简易逻辑考点和题型归纳.docx
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简易逻辑考点和题型归纳
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考点和题型归纳
一、基础知识
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词.
①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q;
②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q;
③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作非p.❷
❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”;“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”;“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.
❷“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论.
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系.
(2)命题真值表:
p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真
真
假
真
真
真
假
真
假
假
假
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与非p→真假相反.
2.全称量词与存在量词
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题与特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
∀x∈M,p(x)
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
∃x0∈M,p(x0)
4.全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,非p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,非p(x)
二、常用结论
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假.
(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(非p)∧(非q)真.
(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(非p)∨(非q)假.
(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真.
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假
[典例]
(1)(2017·山东高考)已知命题p:
∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:
若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧非q
C.非p∧qD.非p∧非q
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p:
∃x0∈(0,+∞),x0+
>3;命题q:
∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是( )
A.p∧(非q)B.(非p)∧q
C.p∧qD.(非p)∨q
[解析]
(1)当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性,知B为真命题.
(2)对于命题p,当x0=4时,x0+
=
>3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x
成立,故命题q为假命题,所以p∧(非q)为真命题,故选A.
[答案]
(1)B
(2)A
[题组训练]
1.(2019·惠州调研)已知命题p,q,则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选B 充分性:
若非p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性:
p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件.
2.已知命题p:
“若x2-x>0,则x>1”;命题q:
“若x,y∈R,x2+y2=0,则xy=0”.下列命题是真命题的是( )
A.p∨(非q)B.p∨q
C.p∧qD.(非p)∧(非q)
解析:
选B 若x2-x>0,则x>1或x<0,故p是假命题;若x,y∈R,x2+y2=0,则x=0,y=0,xy=0,故q是真命题.则p∨q是真命题.
考点二 全称命题与特称命题
[典例]
(1)命题∀x∈R,ex-x-1≥0的否定是( )
A.∀x∈R,ex-x-1≤0
B.∀x∈R,ex-x-1≥0
C.∃x0∈R,ex0-x0-1≤0
D.∃x0∈R,ex0-x0-1<0
(2)对命题∃x0>0,x
>2x0,下列说法正确的是( )
A.真命题,其否定是∃x0≤0,x
≤2x0
B.假命题,其否定是∀x>0,x2≤2x
C.真命题,其否定是∀x>0,x2≤2x
D.真命题,其否定是∀x≤0,x2≤2x
[解析]
(1)改全称量词为存在量词,把不等式中的大于或等于改为小于.故选D.
(2)已知命题是真命题,如32=9>8=23,其否定是∀x>0,x2≤2x.故选C.
[答案]
(1)D
(2)C
[题组训练]
1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2
C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n>x
D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x
解析:
选D ∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x
”.
2.已知命题p:
∃n∈R,使得f(x)=nxn2+2n是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;命题q:
“∃x0∈R,x
+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(非p)∧q
C.p∧(非q)D.(非p)∧(非q)
解析:
选C 当n=1时,f(x)=x3为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则非p是假命题;“∃x0∈R,x
+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,非q是真命题.所以p∧q,(非p)∧q,(非p)∧(非q)均为假命题,p∧(非q)为真命题,选C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 已知p:
存在x0∈R,mx
+1≤0,q:
任意x∈R,x2+mx+1>0.若p或q为假命题,求实数m的取值范围.
[解] 依题意知p,q均为假命题,
当p是假命题时,则mx2+1>0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,则Δ=m2-4<0,-2 因此由p,q均为假命题得 即m≥2. 所以实数m的取值范围为[2,+∞). [变透练清] 1. 若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________. 解析: 依题意,当p是真命题时,有m<0; 当q是真命题时,有-2 由 可得-2 所以m的取值范围为(-2,0). 答案: (-2,0) 2. 若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假,p或q为真”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________. 解析: 若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假. 当p真q假时 所以m≤-2; 当p假q真时 所以0≤m<2. 所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[0,2). 答案: (-∞,-2]∪[0,2) 3. 若本例将条件q变为: 存在x0∈R,x +mx0+1<0,其他条件不变,则实数m的取值范围为________. 解析: 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0, 所以m>2或m<-2.由 得0≤m≤2, 所以m的取值范围为[0,2]. 答案: [0,2] 1.(2019·西安摸底)命题“∀x>0, >0”的否定是( ) A.∃x0≥0, ≤0 B.∃x0>0,0≤x0≤1 C.∀x>0, ≤0D.∀x<0,0≤x≤1 解析: 选B ∵ >0,∴x<0或x>1,∴ >0的否定是0≤x≤1, ∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”. 2.下列命题中,假命题的是( ) A.∀x∈R,21-x>0 B.∃a0∈R,y=xa0的图象关于y轴对称 C.函数y=xa的图象经过第四象限 D.直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切 解析: 选C 对于A,由指数函数的性质可知为真命题;对于B,当a=2时,其图象关于y轴对称;对于C,当x>0时,y>0恒成立,从而图象不过第四象限,故为假命题;对于D,因为圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离等于 ,等于圆的半径,命题成立. 3.(2019·陕西质检)已知命题p: 对任意的x∈R,总有2x>0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(非p)∧(非q) C.(非p)∧qD.p∧(非q) 解析: 选D 由指数函数的性质知命题p为真命题.易知x>1是x>2的必要不充分条件,所以命题q为假命题.由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题. 4.(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件 B.命题p: ∀x∈R,2x>0,则非p: ∃x0∈R,2x0<0 C.命题“若a>b>0,则 < ”的逆命题是真命题 D.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 解析: 选A 对于选项A,由a>1,b>1,易得ab>1,故A正确.对于选项B,全称命题的否定是特称命题,所以命题p: ∀x∈R,2x>0的否定是非p: ∃x0∈R,2x0≤0,故B错误.对于选项C,其逆命题: 若 < ,则a>b>0,可举反例,如a=-1,b=1,显然是假命题,故C错误.对于选项D,由“a>b”并不能推出“a2>b2”,如a=1,b=-1,故D错误.故选A. 5.(2019·唐山五校联考)已知命题p: “a>b”是“2a>2b”的充要条件;命题q: ∃x0∈R,|x0+1|≤x0,则( ) A.(非p)∨q为真命题B.p∧(非q)为假命题 C.p∧q为真命题D.p∨q为真命题 解析: 选D 由题意可知命题p为真命题.因为|x+1|≤x的解集为空集,所以命题q为假命题,所以p∨q为真命题. 6.下列说法错误的是( ) A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0” B.若命题p: 存在x0∈R,x +x0+1<0,则非p: 对任意x∈R,x2+x+1≥0 C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥ 2”的充要条件 D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必一真一假 解析: 选D 由原命题与逆否命题的关系,知A正确;由特称命题的否定知B正确;由xy≥ 2⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y,知C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确. 7.(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(4,+∞)B.(0,4] C.(-∞,4]D.[0,4) 解析: 选C 当原命题为真命题时,a>0且Δ<0,所以a>4,故当原命题为假命题时,a≤4. 8.下列命题为假命题的是( ) A.存在x>y>0,使得lnx+lny<0 B.“φ= ”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件 C.∃x0∈(-∞,0),使3x0<4x0成立 D.已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m∥β,n∥α,则α∥β 解析: 选C 对于A选项,令x=1,y= ,则lnx+lny=-1<0成立,故排除A.对于B选项,“φ= ”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,正确,故排除B.对于C选项,根据幂函数y=xα,当α<0时,函数单调递减,故不存在x0∈(-∞,0),使3x0<4x0成立,故C错误.对于D选项,已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m∥β,n∥α,可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n,再由线面平行的判定定理可得n′∥β,接下来由面面平行的判定定理可得α∥β,故排除D,选C. 9.若命题p的否定是“∀x∈(0,+∞), >x+1”,则命题p可写为________________________. 解析: 因为p是非p的否定,所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可. 答案: ∃x0∈(0,+∞), ≤x0+1 10.已知命题p: x2+4x+3≥0,q: x∈Z,且“p∧q”与“非q”同时为假命题,则x=________. 解析: 若p为真,则x≥-1或x≤-3, 因为“非q”为假,则q为真,即x∈Z, 又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3<x<-1, 由题意,得x=-2. 答案: -2 11.已知p: a<0,q: a2>a,则非p是非q的________条件(填: 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要). 解析: 由题意得非p: a≥0,非q: a2≤a,即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0},所以非p是非q的必要不充分条件. 答案: 必要不充分 12.已知命题p: a2≥0(a∈R),命题q: 函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题: ①p∨q;②p∧q;③(非p)∧(非q);④(非p)∨q. 其中为假命题的序号为________. 解析: 显然命题p为真命题,非p为假命题. ∵f(x)=x2-x= 2- , ∴函数f(x)在区间 上单调递增. ∴命题q为假命题,非q为真命题. ∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,(非p)∧(非q)为假命题,(非p)∨q为假命题. 答案: ②③④ 13.设t∈R,已知命题p: 函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q: ∀x∈[1,+∞), -x≤4t2-1. (1)当t=1时,判断命题q的真假; (2)若p∨q为假命题,求t的取值范围. 解: (1)当t=1时, max=0, -x≤3在[1,+∞)上恒成立,故命题q为真命题. (2)若p∨q为假命题,则p,q都是假命题. 当p为假命题时,Δ=(-2t)2-4<0,解得-1 当q为真命题时, max≤4t2-1,即4t2-1≥0, 解得t≤- 或t≥ , ∴当q为假命题时,- , ∴t的取值范围是 .
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