192一次函数.docx
- 文档编号:9736673
- 上传时间:2023-02-06
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:56.64KB
192一次函数.docx
《192一次函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《192一次函数.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
192一次函数
19.2一次函数
第1课时
教学内容
正比例函数.
教学目标
1.认识正比例函数的意义.
2.掌握正比例函数解析式特点.
3.能利用所学知识解决相关实际问题.
教学重点
理解正比例函数意义及解析式特点.
教学难点
正比例函数意义及解析式特点.
教学过程
一、导入新课
问题:
1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.大约128天后,人们在25600千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)?
(2)这只燕鸥的行程y(单位:
千米)与飞行时间x(单位:
天)之间有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行1个半月(1个月按30天计算)的行程大约是多少千米?
分析:
(1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为
25600÷128≈200(km).
(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km,那么它的行程y(单位:
千米)就是飞行时间x(单位:
天)的函数.函数解析式为
y=200x(0≤x≤127).
(3)这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值.即
y=200×45=9000(km).
以上我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?
我们这节课就来学习.
二、新课教学
首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?
这些函数有什么共同特点?
思考:
下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?
如果是,请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征?
(1)圆的周长l随半径r的变化而变化.
(2)铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位:
g)随它的体积V(单位:
cm3)的变化而变化.
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:
cm)随练习本的本数n的变化而变化.
(4)冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:
℃)随冷冻时间t(单位:
min)的变化而变化.
设计意图:
通过“思考”栏目给出的更多实际背景,为下面引出正比例函数的概念铺垫.
上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为:
(1)l=2πr;
(2)m=7.8V;(3)h=0.5n; (4)T=-2t.
我们观察这些函数关系式,不难发现这些函数和y=200x的形式一样都是常数与自变量的积的形式.
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
三、巩固练习
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题:
(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?
(2)京沪高铁列车的行程y(单位:
km)与运行时间t(单位:
h)之间有何数量关系?
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后,是否已经过了距始发站1100km的南京南站?
具体分析见教材第86页.
四、布置练习
教材第87页练习1、2.
第2课时
教学内容
正比例函数.
教学目标
1.理解正比例函数图象性质及特点.
2.会画正比例函数的图象.
3.能利用所学知识解决相关实际问题.
教学重点
1.掌握正比例函数图象的性质特点.
2.能根据要求完成转化,解决问题.
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握.
教学过程
一、导入新课
我们上节课学习了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢?
我们今天就探究这个问题.
二、新课教学
例画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.
(1)y=2x;
(2)y=-2x.
解:
(1)函数y=2x中自变量x可为任意实数.下表是y与x的几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-6
-4
-2
0
2
4
6
…
如下图,在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.将这些点连接起来,得到一条经过原点和第三、第一象限的直线.它就是函数y=2x的图象.
(2)函数y=-2x中自变量x可为任意实数.下表是y与x的几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
6
4
2
0
-2
-4
-6
…
如上图,在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.将这些点连接起来,得到一条经过原点和第二、第四象限的直线.它就是函数y=-2x的图象.
这两个图象的共同点都是经过原点的直线.不同点是函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的增大y也增大;经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小;经过第二、四象限.
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过第三、第一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、第四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.
三、探究活动
思考:
经过原点与点(1,k)(k是常数,k≠0)的直线是哪个函数的图象?
画正比例函数的图象时,怎样画最简单?
为什么?
让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系,完成由图象到关系式的转化,进一步理解数形结合思想的意义,并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.
结论:
因为两点确定一条直线,所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象.一般地,过原点和点(1,k)(k是常数,k≠0)的直线,即正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
四、课堂小结
我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征,并掌握图象特征与关系式的联系规律,经过思考、尝试,知道了正比例函数不同表现形式的转化方法,及图象的简单画法,为以后学习一次函数奠定了基础.
五、布置作业
习题19.2第1、2题.
第3课时
教学内容
一次函数.
教学目标
1.掌握一次函数解析式的特点及意义.
2.知道一次函数与正比例函数的关系.
3.理解一次函数图象特点与解析式的联系规律.
教学重点
1.一次函数解析式特点.
2.一次函数图象特征与解析式的联系规律.
教学难点
1.一次函数与正比例函数关系.
2.根据已知信息写出一次函数的表达式.
教学过程
一、导入新课
问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.
分析:
我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是s=570-95t.
说明:
找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.
问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.
分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为:
y=50+12x.
问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
二、新课教学
思考:
下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?
如果是,请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征?
(1)有人发现,在20℃~25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t(单位:
℃)有关,即c的值约是t的7倍与35的差.
(2)一种计算成年人标准体重G(单位:
kg)的方法是:
以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值.
(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:
元)包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费(按0.1元/min收取).
(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变,长方形的面积y(单位:
cm2)随x的变化而变化.
上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为:
(1)c=7t-35(20≤t≤25);
(2)G=h-105;
(3)y=0.1x+22; (4)y=-5x+50(0≤x≤10).
教师引导学生总结这些函数解析式的共同点,并把它们抽象为y=kx+b的形式.
总结:
上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
例某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.
分析:
因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.
解:
在第一阶段:
y=3x(0≤x≤8);
在第二阶段:
y=16+x(8≤x≤16);
在第三阶段:
y=-2x+88(24≤x≤44).
三、课堂练习
下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?
(1)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);
(2)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;
(3)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
(4)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程中y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系式;
(5)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).
分析:
确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.
解:
(1)L=2b+16,L是b的一次函数;
(2)y=150-5x,y是x的一次函数;
(3)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数;
(4)y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数;
(5)y=50+2x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
四、布置作业
习题19.2第4、5题.
第4课时
教学内容
一次函数.
教学目标
1.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
2.能较熟练作出一次函数的图象.
教学重点
1.能熟练地作出一次函数的图象.
2.归纳作函数图象的一般步骤.
教学难点
理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
教学过程
一、导入新课
问题:
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状,它与直线y=kx(k≠0)有什么关系?
今天我们就探讨这个问题.
二、新课教学
例画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
解:
函数y=-6x与y=-6x+5中,自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值.
-2
-1
0
1
2
y=-6x
12
6
0
-6
-12
y=-6x+5
17
11
5
-1
-7
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象(见教材图19.2-3).
比较这两个函数的图象的相同点与不同点,我们可以得出:
这两个函数的图象形状都是直线,并且倾斜程度相同.函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点(0,5),即它可以看作由直线y=-6x向上平移5个单位长度而得到.
教师引导学生回答前面的问题.
比较一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的解析式,容易得出:
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移│b│个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b.
例3画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
分析:
由于一次函数的图象是直线,因此只要确定两个点就能画出它.
解:
列表表示当x=0,x=1时两个函数的对应值(下表).
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
过点(0,-1)与点(1,1)画出直线y=2x-1;过点(0,1)与点(1,0.5)画出直线y=-0.5x+1.(见教材图19.2-4)
思考:
(1)满足关系式y=2x-1的x、y所对应的点(x,y)都在一次函数y=2x-1的图象上吗?
(2)一次函数y=2x-1的图象上的点(x,y)都满足关系式y=2x-1吗?
分组讨论,然后回答.
(1)满足关系式y=2x-1的x,y所对应的点(x,y)都在一次函数y=2x-1的图象上.
(2)一次函数y=2x-1的图象上的点(x,y)都满足关系式y=2x-1.
由此看来,满足函数关系式y=2x-1的x,y所对应的点(x,y)都在一次函数y=2x-1的图象上;反过来,一次函数y=2x-1的图象上的点(x,y)都满足关系式y=2x-1.所以,一次函数的代数表达式与图象是一一对应的,即满足一次函数的代数表达式的点在图象上,图象上的每一点的横坐标x,纵坐标y都满足一次函数的代数表达式.
探究:
画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象.由它们联想:
一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
观察前面一次函数的图象,可以发现规律:
当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升;当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降.由此可知:
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)具有如下性质:
当k>0时,y随x的增大而增大;
当k<0时,y随x的增大而减小.
特别地,当b=0时,正比例函数也有上述性质,当b>0,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,直线与y轴交于正半轴.
我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表如下:
三、课堂练习
已知一次函数y=(2m-1)x+m+5,当m是什么数时,函数值y随x的增大而减小?
分析:
一次函数y=kx+b(k≠0),若k<0,则y随x的增大而减小.
解:
因为一次函数y=(2m-1)x+m+5,函数值y随x的增大而减小.
所以,2m-1<0,即m<
.
2.已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.
分析:
一次函数y=kx+b(k≠0),若函数y随x的增大而减小,则k<0,若函数的图象经过二、三、四象限,则k<0,b<0.
解:
由题意得
,解得,
.
四、布置作业
习题19.2第12题.
第5课时
教学内容
一次函数.
教学目标
1.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
教学重点
1.一次函数中k与b的值对函数性质的影响.
2.结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系,提高数形结合能力.
教学难点
一次函数k、b的取值和直线位置的关系,数形结合能力.
教学过程
一、导入新课
一次函数关系式y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢?
我们今天就探讨这个问题.
二、新课教学
例1已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9).求这个一次函数的解析式.
分析:
求一次函数y=kx+b的解析式,关键是求出k,b的值.从已知条件可以列出关于k,b的二元一次方程组,并求出k,b.
解:
设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
因为y=kx+b的图象过点(3,5)与(-4,-9),所以
解方程组得
这个一次函数的解析式为y=2x-1.
例2已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.
考虑:
这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时,弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系?
分析:
已知y是x的函数关系式是一次函数,则关系式必是y=kx+b的形式,所以要求的就是系数k和b的值.而两个已知条件就是x和y的两组对应值,也就是当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.可以分别将它们代入函数式,转化为求k与b的二元一次方程组,进而求得k与b的值.
解:
设所求函数的关系式是y=kx+b(k≠0),由题意,得
解这个方程组,得
所以所求函数的关系式是y=0.3x+6.(其中自变量有一定的范围)
像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数,因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
我们可以用框图来表示一次函数的解析式与图象之间的互相转化.
三、巩固练习
若一次函数y=mx-(m-2)过点(0,3),求m的值.
分析:
考虑到直线y=mx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知x=0时,y=3,求m.即求关于m的一元一次方程.
解:
当x=0时,y=3.即:
3=-(m-2).解得m=-1.
四、布置作业
习题19.2第6、7题.
第6课时
教学内容
一次函数与方程、不等式.
教学目标
1.认识一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系,会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.
2.经历用函数图象表示方程和不等式的过程,进一步体会“以形表数,以数释形”的数形结合思想.
教学重点
一次函数与方程、不等式的联系.
教学难点
一次函数图象确定一元一次不等式的解集.
教学过程
一、导入新课
前面我们学习了一次函数,实际上方程、不等式和函数之间有着密切的联系,今天我们就从函数的角度看解一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程(组).
二、新课教学
1.从函数的角度看解一元一次方程
思考:
下面3个方程有什么共同点和不同点?
你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?
(1)2x+1=3;
(2)2x+1=0; (3)2x+1=―1.
可以看出,这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3,0,-1.从函数的角度看,解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值.或者说,在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看它们的横坐标分别为多少(右图).
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.
2.从函数的角度看解一元一次不等式
下面3个不等式有什么共同点和不同点?
你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?
(1)3x+2>2;
(2)3x+2<0;(3)3x+2<―1.
可以看出,这3个不等式的不等号左边都是3x+2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看,解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时,求自变量x的取值范围.或者说,在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点,看它们的横坐标分别满足什么条件(下图).
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
3.从函数的角度看解二元一次方程组
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?
首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.
比如
可化为
根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等.它反映在图象上,就是求直线y=x+5和y=0.5x+15的交点坐标.因此,我们也可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
有了前面两节课初步形成的函数观点,此处直接引入结论,学生应该能接受,可以为下面的实际问题留下比较充裕的探究时间.
问题31号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:
m)关于上升时间x(单位:
min)的函数关系;
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?
如果能,这时气球上升了多长时间?
位于什么高度?
解题思路和过程见教材第97、98页.
三、课堂小结
一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
四、布置作业
习题19.2第14题.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 192 一次函数 一次 函数
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)