九年级秋季班第9讲圆的基本性质.docx
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九年级秋季班第9讲圆的基本性质
圆的基本性质
内容分析
知识结构
圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容.需要掌握点与圆的位置关系,理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系,重点是这四者关系的灵活运用,以及垂径定理及其推论的应用.
模块一:
圆的确定
知识精讲
1、圆的概念
圆:
平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形.
圆心:
以上概念中的“定点”;以点O为圆心的圆称为“圆O”,记作O.半径:
联结圆心和圆上任意一点的线段;以上概念中的“定长”是圆的半径长.
2、点与圆的位置关系
设一个圆的半径长为R,点P到圆心的距离为d,则有以下结论:
当点P在圆外时,d>R;当点P在圆上时,d=R;当点P在圆内时,0≤d 3、相关定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 三角形的三个顶点确定一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做这个三角形的外心;这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 如果一个圆经过一个多边形的各顶点,那么这个圆叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 例题解析 a2 a 【例1】在平面直角坐标系内,A(-3,-tan30︒),B(,0),A的半径为4, 试说明点B与A的位置关系. 【例2】过一个点可以画个圆,过两个点可以画个圆,过三个点可以画 个圆. 【例3】已知,如图,在O中,AB、BC为弦,OC交AB于点D. 求证: (1)∠ODB>∠OBD; (2)∠ODB>∠OBC. O B AD C O l H 【例4】如图,O的半径为15,O到直线l的距离OH=9,A、B、C为直线l上的三个点,AH=9,QH=12,RH=15,请分别说明点A、B、C与O的位置关系. 【例5】若A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,求a的值. 【例6】如图,作出AB所在圆的圆心,并补全整个圆. A B 【例7】如图,CD是半圆的直径,O是圆心,E是半圆上一点,且∠EOD=45︒,A是 DC延长线上一点,AE与半圆交于B,若AB=OC,求∠EAD的度数. E B D O C A 【例8】已知,如图,AB是O的直径,半径OC⊥AB,过OC的中点D作EF//AB. 求证: ∠ABE=1∠CBE. 2 C EDF AOB 【例9】已知: AB是O的直径,点P是OA上任意一点,点C是O上任意一点.求证: PA≤PC≤PB. 模块二: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 知识精讲 1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念 圆心角: 以圆心为顶点的角叫做圆心角; 弧: 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧; 弦: 连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦就是直径;弦心距: 圆心到弦的距离叫做弦心距. 2、半圆、优弧、劣弧 C A O B 半圆: 圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.优弧: 大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧: 小于半圆的弧叫做劣弧. 如图,以A、C为端点的劣弧记作AC,读作“弧AC”;以A、C为端点的优弧记作ABC,读作“弧ABC”. 3、等弧和等圆 能够重合的两条弧称为等弧,或者说这两条弧相等.若AB与A'B'是等弧,记作 AB=A'B'. 半径相等的两个圆一定能够重合,我们把半径相等的两个圆称为等圆. 4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等,那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 例题解析 【例10】下列命题中真命题的个数是() ○1相等的圆心角所对的弧也相等; ○2在同圆中,如果两条弦相等,那么所对的弧也相等; ○ 3A、B是O上任意两点,则AO+BO等于O的直径长; ○4三角形的外心到三角形三边的距离相等. A.1个B.2个C.3个D.4个 【例11】一条弦把圆分成1: 3两部分,则弦所对的圆心角为°.A 【例12】如图,在O中,AB=AC,∠B=70︒,则∠BAC=. O BC A O C B D 【例13】如图,已知O的半径是6,∠BOD=30︒,BD=BC,CD=. 【例14】如图,O1和 O2是等圆,P是O1O2的中点,过点P作直线AD交 O1于点A、 B,交 O2于点C、D. D C BP A 求证: AB=CD. A D E O C B 【例15】已知,如图,AB、CD是O的直径,弦AE//CD,联结CE、BC.求证: BC=CE. 【例16】如图,O是∆ABC的外接圆,AO平分∠BAC,∠AOB=∠BOC,判断∆ABC 的形状,并说明理由.A O BC C D A M ON B 【例17】已知,如图,AB是O直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB.求证: AC=BD. 【例18】如图,以点O为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D,且∠AOB O A D B C 求证: 四边形ABCD是等腰梯形. =∠COD. 模块三: 垂径定理 知识精讲 1、垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧. 2、相关结论 (1)如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧. (2)如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦. (3)如果一条直线是弦的垂直平分线,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧. (4)如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦. (5)如果一条直线垂直于弦,并且平分弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦. 总结: 在圆中,对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中,如果有两组关系成立,那么其余两组关系也成立. 例题解析 【例19】O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长为. 【例20】在半径为2的O中,弦AB的长为22,则弦AB所对的圆心角∠AOB=°. 【例21】如图,O是∆ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高CD上,点E和点F C E O F A D B 分别是边AC和BC的中点.求证: 四边形CEDF是菱形. 【例22】如图,一根横截面为圆形的输水管道,阴影部分为有水部分,此时水面宽AB 为0.6米,污水深CD为0.1米,求圆形的下水管道的直径. O A D B C 【例23】如图,在O中,弦CD、EF的延长线相交于点P,G、H分别是CD、EF的 CG Q OD E R F P H 中点,GH与PC、PE分别相交于Q、R两点,试判断∆PQR的形状,并证明所得到的结论. 【例24】如图,P是O的弦AB的中点,PC⊥OA,垂足为C,求证: PAPB=ACAO. B P A C O O B C A 【例25】位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小智和小方沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长240米,A到BC的距离为5米,如图所示.请你帮他们求出滴水湖的半径. 【例26】如图,弦CD垂直于O的直径AB,垂足为H,且CD=22,BD=3,则 AB的长为.C B H O D A 3 3 【例27】已知O的半径r=4,AB、CD为O的两条弦,AB、CD的长分别是方程 x2-(4 +4)x+16 =0的两根,其中AB>CD,且AB//CD,求AB与CD间 的距离. 【例28】已知,如图, O1与 O2交于A、B,过A的直线分别交 O1与 O2于M、N, B P N C A M C是MN的中点,P是O1O2的中点. 3 【例29】如图,已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为 E,AE=EC,AB= 2AE,且BD=2 ,求四边形ABCD的面积. A B D E O C 【例30】如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90︒,点C是弧AB上的一个动点 (不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)在∆DOE中是否存在长度保持不变的边? 如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由. B D C E O A (2)设BD=x,∆DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域. 随堂检测 【习题1】已知 半径为5,若点P不在 上,则线段OP的取值范围为 O O . 【习题2】如图,AB是直径,BC=CD=DE,∠BOC=40︒,则∠AOE=. ED C AOB 【习题3】如图,为方便三个村庄居民子女的上学问题,上级镇政府决定在A、B、 B C三个村庄旁边造一所学校,要求它到各村庄的距离相等,请你在图中画出学校的位置.(保留作图痕迹) A C A C EF O BD 【习题4】如图,AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∠OEF=25︒,求∠EOF的度数. A D B E C 【习题5】如图,在∆ABC中,∠B=90︒,∠A=60︒,以点B为圆心,AB为半径画圆,交AC于点D,交BC于点E.求证: (1)AD=2DE; (2)D是AC的中点. AOB D C E 【习题6】如图,AB为O直径,E为BC的中,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=. C E F O D 【习题7】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的CD),点O是CD的圆心,其中CD=600米,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90米,求这段弯路的半径. A O B C 【习题8】如图,在∆ABC中,∠A=70︒,O截∆ABC的三边所得的弦长都相等,求∠BOC的度数. 【习题9】已知,如图,∆ABC是等边三角形,AB是O的直径,AE=EF=FB, C A M N O B E F CE、CF交AB于点M、N.求证: AM=MN=NB. 【习题10】如图,AB为O的直径,CD为弦,过点C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于点N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由. M B A N O C D 课后作业 【作业1】在下列命题中,正确的个数是() ○1圆心角相等,则它们所对的弦必相等; ○2经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆; ○3直径平分弦,则必垂直于弦; ○4如果同圆中,两条弦互相平分,那么这两条弦都是直径. A.0个B.1个C.2个D.3个 【作业2】在∆ABC中,∠C=90︒,D、E分别是AB、AC的中点,AC=7,BC=4.若以点C为圆心,BC为半径作圆,判断点D、E与C的位置关系. 【作业3】已知直线a和直线外两点A、B,经过A、B作一圆,使它的圆心在直线a B 上. A a 【作业4】已知O外一点A和圆上的点最大距离为23厘米,最小距离为10厘米,则O的半径为厘米. 【作业5】如图,在O中,2AB=BC,试确定AB与2BC的大小关系. B A O C DE FC AG O B 【作业6】如图,矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E,GB=8厘米,AG=1厘米,DE=2厘米,则EF=厘米. P 【作业7】已知点A(1,0),B(4,0),P是经过A、B两点的一个动圆,当与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为3时,求圆心P的坐标. C B A P O 【作业8】已知,如图,在O中,弦AB的长是半径OA的3倍,C为AB的中点, AB、OC相交于P. 求证: 四边形OACB为菱形. C A P O B D E F 【作业9】已知: 过圆O内一点P作弦AB、CD,且AB=CD,在BD上取两点E、F,且BE=DF. 求证: 直线PO是EF的垂直平分线. 【作业10】如图, O1与 O2交于A、B,M为O1O2的中点,过点A作EF⊥AM分 别交O1与 O2于点E、F.若∠O1AO2=90︒,AO1 AO2=O1O2=m(m≥2), 求EF的长. B M F A E
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- 九年级 秋季 基本 性质