新北师大版八年级上册数学第一章勾股定理.docx

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新北师大版八年级上册数学第一章勾股定理

第一章勾股定理

第1节探索勾股定理

教学目标

1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

重点、难点

重点：

了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：

勾股定理的发现。

教学过程：

3个课时

第一课时认识勾股定理

一、导入新课

人类向太空发射“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

它是智能生物从自然界发现的通用数学知识。

二、问题

从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6米，那么需要多长的钢索？

三、做一做：

P2

观察下图，并回答问题：

（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？

与同伴进行交流。

（2）如图，直角三角形三边的平分别是什么多少？

它们满足上面所猜想的数量关系吗？

你是如何计算的？

与同伴交流。

（3）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？

A的面积（单位面积）

B的面积（单位面积）

C的面积（单位面积）

图1

图2

图3

四、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a、b表示直角边，c表示斜边）

五、解决开始提出的问题

六、例：

1、如图，强大台风使一旗杆在距离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆原先高度是多少？

2、变式：

旗杆高24米，旗杆被风吹断后顶部距底部12米，求旗杆在什么位置折断？

七、练习：

P3，1，2，P4，1，2，3

八、作业：

P4，4

附：

1、小明从A点沿北偏东30°方向走了4m，到在B点，再沿南偏东60°方向走了3m到达C点，则A与C相距多少？

2、如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AD⊥BC，AD=12，求AC的长。

第二课时验证勾股定理

一、面积验证法

方法一、

（第一节课里的正方形）

方法二、用图甲拼成乙、丙两种大正方形。

在乙图中：

在丙图中：

方法三、P7，2

用上面图甲拼成一个直角梯形，同学们能不能也写出相应的等式加以证明？

二、阅读：

P5，例

三、例：

小明同学向北行进4米，然后向东走4米，再向北走2米，最后又向东走4米，此时小时离出发点的直线距离是多少米？

四、议一议：

P6

五、练习：

P6，1，P7，2

六、作业：

P7，3

附：

1、求图3-37中（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离。

（精确到0.1mm）

第三课时勾股定理简单运用

一、回顾勾股定理

二、例：

1、已知△ABC边AB=13、BC=14，AC=15，

求△ABC的面积。

2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3㎝，AC=5㎝，

将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，

则△ABE的面积是多少？

3、直角三角形中，斜边长为6，周长为16，求此直角三角形的面积。

（提示：

可设两直角边为a和b）

4、

（1）由直角三角形三边为直经向外作半圆，则三个半圆面积的数量关系是？

（2）如果直角三角形两直角边为4和3，将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为下图的样子，则两个阴影部分的面积之和等于多少？

（这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”）

三、介绍青朱出入图：

P7

四、作业：

1、一长方形面积为48，其对角线长为10，求这个长方形的周长。

2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3㎝，AC=5㎝，将∠B折叠，使点B落在AC上的点D处，得折痕AE，求DE的长？

3、已知△ABC边AB=13、BC=21，AC=20，求△ABC的面积。

第2节一定是直角三有形吗

教学目的

1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用。

2、进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型。

3、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论。

重点、难点

重点：

探索并掌握直角三角形的判别条件。

难点：

运用直角三角形判别条件解题

教学过程：

2个课时

第一课时勾股定理逆定理

一、导入

1、思考：

同学们有多少种方法判断一个三角形是否是直角三角形？

2、如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？

二、做一做

下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。

5、12、137、24、258、15、17

（1）这三组数都满足吗？

（2）分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

三、勾股定理逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。

四、勾股数

1、满足的三个正整数，称为勾股数。

2、一个奇数，与这个奇数的平方所拆成的两个连续整数，也构成勾股数。

例：

，，那么9、40、41就是勾股数。

3、把一组勾股数扩大同样的倍数后，照样是一组新的勾股数。

P10，3

4、求证：

、、（n为正整数）是一组勾股数。

（n为正整数）

五、例：

阅读P9，变式：

1、一个零件的形状如图，∠A=90°，工人师傅量得零件各边

尺寸为AD=4，AB=3,DC=12,BC=13，按规定这个

零件中∠DBC都应为直角，这个零件符合要求吗？

这个零件

的面积是多少？

2、在△ABC中，已知AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线

AD=12㎝，求证：

AB=AC

六、练习：

P10，1，知识技能1、2、3，P11，5，6

七、作业：

1、已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=10，ab=18，c=8，则△ABC为Rt△吗？

为什么？

2、四边形ABCD中，AC⊥CD，△ADC的面积为30㎝2，CD=12㎝，AB=3㎝，BC=4㎝，求△ABC的面积。

第二课时练习课

一、例：

1、在正方形ABCD中，边AB上有一点N，且BN=AB，M是边BC上中点，判断△MND是否为Rt△，为什么？

2、如图，小颖家里刚铺了正方形地砖，他把其中的三个顶点A、B、C连成了三角形，你能判断这个三角形的形状吗？

为什么？

3、

（1）已知锐角△ABC中，AB为最大边，求证：

AB2＜AC2+BC2

（2）已知钝角△ABC中，AB为最大边，求证：

AB2＞BC2+AC2

解：

（1）作AD⊥BC于点D

AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+（BC-CD）2=AC2-CD2+BC2-2BC×CD+CD2=AC2+BC2-2BC×CD＜AC2+BC2

（2）作AD⊥BC于点D

AB2=BD2+AD2=（BC+CD）2+AD2=BC2+2BC×CD+CD2+AD2=BC2+2BC×CD+AC2＞BC2+AC2

二、练习和作业：

P10，2，P11，4

1．小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则可知最长边上的高是多少？

2．若一个三角形的三边长的平方分别为：

32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是多少？

（答案：

52或7）

3．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

4．阅读下列解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状．

解：

∵a2c2－b2c2=a4－b4①

∴c2（a2－b2）=（a2+b2）（a2－b2）②

∴c2=a2+b2③

∴△ABC是直角三角形

问：

上述解题过程，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的序号：

_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________．

（答案：

③；a2－b2可以为零；△ABC为直角三角形或等腰三角形）

第3节勾股定理的应用

教学目标

1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.

2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.

3、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

教学重点难点：

重点：

探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.

难点：

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.

教学过程：

2个课时

第一课时

一、回顾

1、勾股定理：

已知Rt△，得到

2、逆定理：

已知，得到Rt△

二、例：

有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面周长等于18厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？

三、做一做：

P13

四、例：

阅读P13，求滑梯中AC的长

五、例：

有一个长方体木块，高3㎝，长4㎝，宽2㎝，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点B最近是多少㎝？

（三种情况，你发现了什么规律，只要沿什么走就最近？

假如有一个面是正方形呢？

）

[能否直接写AB2=42+（2+3）2]

六、练习：

P14，P14，知识技能：

1、2

七、作业：

P14，3、4

附：

1、如图，Rt△ABC中，斜边AB=8，AC=4，求以BC为半径的半圆面积。

（多种解法：

）

第二课时

一、例：

有一个边长为3米的正方体箱子，能否装下一根长为5米的木棒？

二、练习：

有一个大盒子，宽3米，长4米，高12米，能否放进一根13米长的竹杆？

（能否直接写：

最长AB2=32+42+122）

三、例：

①如图是一个圆柱形木块，底面直径为9，高为4，从A爬到C，如何最近？

②如图是一个圆柱形木块，底面直径为3，高为4，从A爬到C，如何最近？

③什么时候选择怎样的爬行方式？

（学了实数后做）

解：

①AB+BC=4+9=13，展开：

②AB+BC=4+3=7，展开：

③设高为x，底面直径为y，则：

当时，，

即当时，选择走侧面；当当时，两者一样；当时，选择走直径。

四、例：

如图，一根竹杆AB坚直插在水中，高出水面1米，被风一吹，竹杆顶与水面平齐，并水平移动了3米，即A′D=3米，问水有多深？

五、作业：

P15，5

附：

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长。

（提示：

作DE⊥AB于E）

2、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长有多长？

3、有一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的木箱中，能放进去吗？

复习与小结

一、直角三角形的性质

边：

、、（a、b为直角边，c为斜边）

角：

两锐角互余

二、直角三角形的判定

边：

角：

三、例：

1、如图有一块地，AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，且∠B=90°，求这块地的面积。

2、折叠长方形ABCD，得对角线BD，再折叠使AD与BD重合，得到折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长。

3、如图，一等腰三角形底边上的高为2㎝，周长为8㎝，求此三角形的面积。

（提示：

设BD=a，则AB=4-a）

4、已知两个正方形A和B，求作一个正方形C，使C的面积等于A和B的面积之和。

5、有两直杆隔河50米相对，AB=20米，CD=30米，两只小鸟同时以相同的速度从A、D向河