数列通项公式的求法与数列求和方法精讲与练习含答案.docx
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数列通项公式的求法与数列求和方法精讲与练习含答案
数列的通项公式的求法
1、观察法(即猜想法,不完全归纳法)
观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系
例1:
根据数列的前4,写出它的一个通项公式:
9,99,999,9999,......
2、公式法
若已知数列的前n项和与项数n的关系,求数列的通项公式可用公式法求解。
例2:
的前n项和,求的通项公式。
3、由递推公式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。
1.迭加法
已知递推关系
例3已知数列满足,求数列的通项公式。
变式:
已知数列满足,求数列的通项公式。
2.迭乘法
已知递推关系是
例4:
已知数列中,,求的通项公式。
变式:
已知数列满足,求数列的通项公式。
3、待定系数法
例5已知数列满足,求数列的通项公式。
变式:
已知数列满足,求数列的通项公式。
4、数学归纳法
例6已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
评注:
本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
数列求和
(一)主要知识:
1.直接法:
即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式:
(2)等比数列的求和公式(切记:
公比含字母时一定要讨论)
2.公式法:
3.错位相减法:
比如
4.裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式:
;
;
;
。
5.分组求和法:
把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
6.合并求和法:
如求的和。
7.倒序相加法:
8.其它求和法:
如归纳猜想法,奇偶法等
(二)主要方法:
1.求数列的和注意方法的选取:
关键是看数列的通项公式;
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3.转化思想的运用;
(三)例题分析:
例1.求和:
①
②
③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n项和
思路分析:
通过分组,直接用公式求和。
解:
①
②
(1)当时,
(2)当
③
总结:
运用等比数列前n项和公式时,要注意公比讨论。
2.错位相减法求和
例2.已知数列,求前n项和。
思路分析:
已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列对应项积,可用错位相减法求和。
解:
当
当
3.裂项相消法求和
例3.求和
解:
练习:
求答案:
4.倒序相加法求和
例4求证:
思路分析:
由可用倒序相加法求和。
证:
令
则
等式成立
5.其它求和方法
还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。
例5.已知数列。
思路分析:
,通过分组,对n分奇偶讨论求和。
解:
,若
若
练习:
已知成等差数列,n为正偶数,
又,试比较与3的大小。
解:
可求得,∵n为正偶数,
(四)、小结:
1.掌握各种求和基本方法;
2.利用等比数列求和公式时注意分讨论。
同步练习:
数列的通项公式与求和
练习1
练习2
练习3
练习4
练习5
练习6
练习7
练习8等比数列的前项和Sn=2n-1,则
练习9求和:
5,55,555,5555,…,,…;
练习10求和:
练习11求和:
练习12设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.
答案
练习1答案:
练习2证明:
(1)
注意到:
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得:
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S
(1)/1=a
(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由
(1)知,
{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列。
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1)(*)
代入a(n+1)=S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)(n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N)
由(*)式得:
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知:
S(n+1)=4*a(n
练习3答案:
1)
a1=S1=1/3(a1-1)
a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2
3a2=a2-1+3/2
2a2=1/2
a2=1/4
2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1
相减:
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/2
所以{an}为等比数列!
练习4累加法,答案:
练习5累乘法,答案:
练习6待定系数法,答案:
练习7倒数法,答案:
练习8公式法,答案:
练习9答案:
.
练习10,列项相消法,答案
练习11,,列项相消法
1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]
所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)]
=1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)]
=1+2*[1/2-1/(n+1)]
=2-2/(n+1)
练习12(错位相减法)
答案:
解:
(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.所以,.(Ⅱ).,①,②
②-①得,
.
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