鲁教版七年级数学上册复习知识点总结.docx
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鲁教版七年级数学上册复习知识点总结
鲁教版初二上数学知识点梳理
鲁教版初二上数学知识点梳理
第一章三角形
⒈三角形的定义:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所
组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表
示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示,AC可用b
_A
表示,BC可用a表示.
注意:
(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;
(2)三角形是一个封闭的图形;
(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义.
⒉三角形的分类:
_B_C
(1)按边分类:
(2)按角分类:
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
三角形等边三角形
不等边三角形
直角三象形
三角形
锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
⒊三角形的主要线段的定义:
(1)三角形的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段.
A
表示法:
1.AD是△ABC的BC上的中线.
2.BD=DC=
1
2
BC.
BDC注意:
①三角形的中线是线段;
②三角形三条中线全在三角形的内部;
③三角形三条中线交于三角形内部一点;
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
(2)三角形的角平分线
A三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
21
表示法:
1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=
1
2
∠BAC.
BDC
注意:
①三角形的角平分线是线段;
②三角形三条角平分线全在三角形的内部;
1
鲁教版初二上数学知识点梳理
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;
④用量角器画三角形的角平分线.
(3)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.
A
表示法:
1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
BDC
注意:
①三角形的高是线段;
②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两
条高在形外;
③三角形三条高所在直线交于一点.
如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三
角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点
上.
图5图6图7
4.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意:
(1)三边关系的依据是:
两点之间线段是短;
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
3.三角形的角与角之间的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180;(三角形的内角和定理)
(2)直角三角形的两个锐角互余.
图86.三角形的稳定性:
三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性.
注意:
(1)三角形具有稳定性;
(2)四边形没有稳定性.
7.三角形全等:
全等形:
能够完全重合的图形叫做全等形.
全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
对应顶点、对应边、对应角:
把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点;
重合的边叫做对应边;重合的角叫做对应角.
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
2
鲁教版初二上数学知识点梳理
三角形全等的判定方法:
3.三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
5.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
6.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
性质
对应角相等
对应边相等
边边边SSS
全等形全等三角形边角边SAS应用
判定角边角ASA
角角边AAS
斜边、直角边HL
角平分线
作图
性质与判定定理
三角形全等的应用:
测距离
要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
第二章轴对称
轴对称现象
4.轴对称图形:
(1)如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,这个图
形叫轴对称图形。
这条直线叫对称轴。
(注意:
对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。
(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。
例:
①圆的对称轴是它的直径(×)直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆
心的直线或直径所在的直线);
②角的对称轴是它的角平分线(×)角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是
角平分线所在的直线);
③正方形的对角线是正方形的对称轴(×)对角线也是线段而不是直线。
1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫
做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)
3
鲁教版初二上数学知识点梳理
对称。
7.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图
关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
5.轴对称:
(1)对于两个图形,如果沿一条直线折叠后,它们能够完全重合,那么称这两个
图形成轴对称,这条直线就是对称轴。
(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。
(2)轴对称图形与轴对称的关系:
①联系:
都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个
整体时,它是一个轴对称图形;
②区别:
轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。
用坐标表示轴对称小结:
2.在平面直角坐标系中
①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;
②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;
③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数;
④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横(纵)坐标的关系;
⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为_(x,-y)_____.
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为___(-x,y)___.
简单的轴对称图形
有两边相等的三角形叫等腰三角形。
1.三线合一定理:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线
合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴)。
注意:
对于一般的等腰三角形,一定要说
清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高
及其所对的角的平分线。
2.等角对等边,等边对等角:
如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等;如果
一个三角形有两个边相等,那么它们所对的角也相等。
3.角平分线定理:
角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。
4.中垂线定理
(1)概念:
既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线;
(2)定理:
垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
5.(等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)
理解:
已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
6、(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
4
鲁教版初二上数学知识点梳理
0
8.在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
探索轴对称的性质
6.对应点所连的线段被对称轴垂直平分;
7.轴对称图形对应线段相等,对应角相等。
利用轴对称设计图案
3.画点A关于直线L的对应点A′:
1、过点A作对称轴L的垂线,垂足为B
2、延长AB至A′,使得BA′=AB
3、点A′就是点A关于直线L的对应点
4.画线段AB关于L的对应线段A′B′:
1、过点A作对称轴L的垂线AA′,使CA=CA′
2、过点A作对称轴L的垂线BB′,使DB=DB′知识回顾:
3、连接A′B′,A′B′即是关于直线L的对应线段。
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形轴对称
AA'
A
图形
BCC'B'
BC
区别
一个
(1)轴对称图形是指()
具有特殊形状的图形,
只对()图形而言;
一个
(2)对称轴(不一)定只有一条
两个
(1)轴对称是指()图形
的位置关系,必须涉及
()图形;
两个
(2)只有()对称轴.
一条
如果把轴对称图形沿对称轴如果把两个成轴对称的图形
联系
分成两部分,那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.
拼在一起看成一个整体,那
么它就是一个轴对称图形.
第三章勾股定理
探索勾股定理
2+b2=c2,即直角三角形勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a
两直角边的平方和等于斜边的平方。
(一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方
形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积)
在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。
注意:
电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。
勾股数
2+b2=c
2
,则该三角形是直角三角形。
6.勾股定理的逆定理:
若三角形的三边长a,b,c满足a
在?
ABC中,a,b,c为三边长,其中c为最大边,
若a
2+b2=c2,则?
ABC为直角三角形;
2
若a
22
+b>c
则?
ABC为锐角三角形;
若a
2+b2 ABC为钝角三角形。 5 鲁教版初二上数学知识点梳理 9.勾股数: 满足a2+b2=c2的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数),称为 勾股数(勾股数是正整数)。 规律: 一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同乘以或除以同一个 正数),仍能够成直角三角形。 一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。 常用勾股数: 3,4,5(三四五)9,12,15(3,4,5的三倍)5,12,13(5.12记一生) 8,15,17(八月十五在一起)6,8,10(3,4,5的两倍)7,24,25(企鹅是二百五) 勾股数须知: 连续的勾股数只有3,4,5;连续的偶数勾股数只有6,8,10。 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。 根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤: (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方,另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与另两边的平方和,如果相等则此三角形是直角三角形。 不要盲 目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。 勾股定理的作用: 勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有: (1)已知直角三角形的任两边,求第三边问题; (2)证明三角形中的某些线段的平方关系; (3)作长为无理数的线段. 注意: 若已知直角三角形的两边求第三边时,先确定是直角边还是斜边。 若求直角边, 则利用勾股定理的变形式或;若求斜边,则利用;若不能确定则分以上两种 情况讨论。 题型一: 直接考查勾股定理 例1.在ABC中,C90.分析: 直接应用勾股定理 222 abc ⑴已知AC6,BC8.求AB的长解: ⑴ 2210 ABACBC ⑵已知AB17,AC15,求BC的长解: ⑵ 22 BCABAC 8 题型二: 应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC中,ACB90,AB5cm,BC3cm,CDAB于D,CD= ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则这个三角形的面积为 分析: 在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘 积.有时可根据勾股定理列方程求解 解: ⑴ 224 ACBC ACABBC,CD2.4 AB 6 鲁教版初二上数学知识点梳理 A D B C ⑵设两直角边的长分别为3k,4k 222 (3k)(4k)15,k3,S54 ⑶设两直角边分别为a,b,则ab17, 22289 ab,可得ab60 1 Sab 2 30 2 cm 例3.如图ABC中,C90,12,CD1.5,BD2.5,求AC的长 C D 1 2 A B E 分析: 此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解: 作DEAB于E, 12,C90 DECD1.5 在BDE中 22 BED90,BEBDDE2 RtACDRtAED ACAE 在RtABC中,C90 222 ABACBC, 222 (AEEB)AC4AC3 例4.如图RtABC,C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 C B A 答案: 6 题型三: 实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树,一棵高8cm,另一棵高2cm,两树相距8cm,一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了m 7 鲁教版初二上数学知识点梳理 A D E BC 分析: 根据题意建立数学模型,如图AB8m,CD2m,BC8m,过点D作DEAB, 垂足为E,则AE6m,DE8m 在RtADE中,由勾股定理得 2210 ADAEDE 答案: 10m 题型四: 应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a,b,c,判定ABC是否为Rt ①a1.5,b2,c2.5② 5 a,b1, 4 c 2 3 解: ① 221.52226.25 ab, 22.526.25 c ABC是直角三角形且C90 ② 2213 bc, 9 225 a, 16 222 bcaABC不是直角三角形 例7.三边长为a,b,c满足ab10,ab18,c8的三角形是什么形状? 解: 此三角形是直角三角形 理由: 22()2264 ababab,且 264 c 222 abc所以此三角形是直角三角形 题型五: 勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC中,AB13cm,BC10cm,BC边上的中线AD12cm,求证: ABAC 证明: A B DC AD为中线,BDDC5cm 在ABD中, 22169 ADBD, 2169 AB 222 ADBDAB, ADB, 90 222169 ACADDC,AC13cm,ABAC 8 鲁教版初二上数学知识点梳理 第四章实数 正整数 整数零 有理数负整数有限小数或无限循环小数 正分数 分数 负分数小数 10.实数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 实数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。 a(a0)绝对值 |a|0(a0) a(a0) 无理数 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反过来,任何有限小数或无限循环小数也都 是有理数。 8.无理数的概念: 无限不循环小数叫做无理数(两个条件: ①无限②不循环)。 练习: 下列说法正确的是() (A)无限小数是无理数; (B)带根号的数是无理数; (C)无理数是开方开不尽的数; (D)无理数包括正无理数和负无理数 9.无理数: (1)特定意义的数,如∏; (2)特定结构的数;如.020*********, (3)带有根号的数,但根号下的数字开不尽方,如 10.分类: 正无理数和负无理数。 9 鲁教版初二上数学知识点梳理 2 算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a,即xa 那么这个非负数x就叫做a的算术平方根,记为a, 算术平方根为非负数a0 正数的平方根有2个,它们互为相反数 平方根0的平方根是0 负数没有平方根 11. 无理数的表示 2 定义: 如果一个数的平方等于,即,那么这个数就 axa 叫做的平方根,记为 aa 正数的立方根是正数 立方根负数的立方根是负数 00 的立方根是 3 定义: 如果一个数的立方等于,即,那么这个数 xaxax 3 就叫做a的立方根,记为a. 概念有理数和无理数统称实数 正数有理数 分类或0 无理数 负数3.实数及其相关概念 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 平方根 11.定义: 如果一个数x的平方等于a,即x 2=a,那么这个数x叫做a的平方根(也叫做二次 方根)。 12.表示方法: 正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根;另一个是-,它们是 一对互为相反数,合起来是 13.开平方: 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。 开平方与乘方是互为逆运算。 判断: (1)2是4的平方根() (2)-2是4的平方根() (3)4的平方根是2() (4)4的算术平方根是-2() (5)17的平方根是() (6)-16的平方根是-4() 小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 10 鲁教版初二上数学知识点梳理 0只有一个平方根,它是0本身; 负数没有平方根。 立方根 12.定义: 如果一个数x的立方等于a,即x 3=a,那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 13.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 14.开立方: 求一个数a的立方根的运算,叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 15.平方根与立方根的联系与区别: (1)联系: ①0的平方根、立方根都有一个是0; ②平方根、立方根都是开方的结果。 (2)区别: ①定义不同;②个数不同;③表示方法不同;④被开方数的取值范围不同。 方根的估算 14.估算无理数的方法是 (1)通过平方运算,采用“夹逼法”,确定真值所在范围; (2)根 据问题中误差允许的范围,在真值的范围内取出近似值。 15.“精确到”与“误差小于”意义不同。 如精确到1m是四舍五入到个位,答案惟一;误差 小于1m,答案在真值左右1m都符合题意,答案不惟一。 在本章中误差小于1m就是估算到 个位,误差小于10m就是估算到十位。 用计算器开方 实数 知识回顾: 1、统称有理数; 2、叫做无理数; 3、有理数分为小数和小数; 4、有理数包括﹑零﹑。 5.实数: 有理数和无理数统称为实数(正实数,0和负实数)。 6.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的 意义完全一样。 7.每一个实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的每一点都表示一个实数,即实数 和数轴上的点是一一对应的。 例: a是一个实数,它的相反数是________,绝对值是________。 如果a≠0,那么它的倒数是________。 第五章平面直角坐标系 7.确定位置 引例: 电影票、角、教室座位、经纬度 在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a和b记作(a,b), a表示: 排、行、经度、角度,, b表示: 号、列、纬度、距离,, 生活中还有哪些确定
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