条直角边和CB交于点R,斜边AN和CD交于Q点。 请你通过测量BR和RQ及DQ的长度,猜想QR与BR、DQ满足的数量关系,并利用上面的变换方法证明你的猜想。 解: (1)PB=DQDQ可以绕点A旋转90°到PB。 23.(2006年河北省课程改革实验区)如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转. (1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想; (2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时, (1)中的猜想还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 23.解: (1)BM=FN. …………………………………………………………………(1分) 证明: ∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=∠F=45°,OB=OF. 又∵∠BOM=∠FON,∴△OBM≌△OFN. ∴BM=FN.…………………………………………………………(4分) (2)BM=FN仍然成立.…………………………………………………………(5分) 证明: ∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF. ∴∠MBO=∠NFO=135°. 又∵∠MOB=∠NOF,∴△OBM≌△OFN. ∴BM=FN.………………………………………………………(8分) 23.(2004年河北省课程改革实验区)(本小题满分8分) 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD、把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. ⑴ 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图①),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论? 并证明你的结论; ⑵ 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图②),你在⑴中得到的结论还成立吗? 简要说明理由. 23. (1)BE=CF.……………………………………………………………………………2分 证明: 在△ABE和△ACF中, ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°, ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).………………4分 ∴BE=CF.………………………………………………………………………5分 (2)BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF全等,BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.…………………………………………8分 说明: 对于 (2),如果学生仍按照 (1)中的证明格式书写,同样可得本段满分. 23.((2005年河北省课程改革实验区)) 如图14—1,14—2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F. (1)如图14—1,当点E在AB边的中点位置时: ①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是; ②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是; ③请证明你的上述两个猜想. (2)如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系. 26.(2006年常德市)把两块全等的直角三角形和叠放在一起,使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合,其中,,,把三角板固定不动,让三角板绕点旋转,设射线与射线相交于点,射线与线段相交于点. (1)如图9,当射线经过点,即点与点重合时,易证.此时, .(2分) (2)将三角板由图9所示的位置绕点沿逆时针方向旋转,设旋转角为.其中 ,问的值是否改变? 说明你的理由.(5分) (3)在 (2)的条件下,设,两块三角板重叠面积为,求与的函数关系式.(图10,图11供解题用)(6分) 26.解: (1)8 (2)的值不会改变. 理由如下: 在与中, 即 5分 7分 (3)情形1: 当时,,即,此时两三角板重叠部分为四边形,过作于,于, 由 (2)知: 得 于是 10分 情形2: 当时,时,即,此时两三角板重叠部分为, 由于,,易证: , 即解得 于是 综上所述,当时, 当时, 23.(2006年广东省梅州市)用两个全等的正方形和拼成一个矩形,把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合,且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转. (1)当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时,如图甲,通过观察或测量与的长度,你能得到什么结论? 并证明你的结论. (2)当直角三角尺的两直角边分别与的延长线,的延长线相交于点时(如图乙),你在图甲中得到的结论还成立吗? 简要说明理由. 23.解: (1). 四边形和都是正方形, , ,, , . (2)结论仍然成立. 同理可证, . 24、如图中,四边形ABCD是由等边三角形ABD与顶角∠BCD为120°的等腰三角形BCD拼成,三角尺CEF中,∠ECF=60°。 (1)如图1,三角尺的一边CE与边AB交于点M,另一边CF交边AD于点N,量一量线段BM、MN、DN的长,换个位置试一试,猜想这三条线段之间满足的数量关系,并证明。 G E (2)如图2,将三角尺绕点C转动,使边CE交边BA的延长线于点M,另一边CF交AD的延长线于点N,写出线段BM、MN、DN之间满足的数量关系,并证明。 、 解: (1)△BCG≌△CDN;CG=CN;△MCG≌△MCN; 6、已知: 将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。 将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角a(0° (1)当a=30°时(如图②),求证: AG=DH; (2)当a=60°时(如图), (1)中的结论是否成立? 请写出你的结论,并说明理由;
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