完整word版八年级几何辅助线专题训练doc.docx
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完整word版八年级几何辅助线专题训练doc
常见的辅助线的作法
1.等腰三角形“三线合一”法:
遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题
2.倍长中线:
倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角
形
3.角平分线在三种添辅助线:
(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,
(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角
的两边相交,形成一对全等三角形。
(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。
4.垂直平分线联结线段两端:
在垂直平分线上的某点向该线段的两
个端点作连线,出一对全等三角形。
5.用“截长法”或“补短法”:
遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,
6.图形补全法:
有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边
三角形.
7.角度数为30度、60度的作垂线法:
遇到三角形中的一个角为30
度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成
30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样
可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创
造边、角之间的相等条件。
8.面积方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
-1-
一、等腰三角形“三线合一”法
1.如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BD于E,
求证:
CE=BD.
中考连接:
(2014?
扬州,第7题,3分)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,
OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=()
A.3B.4C.5D.6
二、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,
A
则中线AD的取值范围是_________.
BDC
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF
与EF的大小.
A
E
F
BDC
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
A
BDEC
-2-
中考连接:
(09崇文)以的两边
、
AC为腰分别向外作等腰Rt
ABC
和等腰Rt
ACE
,
AB
BAD
CAE90,
,、
、
的中点.探究:
AM与DE
连接DEMN分别是BC
DE
的关系.
(1)如图①
当
ABC为直角三角形时,
AM与DE的位置关系
是
,线段AM与DE的数量关系是
;
(2)将图①中的等腰Rt
ABD绕点A沿逆时针方向旋转
(0<<90)后,如图
②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
三、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求
证:
OE=OD
A
E
O
BC
D
-3-
2、如图,已知点C是∠MAN的平分线上一点,CE⊥AB于E,B、D分别在
AM、AN上,且AE=(AD+AB).问:
∠1和∠2有何关系?
中考连接:
(2012年北京)如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,
解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,
B
请说明理由。
M
B
E
E
F
D
F
D
O
P
A
C
C
图①
N
A
图③
图②
-4-
四,垂直平分线联结线段两端
1.(2014?
广西贺州,第17题3分)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,
则∠A的度数是.
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC
于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.
A
E
G
BC
F
D
中考连接:
(2014年广东汕尾,第19题7分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A、C为圆
心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连接MN,与AC、BC分别交于点D、
E,连接AE.
(1)求∠ADE;(直接写出结果)
(2)当AB=3,AC=5时,求△ABE的周长.
补充:
尺规作图
过直线外一点做已知直线的垂线
-5-
五、截长补短
1、如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
A
C
B
D
2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BC。
AD
E
B
C
3、如图,已知在△ABC内,
BAC60
0
C40
0
,,
分别在
,
上,
,
PQ
BCCA
并且AP,BQ分别是
BAC,
ABC的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
A
B
Q
P
4、如图,
C
ABC,
在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分
求证:
AC1800
A
D
BC
-6-
5.如图,已知正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE.求证:
AE-BE=DF.
6.如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,判断AC的长与AE+CD的大小关系并证明.
7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G,判断CF与GB的大小关系并证明。
-7-
六、综合
1、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF
AD的度数.
F
B
E
C
2、如图,ABC为等边三角形,点M,N分别在BC,AC上,且BM
CN,AM
与BN交于Q点。
求
AQN的度数。
3、已知四边形ABCD中,AB
AD,BC
CD,ABBC,∠ABC
120o,
∠MBN
60o,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交
AD,DC(或它们的延长
线)于E,F.
当∠MBN绕B点旋转到AE
CF时(如图1),易证AECFEF.
当∠MBN绕B点旋转到AE
CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结
论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段
AE,CF,EF又有怎样的
数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
A
A
A
B
EM
B
EM
B
C
F
D
C
F
D
FC
D
N
N
N
E
(图1)
(图2)
M
(图3)
-8-
4、D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
B
(1)当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
A
E
MCA
F
N
5、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC
外一点,且MDN60,BDC120,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、
AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
图1图2图3
(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN
之间的数量关系是;此时Q;
L
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=x,则Q=(用x、L表示).
-9-
中考连接:
(2014?
抚顺第25题(12分))
已知:
Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤)120,当°A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.
-10-
参考答案与提示
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
解:
延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知
A
AB-BE<2AD B D C 例2、如图,△ABC
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