学年天津市静海区四校第四中学等联考高一份数学试题.docx

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学年天津市静海区四校第四中学等联考高一份数学试题

静海区2019—2020学年度第一学期四校联考试卷

高一数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。

试卷满分120分。

考试时间90分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题（共12题；每题3分，共36分,其中每题的四个选项中，有1个正确答案）

1．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1}B．{－1,0}

C．{－1,3}D．{－1,0,3}

2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为（　　）

A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

4．设A＝{x|2

A．m>3B．m≥3

C．m<3D．m≤3

5．已知：

a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（　　）

A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－a

C．若a>b，c

>

D．若a2>b2，则－a<－b

6．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（　　）

A．a>bB．a

C．a≥bD．a≤b

7．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．y＝x＋1和y＝

B．y＝

和y＝（

）2

C．f（x）＝x2和g（x）＝（x＋1）2

D．f（x）＝

和g（x）＝

8.已知函数y＝x－4＋

（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（　　）

A．－3B．2

C．3D．8

9．若不等式x2＋mx＋

>0的解集为R，则实数m的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．（－∞，2）

C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0,2）

10．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）B．（0，＋∞）

C．（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

11．下列函数在[1,4]上最大值为3的是（　　）

A．y＝

＋2　B．y＝3x－2

C．y＝x2D．y＝1－x

12．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

<0，则（　　）

A．f（3）

（1）B．f

（1）

C．f（－2）

（1）

（1）

第Ⅱ卷

二、填空题（每题3分，共24分）

13．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.

14．已知集合A＝{x|（x－3）（x＋1）<0}，B＝{x|x－1>0}，则A∪B＝________.

15.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

16．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒

<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.

其中错误的命题是________（填写相应序号）．

17．已知x>0，y>0，且

＋

＝1，则3x＋4y的最小值是________

18．函数f（x）＝

在[1，b]（b>1）上的最小值是

，则b＝________.

19．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

20．已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．

三、解答题（每题12分，共60分）

21.（12分）求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝

；

（3）f（x）＝

－

＋

.

22.（12分）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

23．（12分）已知函数f（x）＝

，x∈[3,5]．

（1）判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

（2）求该函数的最大值和最小值．

24．（12分）解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.

25.（12分）如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

一、选择题（每题3分）

1．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝（）

A．{－1}B．{－1,0}

C．{－1,3}D．{－1,0,3}

解析：

集合B＝{x|x2－3x>0}＝{x|x<0或x>3}，则A∩B＝{－1}，选A.

答案：

A

2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B

a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

答案：

A

3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为（）

A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

解析：

由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.

答案：

C

4．设A＝{x|2

A．m>3B．m≥3

C．m<3D．m≤3

解析：

因为A＝{x|2

将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.

答案：

B

5．已知：

a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（）

A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－a

C．若a>b，cbdD．若a2>b2，则－a<－b

解析：

选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．

答案：

B

6．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（）

A．a>bB．a

C．a≥bD．a≤b

解析：

a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）

＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.

答案：

C

7．下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A．y＝x＋1和y＝x2－1x－1

B．y＝和y＝（）2

C．f（x）＝x2和g（x）＝（x＋1）2

D．f（x）＝xx和g（x）＝

解析：

只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．

答案：

D

8.已知函数y＝x－4＋9x＋1（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）

A．－3B．2

C．3D．8

解析：

y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5.由x>－1，得x＋1>0，9x＋1>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥29x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.

答案：

C

9．若不等式x2＋mx＋m2>0的解集为R，则实数m的取值范围是（）

A．（2，＋∞）B．（－∞，2）

C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0,2）

解析：

由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×m2<0，即m2－2m<0，解得0

答案：

D

10．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），则实数m的取值范围是（）

A．（－∞，－3）B．（0，＋∞）

C．（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

解析：

因为函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），所以2m>－m＋9，即m>3.

答案：

C

11．下列函数在[1,4]上最大值为3的是（）

A．y＝1x＋2B．y＝3x－2

C．y＝x2D．y＝1－x

解析：

B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.

答案：

A

12．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有f（x1x1－x2<0，则（）

A．f（3）

（1）B．f

（1）

C．f（－2）

（1）

（1）

解析：

由已知f（x1x1－x2<0，

得f（x）在x∈[0，＋∞）上单调递减，

由偶函数性质得f（3）

（1），故选A.

答案：

A

2、填空题（每题3分）

13．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.

解析：

由集合相等的概念得a2－1＝0，a2－3a＝－2，解得a＝1.

答案：

1

14．已知集合A＝{x|（x－3）（x＋1）<0}，B＝{x|x－1>0}，则A∪B＝________.

解析：

因为集合A＝{x|（x－3）（x＋1）<0}＝{x|－11}，所以A∪B＝{x|x>－1}．

答案：

{x|x>－1}

15．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

解析：

所给命题是存在量词命题；其否定应为全称量词命题．

答案：

∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0

16．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒ba<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.

其中错误的命题是________（填写相应序号）．

解析：

由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，ba<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．

答案：

①②③④⑤

17．已知x>0，y>0，且1y＋3x＝1，则3x＋4y的最小值是________．

解析：

因为x>0，y>0，1y＋3x＝1，

所以3x＋4y＝（3x＋4y）3x＝13＋3xy＋12yx≥13＋3×24yx＝25（当且仅当x＝2y＝5时取等号），

所以（3x＋4y）min＝25.

答案：

25

18．函数f（x）＝1x在[1，b]（b>1）上的最小值是14，则b＝________.

解析：

因为f（x）在[1，b]上是减函数，所以f（x）在[1，b]上的最小值为f（b）＝1b＝14，所以b＝4.

答案：

4

19．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析：

∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，

∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f（－x）＝f（x），

∴b＝0，∴a＋b＝13.

答案：

13

20．已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．

解析：

因为f（x）是奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以（－3）2＋a（－3）＝－6，解得a＝5.

答案：

5

3、解答题

21.求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝6x2－3x＋2；

（2）f（x）＝（x＋1|x|－x；

（3）f（x）＝－12－x＋1x.

解析：

（1）要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，

即x≠1且x≠2，

故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．

（2）要使函数有意义，则x＋1≠0，|x|－x>0，

解得x<0且x≠－1.

所以定义域为（－∞，－1）∪（－1,0）．

（3）要使函数有意义，则2－x>0，x≠0，

解得－32≤x<2，且x≠0.

故定义域为3，0∪（0,2）．

22.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解析：

把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A∩B＝{x|－2

∁U（A∩B）＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

（∁UA）∩B＝{x|－3

23．已知函数f（x）＝2x－1x＋1，x∈[3,5]．

（1）判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

（2）求该函数的最大值和最小值．

解析：

（1）函数f（x）在[3,5]上是单调递增的，

证明：

设任意x1，x2，满足3≤x1

因为f（x1）－f（x2）＝2x1－1x1＋1－2x2－1x2＋1

＝（2x1－1（x1＋1

＝3（x1－x2（x1＋1，

因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.

所以f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）

所以f（x）＝2x－1x＋1在[3,5]上是单调递增的．

（2）f（x）min＝f（3）＝2×3－13＋1＝54，

f（x）max＝f（5）＝2×5－15＋1＝32.

24．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.

解析：

方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.

（1）若a>0，则－a

（2）若a<0，则2a

（3）若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为∅.

综上所述，原不等式的解集为：

当a>0时，{x|－a

当a<0时，{x|2a

当a＝0时，∅.

5．（12分）

25.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

解析：

（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.

方法一由于2x＋3y≥2＝2，

∴2≤18，得xy≤272，即S≤272.

当且仅当2x＝3y时等号成立．

由2x＝3y，2x＋3y＝18，解得x＝4.5y＝3.

故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．

方法二由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.

∵x>0，∴0

S＝xy＝3yy＝32（6－y）y.

∵00.∴S≤32（6－y22＝272.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.

故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．

（2）由条件知S＝xy＝24.

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

方法一∵2x＋3y≥2＝2＝24，

∴l＝4x＋6y＝2（2x＋3y）≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．

方法二由xy＝24，得x＝24y.

∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616＋y≥6×216×y＝48，

当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋总长最小．