函数的奇偶性.docx
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函数的奇偶性
专题4 函数的奇偶性
1.函数的奇偶性定义
对于函数f(x)的定义域内任意一个x:
(1)f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;
(2)f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数.
2.函数的奇偶性的性质
(1)对称性:
奇(偶)函数的定义域关于原点对称;
(2)整体性:
奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x必须成立;
(3)可逆性:
f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;
(4)等价性:
偶函数:
f(-x)-f(x)=0;奇函数:
f(-x)+f(x)=0;
(5)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
3.分类
奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.
4.函数的奇偶性判断方法与步骤
利用定义判断:
(1)定义域是否关于原点对称,
(2)数量关系f(-x)=±f(x)哪一个成立.
例1 判断下列函数是否具有奇偶性.
(1)f(x)=x+x3+x5;
(2)f(x)=
+
.
变式训练1 判断下列函数是否具有奇偶性.
(1)f(x)=x2+1;
(2)f(x)=x+1;
(3)f(x)=x2,x∈[-1,3].
例2 求函数f(x)=
的奇偶性.
变式训练2 判定函数f(x)=
的奇偶性.
例3 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.
变式训练3 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,求当x∈(0,+∞)时,f(x)的表达式.
A级
1.函数f(x)=2x3的图象( )
A.关于y轴对称B.关于x轴对称
C.关于直线y=x对称D.关于原点对称
2.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f
(1)=1,则f(8)+f(9)等于( )
A.-2B.-1C.0D.1
3.函数f(x)=x+
( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)等于( )
A.-3B.-1
C.1D.3
5.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.
6.若奇函数f(x)的定义域为[p,q],则p+q=________.
7.奇函数f(x)的定义域为[-2,2],若f(x)在[0,2]上单调递减,且f(1+m)+f(m)<0,则实数m的取值范围是________.
B级
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( )
A.f(3) (1)B.f (1) C.f(-2) (1) (1) 9.已知函数f(x)对任意的x∈R有f(x)+f(-x)=0,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图象为( ) 10.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数则( ) A.a·b=0B.a+b=0 C.a2+b2=0D.a=b 11.定义在[-2,2]上的奇函数f(x),当x∈(0,2]时,f(x)=- x+1,则不等式f(x)-f(-x)≥2x的解集为________. 12.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)= +1,则当x<0时,f(x)=________. 13.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 14.设函数f(x)= . (1)判断它的奇偶性; (2)x≠0,求f( )+f(x)的值; (3)计算f( )+f( )+f( )+f( )+f(0)+f (2)+f(3)+f(4)+f(5)的值. 答案精析 专题4 函数的奇偶性 典型例题 例1 解 (1)函数f(x)=x+x3+x5的定义域为R. 当x∈R,-x∈R. ∵f(-x)=-x-x3-x5=-(x+x3+x5)=-f(x). ∴f(x)=x+x3+x5为奇函数. (2)由 得x=- ,或x= . ∴函数f(x)的定义域为{- , }. 又∵对任意的x∈{- , },-x∈{- , }, 且f(-x)=-f(x)=f(x)=0, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 变式训练1 解 (1)函数f(x)=x2+1的定义域为R,当x∈R时,-x∈R. ∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), ∴f(x)=x2+1是偶函数. (2)函数f(x)=x+1的定义域是R,当x∈R时,-x∈R, ∵f(-x)=-x+1=-(x-1), -f(x)=-(x+1), f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)(x∈R) ∴f(x)=x+1既不是奇函数,也不是偶函数. (3)因为函数的定义域关于原点不对称,存在3∈[-1,3],而-3∉[-1,3]. ∴f(x)=x2,x∈[-1,3]既不是偶函数,也不是奇函数. 例2 解 函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x =-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x =-(-x2+x)=-f(x). ∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=-f(x). 故f(x)为奇函数. 变式训练2 解 当x>0时,-x<0 f(-x)=(-x)2+2(-x)+3 =x2-2x+3=-f(x); 当x<0时,-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3 =-x2-2x-3=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 例3 解 由f(x)是奇函数, 当x>0时,f(x)=-f(-x) =-{(-x)[1-(-x)]}=x(1+x); 当x=0时,f(0)=-f(0), 即f(0)=0. ∴当x≥0时,f(x)=x(1+x). 变式训练3 解 当x∈(0,+∞)时, -x∈(-∞,0), 因为x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4, 所以f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4, 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-x4. 强化提高 1.D [∵f(x)=2x3, ∴f(-x)=2(-x)3=-2x3=-f(x), 故函数f(x)是奇函数,故函数图象关于原点对称,故选D.] 2.D [因为f(x)为R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),f(0)=0. 因为f(x+2)为偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2), 所以f(x+4)=f(-x)=-f(x), 所以f(x+8)=f(x), 即函数f(x)的周期为8, 故f(8)+f(9)=f(0)+f (1)=1.] 3.A [f(x)=x+ 的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 且f(-x)=-x- =-(x+ ) =-f(x). 所以f(x)为奇函数,故选A.] 4.A [∵f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.] 5.4 解析 ∵f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数, ∴f(-x)=f(x)对于任意的x都成立, 即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4), ∴x2+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a, ∴(a-4)x=0,∴a=4. 6.0 解析 因为奇函数f(x)的定义域[p,q]关于原点对称, 故有p=-q,即p+q=0. 7.(- ,1] 解析 ∵函数f(x)定义域在[-2,2]上为奇函数, 则由f(1+m)+f(m)<0, 可得f(1+m)<-f(m)=f(-m), 又根据条件知函数f(x)在定义域上单调递减, ∴-2≤-m<1+m≤2, 解可得,- 8.B [∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 且1<2<3, ∴f (1) (2) 又∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f (2)=f(-2),因此, f (1) 9.D [∵函数f(x)对任意的x∈R有f(x)+f(-x)=0, ∴函数f(x)为R上的奇函数,图象关于原点对称,排除A、B, 将y=lnx的图象向左平移1个单位长度, 即可得到f(x)=ln(x+1)的图象, 由对数函数的图象性质排除C,故选D.] 10.C [若f(x)是奇函数, 则f(-x)=-f(x), 即-x|-x+a|+b=-x|x+a|-b恒成立, 亦即x(|x-a|-|x+a|)=2b恒成立, 要使上式恒成立, 只需|x-a|-|x+a|=2b=0, 即a=b=0, 故选C.] 11.{x|-2≤x≤- 或0≤x≤ } 解析 ∵函数f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 则f(x)-f(-x)=2f(x)≥2x, 即f(x)≥x, 当x∈(0,2],f(x)=- x+1≥x, 解得0 , 当x=0时,f(x)=0≥x,解得x=0, 当x∈[-2,0),f(x)=- x-1≥x, 解得-2≤x≤- , 综上所述: -2≤x≤- 或0≤x≤ . 12.- -1 解析 ∵f(x)为奇函数,x>0时,f(x)= +1, ∴当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( +1), 即x<0时,f(x)=-( +1) =- -1. 13.解 (1)∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f (1)=2f (1), ∴f (1)=0. (2)令x1=x2=-1, 有f (1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)= f (1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x) =f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由 (2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2⇔f(|x-1|) 又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解之得-15 ∴x的取值范围是{x|-15 14.解 (1)∵函数的定义域{x|x≠±1}, f(-x)= =f(x), ∴f(x)是偶函数; (2)f( )= = =-f(x), 所以f( )+f(x)=0. (3)由 (2)可得: f( )+f( )+f( )+f( )+f(0)+f (2)+f(3)+f(4)+f(5) =0+0+0+0+f(0)=1.
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