13章单元总结 教案人教版八年级上册.docx
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13章单元总结教案人教版八年级上册
§12.1.1轴对称
(一)
教学目标
1.在生活实例中认识轴对称图.
2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念.
1对称轴定义
将一张白纸沿中间对折,将一个圆沿直径对折,让学生回答,有什么发现?
结论:
如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
说明:
1、对称轴是一条直线2、对称轴两侧的图像全等
2对称轴的数量
下列各图,你能找出它们的对称轴吗?
结果:
图
(1)有四条对称轴;图
(2)有四条对称轴;图(3)有无数条对称轴;图(4)有两条对称轴;图(5)有七条对称轴.
(1)
(2)(3)(4)
说明:
对称图形的对称轴有的是一条,有饿是多条,甚至有的是无数条
3轴对称定义
展示挂图,大家想一想,你发现了什么?
像这样,把两个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
说明:
1、轴对称图形是一个图形的特点,是针对一个图形来说的
2、轴对称是两个图形的位置关系,是针对两个图形来说的
§12.1.2轴对称
(二)
教学目标
1.了解两个图形成轴对称性的性质,
2.探究线段垂直平分线的性质.
教学过程
Ⅰ.创设情境,引入新课
上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?
今天继续来研究轴对称的性质.
Ⅱ.导入新课
垂直平分线的定义和性质
观看投影并思考.
如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?
图中A、A′是对称点,AA′与MN垂直,BB′和CC′也与MN垂直.
AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗?
△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后,点A与A′重合,于是有AP=A′P,∠MPA=∠MPA′=90°.所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外,MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点.
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样,对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.
归纳图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
下面我们来探究线段垂直平分线的性质.
[探究1]
如下图.木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?
1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分线L,在L上取P1、P2、P3…,连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2.作好图后,用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律.
探究结果:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,…
证明.
证法一:
利用判定两个三角形全等.
如下图,在△APC和△BPC中,
△APC≌△BPC
PA=PB.
证法二:
利用轴对称性质.
由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.
带着探究1的结论我们来看下面的问题.
[探究2]垂直平分线的逆定理
如上图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?
为什么?
活动:
1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作L,在L上取点P1、P2,连结AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能.
2.讨论:
要使L与AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件?
探究过程:
1.如上图甲,若AP1≠BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L与AB不垂直.
2.如上图乙,若AP1=BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L与AB重合.当AP2=BP2时,亦然.
探究结论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说在[探究2]图中,只要使箭端到弓两端的端点的距离相等,就能保持射出箭的方向与木棒垂直.
[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
Ⅵ.活动与探究
如图甲,△ABC和△A′B′C′关于直线L对称,延长对应线段AB和A′B′,两条延长线相交吗?
交点与对称轴L有什么关系?
延长其他对应线段呢?
在图乙中,AC与A′C′又如何呢?
再找几个成轴对称的图形观察一下,能发现什么规律吗?
过程:
在图甲中,AB与A′B′不平行,所以它们肯定会相交.下面来研究交点与对称轴L的关系.
问题1:
点和直线有几种位置关系?
有两种.一种是点不在直线上,另一种是点在直线上.
问题2:
先来假设一下交点不在对称轴L上,看是否成立.
如果交点(P)不在对称轴L上,那么在L的另一侧一定有另外一点(P′)与交点(P)关于直线L对称,且该点(P′)也是两延长线的交点.但是由于两条直线相交只可能有一个交点,所以这两点是重合的.即交点(P)只能在对称轴L上.所以交点一定在对称轴上.延长其他的对应线段,结果也一样.
再看图乙,我们来讨论下一个问题.
AC与A′C′是平行的,它们的两条延长线也不会相交.
结论:
成轴对称的两个图形,对应线段的延长线如果相交,交点一定在对称轴上;对应线段的延长线如果不相交,也就是对应线段所在的直线平行,那么它们也与对称轴平行.
§12.2轴对称变换
教学目标
1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.
2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.
Ⅰ.设置情境,引入新课
在前一个章节,我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.在上节课的作业中,我们有个要求,让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样.
将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形.
准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折,压平,并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.
这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形.
Ⅱ.导入新课
由我们已经学过的知识知道,连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案.
对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家看大屏幕,从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置,体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.
下面,同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,再打开看看,得到了什么?
改变折痕的位置并重复几次,又得到了什么?
同学们互相交流一下.
结论:
由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点;
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.
Ⅲ.随堂练习
(一)如图
(1),将一张正六边形纸沿虚线对折折3次,得到一个多层的60°角形纸,用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线,如图
(2).
(1)猜一猜,将纸打开后,你会得到怎样的图形?
(2)这个图形有几条对称轴?
(3)如果想得到一个含有5条对称轴的图形,你应取什么形状的纸?
应如何折叠?
答案:
(1)轴对称图形.
(2)这个图形至少有3条对称轴.
(3)取一个正十边形的纸,沿它通过中心的五条对角线折叠五次,得到一个多层的36°角形纸,用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线,打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形.
(二)回顾本节课内容,然后小结.
12.2.2用坐标表示轴对称
教学目标
在平面直角坐标系中,确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系,再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
二、新授:
1.学生探索:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标(-x,-y)
2.例3四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.
(1)归纳:
与已知点关于y轴或x轴对称的点的坐标的规律;
(2)学生画图
(3)对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标,描出并顺次连接这些特殊点,就可以得到这个图形的轴对称图形.
3、探究问题
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?
(1)学生画图,由具体的数据,发现它们的对应点的坐标之间的关系
(2)若△P
Q
R
中P
(x
y
)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P
(x
y
),
则
,y
=y
.
若△P
Q
R
中P
(x
y
)关于y=-1(记为n)轴对称的点的坐标P
(x
y
),
则x
=x
,
=n.
§12.3.1.1等腰三角形
教学目标
1.等腰三角形的概念.
2.等腰三角形的性质.
3.等腰三角形的概念及性质的应用.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:
①三角形是轴对称图形吗?
②什么样的三角形是轴对称图形?
有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.
问题:
那什么样的三角形是轴对称图形?
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.
Ⅱ.导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形.
作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个角形.
提问:
看看这三角形有什么特点?
有两条边相等------证明一下
等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
思考:
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
请找出它的对称轴.
2.等腰三角形的两底角有什么关系?
3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
底边上的高所在的直线呢?
结论:
等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:
等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
2研究等腰三角形的性质
沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.
由此可以得到等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).
由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).
如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SSS).
所以∠B=∠C.
]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的角平分线AD,因为
所以△BAD≌△CAD.
所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=
∠BDC=90°.
[例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
求:
△ABC各角的度数.
分析:
根据等边对等角的性质,我们可以得到
∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,
再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.
再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.
把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.
解:
因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC.
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.
参考练习
一、选择题
1.如果△ABC是轴对称图形,则它的对称轴一定是()
A.某一条边上的高;B.某一条边上的中线
C.平分一角和这个角对边的直线;D.某一个角的平分线
2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是()
A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°
答案:
1.C2.C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.
求这个等腰三角形的边长.
解:
设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得
2(x+2)+x=16.
解得x=4.
所以,等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm.
12.3.2等边三角形
(一)
教学目的
1.使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
2.熟识等边三角形的性质及判定.
2.通过例题教学,帮助学生总结代数法求几何角度,线段长度的方法。
教学过程
二、新课
在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。
我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
1.请同学们画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想。
2.你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°。
3.上面的条件和结论如何叙述?
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。
等边三角形是轴对称图形吗?
如果是,有几条对称轴?
等边三角形也称为正三角形。
例1.在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°,求∠1和∠ADC的度数。
分析:
由AB=AC,D为BC的中点,可知AB为BC底边上的中线,由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线,底边上的高,从而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC可求,所以∠1可求。
问题1:
本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线,其它条件不变,计算的结果是否一样?
问题2:
求∠1是否还有其它方法?
三、练习巩固
1.判断下列命题,对的打“√”,错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合()
b.有一个角是60°的等腰三角形,其它两个内角也为60°()
2.如图
(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。
§12.3.2.1等边三角形(三)
教学过程
一、复习等腰三角形的判定与性质
二、新授:
1.等边三角形的性质:
三边相等;三角都是60°;三边上的中线、高、角平分线相等
2.等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意:
推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中,只要有一个角是600,不论这个角是顶角还是底角,就可以判定这个三角形是等边三角形。
推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3.由学生解答课本128页的例子;
4.补充:
已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,
∠ABC=120o,求证:
AB=2BC
B
分析由已知条件可得∠ABD=30o,如能构造有一个锐角是30o的直角三角形,斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
点评本题还可过C作CE∥AB
5、训练:
如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:
△CNM是等边三角形.
分析由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点,于是有BN=AM,要证明△CNM是等边三角形,只须证MC=CN,∠MCN=60o,所以要证△NBC≌△MAC,由上述已推出的结论,根据边角边公里,可证得△NBC≌△MAC
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
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