高中数学基础知识重点归纳及经典高考压轴题型.docx
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高中数学基础知识重点归纳及经典高考压轴题型
高中数学基础知识重点归纳及经典高考压轴题型
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:
元素是函数关系中自变量的取值?
还是因.....①f(x)在区间M上是增函数Û"x1,x2ÎM,当x1 还是曲线上的点? …;2.数形结合是解集合问题的常用方法: 解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等....②f(x)在区间M上是减函数Û"x,xÎM,当x 1 2 1 2 1 2 工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;3. (1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1;非空真子集的数为2n-2; (2)AÍBÛAIB=AÛAUB=B;注意: 讨论的时候不要遗忘了A=f的情况。 4.f是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 ⑵单调性的判定 ①定义法: 一般要将式子f(x1)-f(x2)化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。 注: 证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义: 对定义域函数与导数 1.映射: 注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数值域的求法: ①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式 a+b ab££ 2 x a2+b2 ;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、2 距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(a、sinx、cosx等);⑨导数法3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法: ①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数y=f[g(x)]分解为基本函数: 内函数u=g(x)与外函数y=f(u);②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4.分段函数: 值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;....⑵f(x)是奇函数Ûf(-x)=-f(x);f(x)是偶函数Ûf(-x)=f(x)⑶奇函数f(x)在原点有定义,则f(0)=0; p2p ;⑤y=tanwx: T=; |w||w| f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)Þf(x)的周期为2a; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y=x(aÎR);⑵指数函数: y=a(a>0,a¹1);⑶对数函数: y=logax(a>0,a¹1);⑷正弦函数: y=sinx; 2 ⑸余弦函数: y=cosx;(6)正切函数: y=tanx;⑺一元二次函数: ax+bx+c=0; ax ⑻其它常用函数: ①正比例函数: y=kx(k¹0);②反比例函数: y= 第1页共32页 ka (k¹0);③函数y=x+(a>0);xx 9.二次函数: ⑴解析式: 新课标高中数学基础知识归纳黔南护航辅导中心姚永刚QQ: 376288927 曲线C1: f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为: f(y,x)=0 ③f(a+x)=f(b-x)(x∈R)→y=f(x)图像关于直线x= ①一般式: f(x)=ax2+bx+c;②顶点式: f(x)=a(x-h)2+k,(h,k)为顶点;③零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 a+b 对称;2 特别地: f(a+x)=f(a-x)(x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=a对称;12.函数零点的求法: ⑴直接法(求f(x)=0的根);⑵图象法;⑶二分法. æb4ac-b2b 二次函数y=ax+bx+c的图象的对称轴方程是x=-,顶点坐标是ç-ç2a4aè2a 2ö ÷÷。 ø (4)零点定理: 若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)ⅱ)y=f(x)®y=f(x)±k,(k>0)———上“+”下“-”; =f¢(x0)=lim Dx®0 f(x0+Dx)-f(x0); Dx ‘ ⑵常见函数的导数公式: ①C=0;②(xn)’=nxn-1;③(sinx)’=cosx;④(cosx)’=-sinx; ⑤(ax)’=axlna;⑥(ex)’=ex;⑦(logax)= ‘ 11’ ;⑧(lnx)=。 xlnax uu¢v-uv¢ ⑶导数的四则运算法则: (u±v)¢=u¢±v¢;(uv)¢=u¢v+uv¢;()¢=;2 vv¢¢⑷(理科)复合函数的导数: y¢x=yu×ux; ⑸导数的应用: ①利用导数求切线: 注意: ⅰ)所给点是切点吗? ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性: ①f¢(x)>0Þf(x)是增函数;②f¢(x)<0Þf(x)为减函数;③f¢(x)º0Þf(x)为常数;③利用导数求极值: ⅰ)求导数f¢(x);ⅱ)求方程f¢(x)=0的根;ⅲ)列表得极值。 ¾®y=-f(-x);ⅱy=f(x)¾¾®y=-f(x);②对称变换: ⅰy=f(x)¾¾ ¾x=f(y);ⅲy=f(x)¾¾®y=f(-x);ⅳy=f(x)¾¾® ③翻转变换: ⅰ)y=f(x)®y=f(|x|)———右不动,右向左翻(f(x)在y左侧图象去掉);ⅱ)y=f(x)®y=|f(x)|———上不动,下向上翻(|f(x)|在x下面无图象);11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数y=f(x)图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数y=f(x)与y=g(x)图象的对称性,即证明y=f(x)图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上,反之亦然; 注: ①曲线C1: f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C2方程为: f(-x,-y)=0; ②曲线C1: f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为: f(-x,y)=0;曲线C1: f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为: f(x,-y)=0; x=0 y=x (0,0)y=0 ④利用导数最大值与最小值: ⅰ)求的极值;ⅱ——求区间端点值(如果有);ⅲ)得最值。 第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 p180ooo )»57o18’1.⑴角度制与弧度制的互化: p弧度=180,1=弧度,1弧度=( 180p ⑵弧长公式: l=qR;扇形面积公式: S= 121 qR=Rl。 22 2.三角函数定义: 角α中边上任意一P点为(x,y),设|OP|=r则: sina=y,cosa=x,tana=y rrx3.三角函数符号规律: 一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律: “函数名不(改)变,符号看象限”;5.⑴y=Asin(wx+j)对称轴: wx+j=kp+ p 2 ;对称中心: ( kp-j 0)(kÎZ);w 第2页共32页 新课标高中数学基础知识归纳黔南护航辅导中心姚永刚QQ: 376288927⑵y=Acos(wx+j)对称轴: wx+j=kp ;对称中心: ( kp+ p -j w 0)(kÎZ); ⑴三角形面积公式: SDABC= 11 ah=absinC;22 sinx 6.同角三角函数的基本关系: sin2x+cos2x=1;=tanx; cosx 7.三角函数的单调区间: ⑵立体几何 1.三视图与直观图: 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体: ①表面积: S=S侧+2S底;②侧面积: S侧=2prh;③体积: V=S底h⑵锥体: ①表面积: S=S侧+S底;②侧面积: S侧=prl;③体积: V= ppùé y=sinx的递增区间是ê2kp-,2kp+ú(kÎZ),递减区间是 22ûë p3pùé (kÎZ);y=cosx的递增区间是[2kp-p,2kp](kÎZ),递减区间2kp+,2kp+êú22ûë 是[2kp,2kp+p](kÎZ),y=tgx的递增区间是çkp-递减区间是(kp,kp+p)(kÎZ)。 8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ①sin(a±b)=sinacosb±cosasinb; 1 S底h: 3 1 (S+SS’+S’)h;3 ⑶台体: ①表面积: S=S侧+S上底S下底;②侧面积: S侧=p(r+r’)l;③体积: V= æ è p 2 ,kp+ pö ÷(kÎZ),y=ctgx的2ø 2 ⑷球体: ①表面积: S=4pR;②体积: V=pR。 4 3 3 a±b)=②cos(a±b)=cosacosbmsinasinb;③tan( 9.二倍角公式: ①sin2a=2sinacosa; tana±tanb 。 1mtanatanb 2tana 。 1-tan2a 2222 ②cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina;③tan2a= 3.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行: ①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行: ①线面平行的判定定理;②面面平行Þ线面平行。 ⑶平面与平面平行: ①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直: ①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直: ①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注: 理科还可用向量法。 4.求角: (步骤-------Ⅰ。 找或作角;Ⅱ。 求角)⑴异面直线所成角的求法: ①平移法: 平移直线,构造三角形;②用向量法: ⑵直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义);②用向量法: (sina±cosa)2=1±2sinacosa=1±sin2a 10.正、余弦定理: ⑴正弦定理: rr cosq=|cos| abc ===2R(2R是DABC外接圆直径)sinAsinBsinC uuurr sinq=|cos 5.求距离: (步骤-------Ⅰ。 找或作垂线段;Ⅱ。 求距离)点到平面的距离: ①等体积法;②向量法: d=6.结论: ⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c2ab+2bc+2ca,体积V=abc。 第3页共32页 注: ①a: b: c=sinA: sinB: sinC;②a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; abca+b+c ===③。 sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC b2+c2-a2 ⑵余弦定理: a=b+c-2bccosA等三个;cosA=等三个。 2bc 2 2 2 11。 几个公式: 新课标高中数学基础知识归纳 黔南护航辅导中心姚永刚QQ: 376288927⑴点与圆的位置关系: (d表示点到圆心的距离)⑵正方体的棱长为a,全面积为6a2,体积V=a3。 ①d=RÛ点在圆上;②d 1.直线方程 ⑴点斜式: y-yo=k(x-xo);⑵斜截式: y=kx+b;⑶截距式: ⑷两点式: xy +=1;ab 第六部分圆锥曲线 1.定义: ⑴椭圆: |MF1|+|MF2|=2a,(2a>|F1F2|); ⑵双曲线: ||MF1|-|MF2||=2a,(2a<|F1F2|);⑶抛物线: |MF|=d2.结论 ⑴焦半径: ①椭圆: PF;(左“+”右“-”);1=a+ex0,PF2=a-ex0(e为离心率) ②抛物线: PF=x0+ y-y1x-x1 ;⑸一般式: Ax+By+C=0,(A,B不全为0)。 = y2-y1x2-x1 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系: 直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注 l1: y=k1x+b1l2: y=k2x+b2 k1=k2,b1¹b2k1×k2=-1l1,l2有斜率 p2 已知l1: A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。 4.几个公式 ⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G: ( x1+x2+x3y1+y2+y3 );, 33 ⑵弦长公式: AB=+k2×x2-x1=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 注: ⑴抛物线: AB=x1+x2+p;⑵通径(最短弦): ①椭圆、双曲线: 2b;②抛物线: 2p。 a 2 ⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离: d=Ax0+By0+C; A2+B2 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx2+ny2=1(m,n同时大于0时表示椭圆, mn<0时表示双曲线);当点P与椭圆短轴顶点重合时ÐF1PF2最大; ⑷双曲线中的结论: 2222 ①双曲线x-y=1(a>0,b>0)的渐近线: x-y=0; a2b2a2b2 22 byx②共渐进线y=±x的双曲线标准方程为;-2=l(l为参数,l≠0)2aab ⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d=C1-C2; A2+B25.圆的方程: ⑴标准方程: ①(x-a)+(y-b)=r;②x+y=r。 ⑵一般方程: x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0) 注: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆ÛA=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;6.圆的方程的求法: ⑴待定系数法;⑵几何法。 7.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ③双曲线为等轴双曲线Ûe=2Û渐近线为y=±xÛ渐近线互相垂直; ⑸焦点三角形问题求解: 利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法): 联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 第4页共32页 新课标高中数学基础知识归纳黔南护航辅导中心姚永刚QQ: 376288927注意以下问题: 2.等差、等比数列性质①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程? 等差数列 等比数列②直线斜率不存在时考虑了吗? a=a+(n-1)da=aqn-1 ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法): --------处理弦中点问题 1.q=1时,Sn=na1;步骤如下: ①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得kAB y-y2 =1=LL;③解决问题。 x1-x2 前nSn= n(a1+an)n(n-1)n =na1+d2.q¹1时,S=a1(1-q) n221-q =a1-anq 1-q 4.求轨迹的常用方法: (1)定义法: 利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分平面向量 ⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ①a∥b(b≠0)Ûa=lb(lÎR)Ûx1y2-x2y1=0;②a⊥b(a、b≠0)Ûa·b=0Ûx1x2+y1y2=0⑵a·b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2;注: ①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;①a·b的几何意义: a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。 性质an=am+(n-m)d,①an=amqn-m; m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq k S,S2k-Sk,S3k-S2k,L成AP③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,L成GP a,a,a,L成AP,d’=mda,a,a,L成GP,q’=qm3.数列通项的求法: ⑴定义法(利用AP,GP的定义);⑵累加法(an+1-an=cn型);⑶⑷累乘法( a×b ⑶cos<a,b>=; |a||b| uuuruuuruuur ⑷三点共线的充要条件: P,A,B三点共线ÛOP=xOA+yOB且x+y=1; (理科)P,A,B,C四点共面ÛOP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1。 uuuruuuruuuruuur an+1 ;⑸构造法(an+1=kan+b型);=cn型) an 11 ;⑻(理科)数学归纳法。 -=4) anan-1 ⑺间接法(例如: an-1-an=4anan-1Þ 第八部分数列 1.定义: ⑴等差数列{an}Ûan+1-an=d(d为常数)Û2an=an+1+an-1(n³2,nÎN*) 4.前n项和的求法: ⑴分组求和法;⑵裂项法;⑶错位相减法。 5.等差数列前n项和最值的求法: an³0æìan£0ö;⑵⑴ì利用二次函数的图象与性质。 ç或í÷íç÷îan+1£0è îan+1³0ø Ûan=kn+bÛsn=An2+Bn; ⑵等比数列{an}Û 第九部分不等式 an+12 =q(q¹0)Ûan=an-1×an+1(n³2,nÎN)an a+b 1.均值不等式: ab££ 2 a2+b2 2 a+b2a2+b2 注意: ①一正二定三相等;②变形,ab£(。 )£ 222.绝对值不等式: ||a|-|b||£|a±b|£|a|+|b| 第5页共32页 新课标高中数学基础知识归纳黔南护航辅导中心姚永刚QQ: 3762889273.不等式的性质: A包含的基本事件的个数 ⑵古典概型: P(A)=; ⑴a>bÛbb,b>cÞa>c;⑶a>bÛa+c>b+c;a>b,c>d基本事件的总数 Þa+c>b+d;⑷a>b,c>0Þac>bd;a>b,c<0Þac ⑶几何概型: P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积等) ; 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等) a>(nÎN*) 第十二部分统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样: 一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注: ①每个个体被抽到的概率为 第十部分复数 1.概念: ⑴z=a+bi∈RÛb=0(a,b∈R)Ûz=Ûz2≥0;⑵z=a+bi是虚数Ûb≠0(a,b∈R);⑶z=a+bi是纯虚数Ûa=0且b≠0(a,b∈R)Ûz+=0(z≠0)Ûz2<0;⑷a+bi=c+diÛa=c且c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;⑵z1.z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;⑶z1÷z2= n ;N (a+bi)(c-di)+bdbc-ad(z≠0);=ac+i2(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2 1+i1-i =i;=-i;1-i1+i 3.几个重要的结论: 2222222 (1)z1+z2+z1-z2=2(z1+z2); (2)z×=z=;⑶(1±i)=±2i②常用的简单随机抽样方法有: 抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样: 当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注: 步骤: ①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l;④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样: 当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注: 每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数´2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数=1(x1+x2+×××+xn)=1åxi; n n i=1 n⑵样本方差S2=1[(x1-)2+(x2-)2+×××+(xn-)2]=1å(xi-)2; ⑸i性质: T=4;i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4+2+i4n+3=0;4.模的性质: ⑴|z1z2|=|z1||z2|;⑵| n N z1|z1| ;⑶|zn|=|z|n。 |= z2|z2| n 第十一部分概率 1.事件的关系: ⑴事件B包含事件A: 事件A发生,事件B一定发生,记作AÍB;⑵事件A与事件B相等: 若AÍB,BÍA,则事件A与B相等,记作A=B; ⑶并(和)事件: 某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作AÈB(或A+B);⑷并(积)事件: 某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作AÇB(或AB);⑸事件A与事件B互斥: 若AÇB为不可能事件(AÇB=f),则事件A与互斥;﹙6﹚对立事件: AÇB为不可能事件,AÈB为必然事件,则A与B互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式: P(A+B)=P(A)+P(B); nn i=1 n ⑶样本标准差S=1[(x1-)2+(x2-)2+×××+(xn-)2]=1(x-)2; åi nn i=1 3.相关系数(判定两个变量线性相关性): r= å(x i=1 n i -x)(yi-y) n å(x i=1 n i -x)2å(yi-y)2 i=1 注: ⑴r>0时,变量x,y正相关;r<0时,变量x,y负相关;⑵①|r|越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②|r|接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 第6页共32页 新课标高中数学基础知识归纳黔南护航辅导中心姚永刚QQ: 376288927 4.回归分析中回归效果的判定: ⑵条件语句: ①② IF条件IF条件nnÙÙÙ22⑴总偏差平方和: ⑵残差: ei=yi-yi;⑶残差平方和: (yi-y)(yi-yi);语句体语句体1 i=1i=1;ENDIFELSE 语句体2Ùn2(yi-yi)ENDIFnnÙ2221⑷回归平方和: 相关指数R=1-i=。 (yi-y)-(yi-yi);⑸ni=1i=1⑶循环语句: ①当型: ②直到型: (yi-yi)2 i=1WHILEDO 循环体循环体2注: ①R得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;WENDLOOPUNTIL 2②R越接近于1,,则回归效果越好。 第十四部分常用逻辑用语与推理证明 5.独立性检验(分类变量关系): 1.四种命题: ⑴原命题: 若p则q;⑵逆命题: 若q则p;2随机变量K越大,说明两个分类变
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