关于高级小学数学工程问题.docx
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关于高级小学数学工程问题
工程问题
问题分析
工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题,它具有抽象性,学生认知起来比较困难。
因此,在教学中,如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。
联系实际,让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。
充分发挥学生的主体地位,锻炼学生已有的知识解决合作问题。
在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间。
在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”.
举一个简单例子.:
一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?
一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1。
所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位,再根据基本数量关系式,得到:
所需时间=工作量÷工作效率=6(天)。
为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),可以把工作量多设份额,还是上题,10与15的最小公倍数是30,设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份,两人合作所需天数是:
30÷(3+2)=6(天),整数计算就方便些。
或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”,甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2,当知道了两者工作效率之比。
【知识点】
工程问题是分析工作效率、工作时间和工作总量之间关系,一般是利用学过的分数知识解决问题。
在工程问题中,一般没有明确给出工作总量,解题时常常把工作总量看成单位“1”。
在单位时间内完成的工作量称为工作效率,工作效率一般是工作总量的几分之几。
工程问题基本数量关系式:
(1)一般公式:
工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
(2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式:
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;一般给出工作时间,就可以知道工作效率为
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
如果可以给出工作效率是
,就可以知道工作时间为a.
【例题讲解】
两个人的问题
例1.一件工作,由A做20天完成,B做15天完成。
(1)两队合做5天可以完成工程的几分之几?
(2)两队合做6天,还剩下工程的几分之几?
(3)两队合做几天完成?
解:
(1)
(2)
(3)
答:
(1)两队合做5天可以完成工程的
。
(2)两队合做6天,还剩下工程的
。
(3)两队合做8
天完成。
【解析】
此题是工作效率问题。
A用20天完成,总工程是“1”,所以甲队的工作效率是
,乙对的工作效率是
。
问题
(1)要求完成的工程量,用工作效率×工作时间;
问题
(2)要求剩余工程量,可先求出已做的工程量,用总工程量“1”减去已做工程量;
问题(3)要求完成时间,用总工程量“1”÷总工效。
例2.一工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成,现在甲、乙做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙需要做几天可以完成全部工作?
解:
(1)
(2)
答:
乙需要做1天可以完成全部工作。
【解析】
要解决此题,就要清楚此工程的过程,此工程是甲和乙完成一件工作,先是甲和乙一起做,之后转由乙单独完成,求的是乙单独完成剩下的工作时间。
总工程是“1”,就可以知道:
甲的工作效率是
,乙对的工作效率是
。
求乙单独完成剩下的工作时间,还需要知道乙的工作总量,乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。
甲和乙3天的工作总量:
工作效率×工作时间=工作总量
,
剩下:
乙完成剩下的工作时间:
利用工作总量÷工作效率=工作时间
例3.一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成,如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解法一:
解:
(天)
(天)
答:
工作由甲或乙单独完成,甲需要75天,乙需要50天。
【解析】
此题是求工作时间问题,工作时间=工作总量÷工作效率。
工作总量是“1”,因此就转换需要求出甲和乙完成这件工作的工作效率。
甲、乙的总工作效率:
甲、乙6天的工作总量:
乙40天的工作总量:
,可以求得乙的工作效率:
甲的工作效率:
解法二:
提示:
甲做24天,乙做16天。
例4.某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天可以完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成,现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?
解:
先对比如下:
甲做63天,乙做28天;
甲做48天,乙做48天
由此,可知甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),得出相同的工作量,甲的工作时间︰乙的工作时间=15︰20=3︰4。
甲先单独做42天,比63天少做了:
63-42=21(天),相当于乙要做28天,因此,乙还要做:
28+28=56(天)。
答:
乙还需要做56天.
例5.一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成,现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息)。
问从开始到完工共用了多少天时间?
解一:
甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量,余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是:
(1-
×8-
×2)÷(
+
)=1(天)。
总共需要:
2+8+1=11(天),
答:
从开始到完工共用了11天,
解二:
设全部工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成1份。
在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作:
(30-3×8-1×2)÷(3+1)=1(天)
解三:
甲队做1天相当于乙队做3天。
在甲队单独做8天后,还余下(甲队)10-8=2(天)工作量,相当于乙队要做2×3=6(天),乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量。
乙队4天的工作量由甲、队一起做,其中乙队3天工作量可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天。
例6.一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成,现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天。
从开始到完成共用了16天。
问乙队休息了多少天?
解一:
如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是
由于两队休息期间未做的工作量是
乙队休息期间未做的工作量是
乙队休息的天数是
答:
乙队休息了5天半.
解二:
设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
(3+2)×16-60=20(份).
因此乙休息天数是
(20-3×3)÷2=5.5(天).
解三:
甲队做2天,相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是
16-6-4.5=5.5(天).
例7有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?
解:
很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.
设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份.
8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-4×8)份.由张、李合作需要
(60-4×8)÷(4+3)=4(天).
8+4=12(天).
答:
这两项工作都完成最少需要12天.
例8一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天?
解:
设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两人合作,共完成
3×0.8+2×0.9=4.2(份).
因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是
(30-3×8)÷(4.2-3)=5(天).
很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
例9甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时?
解:
乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时,甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
答:
甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化。
二、多人的工程问题
例10.一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成,问甲一人独做需要多少天完成?
解:
(天)
(天)
(天)
答:
独做完成,甲需90天,乙需60天,丙需180天。
【解析】
此题有别与以上3题,是要对工作效率更深刻的理解,寻找数学量之间的关系。
例11.一项工程,甲、乙、丙三人合作需要12天完成,如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者甲多做1天,问这项工程由甲独做需要多少天?
解:
12+12×
+12×2=42(天)
42×
=21(天)
答:
这项工程甲单独做需要21天。
【解析】
题中说“如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲多做1天”,就是说丙2天的工作量,乙需要4天做,或者甲只需1天,那么丙的工效就是乙的2倍,丙的工效是甲的
。
乙12天的工作量丙需要6天,甲12天的工作量丙需要24天。
所以这件工程丙需要12+6+24=42天。
甲需要的时间是丙时间的一半:
21天,
例12.一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
解:
甲做1天,乙就做3天,丙就做3×2=6(天).
说明甲做了2天,乙做了2×3=6(天),丙做2×6=12(天),三人一共做了
2+6+12=20(天).
答:
完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了
例13一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?
解:
丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2(倍),甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要
答:
甲独做需要26天.
事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成.
例12某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作?
解一:
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答:
合作3天能完成这项工作.
解二:
甲组3人8天能完成,因此2人12天能完成;乙组4人7天能完成,因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数,问题转化为:
甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完成?
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型,如果你心算较好,很快就能得出答数.
例14制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件?
解一:
仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答:
丙车间制作了4200个零件.
解二:
10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起,8天完成.乙完成8×2=16(份),丙完成30-16=14(份),就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是
2400÷(12-8)×7=4200(个).
例15搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?
解:
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
答:
丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时.
解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4.
三人共同搬完,需要
60×2÷(6+5+4)=8(小时).
甲需丙帮助搬运
(60-6×8)÷4=3(小时).
乙需丙帮助搬运
(60-5×8)÷4=5(小时).
三、水管问题
从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
例16甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米?
解:
甲每分钟注入水量是:
(1-1/9×3)÷10=1/15
乙每分钟注入水量是:
1/9-1/15=2/45
因此水池容积是:
0.6÷(1/15-2/45)=27(立方米)
答:
水池容积是27立方米.
例17有一些水管,它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管,经过预定的时间的1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管?
分析:
增开水管后,有原来2倍的水管,注水时间是预定时间的1-1/3=2/3,2/3是1/3的2倍,因此增开水管后的这段时间的注水量,是前一段时间注水量的4倍。
设水池容量是1,前后两段时间的注水量之比为:
1:
4,
那么预定时间的1/3(即前一段时间)的注水量是1/(1+4)=1/5。
10根水管同时打开,能按预定时间注满水,每根水管的注水量是1/10,预定时间的1/3,每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30
要注满水池的1/5,需要水管1/5÷1/30=6(根)
解:
前后两段时间的注水量之比为:
1:
[(1-1/3)÷1/3×2]=1:
4
前段时间注水量是:
1÷(1+4)=1/5
每根水管在预定1/3的时间注水量为:
1÷10×1/3=1/30
开始时打开水管根数:
1/5÷1/30=6(根)
答:
开始时打开6根水管。
例18蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要4小,丁管需要6小时,现在水池内有六分之一的水,如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池?
分析:
,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
以后(20小时),池中的水已有
此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的:
一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才能到达井口,每小时它总是爬3尺,又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口?
看起来它每小时只往上爬3-2=1(尺),但爬了27小时后,它再爬1小时,往上爬了3尺已到达井口.
因此,答案是28小时,而不是30小时.
例19一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空?
解:
先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟,多流入水
4×60=240(立方米).
时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是
240÷(5×150-8×90)=8(立方米),
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8×8×90,
其中90分钟内流入水量是4×90,因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400(立方米).
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水,放空原存的5400,需要
5400÷(8×13-4)=54(分钟).
答:
打开13个龙头,放空水池要54分钟.
水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
例20一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的.打开A管,8小时可将满池水排空,打开C管,12小时可将满池水排空.如果打开A,B两管,4小时可将水排空.问打开B,C两管,要几小时才能将满池水排空?
解:
设满水池的水量为1.
A管每小时排出
A管4小时排出
因此,B,C两管齐开,每小时排水量是
B,C两管齐开,排光满水池的水,所需时间是
答:
B,C两管齐开要4小时48分才将满池水排完.
本题也要分开考虑,水池原有水(满池)和渗入水量.由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上,也可以整数化,把原有水设为8与12的最小公倍数24.
17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书,书中提出了一个“牛吃草”问题,这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲,与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量:
原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的.
例21有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一
草;21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?
解:
吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式,可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
原有草+4星期新长的草=12×4.
原有草+9星期新长的草=7×9.
由此可得出,每星期新长的草是
(7×9-12×4)÷(9-4)=3.
那么原有草是
7×9-3×9=36(或者12×4-3×4).
对第三片牧场来说,原有草和18星期新长出草的总量是
这些草能让
90×7.2÷18=36(头)
牛吃18个星期.
答:
36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来,把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上,如果例19再有一个条件,例如:
“打开B管,10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求,是不需要加这一条件.好好想一想,你能明白其中的道理吗?
“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅,我们只再举一个例子.
例22画展9点开门,但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分?
解:
设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.
从9点至9点9分进入观众是3×9,
从9点至9点5分进入观众是5×5.
因为观众多来了9-5=4(分钟),所以每分钟来的观众是
(3×9-5×5)÷(9-5)=0.5.
9点前来的观众是
5×5-0.5×5=22.5.
这些观众来到需要
22.5÷0.5=45(分钟).
答:
第一个观众到达时间是8点15分.
例23.挖一条水渠,甲、乙两队合挖要六天完成。
甲队先挖三天,乙队接着挖一天,可挖这条水渠的3/10,两队单独挖各需几天?
分析:
甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30
2÷(3/10-1/6)
=2÷4/30
=15(天)
1÷(1/6-1/15)=10(天)
答:
甲单独做要15天,乙单独做要10天.
例24.一件工作,如果甲单独做,那么甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才完成。
现在甲乙二人合作二天后,剩下的乙单独做,刚好在规定日期内完成。
若甲乙二人合作,完成工作需多长时间?
解设:
规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天)
1/(X-2)×2+X/(X+3)=1
X=12
规定要12天完成
1÷[1/(12-2)+1/(12+3)]
=1÷(1/6)
=6天
答:
两人合作完成要6天.例:
一项工程,甲单独做63天,再由乙做28天完成,甲乙合作需要48天完成。
甲先做42天,乙做还要几天?
答:
设甲的工效为x,乙的工效为y
63x+28y=1
48x+48y=1
x=1/84
y=1/112
乙还要做(1-42/84)÷(1/112)=56(天)
习题
1.一件工作,甲单独做需要6天,乙单独做需要8天,两人合作需要几天可以完成这件工作?
2.一部稿件需要输入到Word文档,甲单独打4小时可打完,乙单独打8小时可打完,二人合打2小时后,剩下的乙独打,还需要几小时打完?
3.有一项工程,甲队单独做需要10天,甲、乙两队合做需要4天。
如果甲队先做3天,然后两队合做还需要几天?
4.甲和乙两队合修一条公路,完成任务时,甲队修了这条公路的
。
如果乙队单独完成要24天,
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