几何综合三大变换学而思培优.docx

几何综合三大变换学而思培优.docx

《几何综合三大变换学而思培优.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何综合三大变换学而思培优.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

几何综合三大变换学而思培优

第十讲

几何综合——三大变换

知识点睛

1．平移变换

2．轴对称变换

①折叠

②构造对称

3．旋转变换

板块一平移变换

平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法。

【例1】已知△ABC，AD∥BE，若∠CBE＝4∠DAC＝80°，求∠C的度数。

【例2】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，且BD＝BC，AC⊥BD。

求证：

AD＋BC＝2CM。

【例3】已知：

如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H。

⑴求证：

FG＝DE。

⑵求证：

。

【例4】如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是AB、AC上的点且AD＝CE。

求证：

2DE≥BC。

【例5】（2007北京）如图，已知△ABC。

⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连结AD、AE，写出使此　图中只存在

两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞AD＋AE。

板块二轴对称变换

【例6】把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上，B'C'交CD于点N，已知正方形的边长为1，求△DB'N的周长。

【例7】（2009山西太原）问题解决：

如图1，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕。

当时，求的值。

【例8】⑴（2009浙江温州）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA'恰好与⊙O相切于点A'（△EFA'与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA'交CD边于点G，则A'G的长是________。

⑵将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是________。

【例9】（2010北京）问题：

已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD＝BA。

探究∠DBC与∠ABC度数的比值。

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

⑴当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全下图。

观察图形，AB与AC得数量关系为________；

当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_______；

可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_________。

⑵当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与⑴中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

【例10】（海淀教研资料）已知：

如图，在△ABC中，D是BC的中点，若∠A＝60°，∠B＝100°，∠EDC＝80°且，求AC的长。

板块三旋转变换（加强旋转中全等及相似的应用）

【例11】（2008北京）问题：

如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC。

若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值。

小聪同学的思路是：

延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

⑴写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；

⑵将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明。

⑶若图1中，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求的值（用含的式子表示）。

【例12】（2009北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线EF（如图1）。

⑴在图1中画图探究：

①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到　线段EG1。

判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；

②当为线段的延长线上任意一点时，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线。

判断直线与直线的位置关系，画出图形并直接写出你的结论。

⑵若，，，在①的条件下，设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

测　试　题

1.（2010上海）已知正方形中，点在边上，，（如图所示）把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为。

2.（2010黄冈）如图矩形纸片，，，上有一点，，上有一点，，过作交于，将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点，则的长是________cm。

3.（2010东城期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为和。

将矩形绕点顺时针旋转度，得到四边形，使得边与轴交于点，此时边、分别与边所在的直线相交于点、。

⑴如图1，当点与点重合时，求点的坐标；

⑵在⑴的条件下，求的值；

⑶如图2，若点与点不重合，则的值是否发生变化？

若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由。

4.（2010昌平期末）和是绕点旋转的两个相似三角形，其中与、与为对应角。

⑴如图1，若和分别是以与为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点、、在同一条直线上的位置时，请直接写出线段与线段的关系；

⑵若和为含有角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段与线段的关系，并说明理由；

⑶若和为如图3的两个三角形，且，，在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数是否改变？

若不改变，直接用含、的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由。

5.（2008实验中学单元测试）如图，是等腰三角形，，与关于直线对称。

连接和，如果，那么和的数量关系是。

答　　　案

1．或

2．

3．⑴点的坐标为；⑵略；⑶略。

4．⑴略；⑵略；⑶略。

5．。