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注意:
红色为易错点、蓝色为难点、其余为重点
第九章整式
知识梳理
一、代数式的有关概念
(1)代数式的分类
单项式
整式多项式
代数式
分式
(2)整式:
没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式。
二、同类项、合并同类项
所含的字母相同并且字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变。
三、去括号与添括号
(1)去括号法则:
括号前是“+”号,去掉括号和它前面的“+”号,括号里各项都不改变符号;括号前是“-”,去掉括号和它前面的“-”号,括号里各项都改变符号。
(2)添括号法则:
添括号,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号,括号前面是“-”,括到括号里的各项都改变符号。
四、整式的运算
(1)数的运算律对代数式同样适用。
(2)整式的加减:
整式的加减法实际上就是合并同类项,遇到括号,一般要先去掉括号,去括号的方法是:
(3)幂的运算法则
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即:
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
即
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即
(4)整式的乘法
单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只有一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
即
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
即
(5)乘法公式
平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,即:
完全平方公式两数和(或差)的平方,等于它的平方和加上(或者减去)它们积的2倍,即:
五、因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
六、因式分解的基本方法
(1)提取公因式法:
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,即:
(2)运用公式法:
把乘法公式反过来对某些多项式分解因式,
即:
(3)十字相乘法:
型式子的因式分解,
即:
(4)分组分解法:
利用分组来分解因式的方法。
①分组后能直接提公因式;②分组后能直接运用公式;
七、因式分解的一般步骤
(1)多项式的各项有公因式时,先提公因式。
(2)各项没有公因式时,要看看能不能用公式法来分解。
(3)如果用上述方法不能分解因式,再看能不能运用分组分解法。
(4)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
八、整式的除法
单项式除以单项式,把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式,把这个多项式的每一项除以这个单项式,然后把所得的商相加。
第十章分式
知识梳理
(一)知识要点:
1.分式的概念:
A、B表示两个整式,A÷B(B≠0)可以表示为
的形式,如果B中含有字母,那么我们把式子
(B≠0)叫分式,其中A叫分子,B叫分母。
关于分式概念的两点说明:
i)分式的分子中可以含有字母,也可以不含字母,但分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别。
ii)分式中的分母不能为零,是分式概念的组成部分,只有分式的分母不为零,分式才有意义,因此,若分式有意义,则分母的值不为零(所谓分母的值不为零,就是分母中字母不能取使分母为零的那些值)反之,分母的值不为零时,分式有意义。
2.分式的值为零
分式的值为零
3.有理式的概念
4.分式的基本性质
(1)分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式,分式的值不变。
即
(2)分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式,分式的值不变。
即
注:
(1)分式的基本性质表达式中的M是不为零的整式。
(2)分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。
5.分式的符号法则:
分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。
6.约分:
把分式中分子和分母的公因式约去,叫约分。
注:
约分的理论依据是分式的基本性质。
约分后的结果不一定是分式。
约分的步骤:
(1)分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。
(2)分子、分母都除以它们的公因式。
7.最简分式:
如果一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式就叫最简分式。
8.分式的运算:
(1)分式乘法:
(2)分式除法:
注:
i)分式的乘除法运算,归根到底是乘法运算。
ii)分式的乘法运算,可以先约分,再相乘。
iii)分式的分子或分母是多项式的先分解因式,再约分,再相乘。
(3)乘方:
(n为正整数)
(4)通分:
在不改变分式的值的情况下,把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分。
注:
分式通分的依据是分式的基本性质。
最简公分母:
几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母(因式)的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。
(5)分式的加减法:
同分母:
异分母:
(6)混合运算:
做分式的混合运算时,先乘方,再乘除,最后再加减,有括号先算括号内的。
9.分式方程:
分母里含有未知数的方程叫分式方程。
注:
分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别,分母中含未知数就是分式方程,否则就为整式方程。
10.列分式方程的一般步骤:
(1)方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程。
(2)列整式方程,求得整式方程的根。
(3)验根:
把求得的整式方程的根代入A,使最简公分母等于0的根是增根,否则是原方程的根。
(4)确定原分式方程解的情况,即有解或无解。
11.增根的概念:
在分式方程去分母转化为整式方程的过程中,可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根,这个根叫原方程的增根,因此列分式方程一定要验根。
注:
增根不是解题错误造成的。
12.列方程解应用题步骤:
审、设、列、解、验、答。
13、整数的负指数幂及其运算
零指数和负整数指数
规定
第十一章图形的平移与旋转
知识梳理
1.图形的平移
(1)平移的概念:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.
注意:
①平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形
在同一平面内的变换.
②图形的平移有两个要素:
一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据.
③图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.
(2)平移的基本性质:
由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:
经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
注意:
①要正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征.
②“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.
(3)简单的平移作图
平移作图:
确定一个图形平移后的位置所需条件为:
①图形原来的位置;②平移的方向;③平移的距离.
2.图形的旋转
(1)旋转的概念:
图形绕着某一点(固定)转动的过程,称为旋转,这一固定点叫做旋转中心。
理解旋转这一概念应注意以下两点:
①旋转和平移一样是图形的一种基本变换;②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度.
(2)旋转的基本性质:
图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.
(3)简单图形的旋转作图
两种情况:
①给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点.
作图步骤:
①作出图形的几个关键点旋转后的对应点;
②顺次连接各点得到旋转后的图形.
(4)图案设计:
图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。
其中中心对称是旋转变换的一种特例。
旋转对称图形:
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.(旋转角00<
<3600).
中心对称图形:
如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
3.图形的翻折
图形的翻折
1、轴对称图形:
把一个图形沿某一条直线翻折过来,直线两旁的部分能够相互重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
2、如果把一个图形沿某一条直线翻折,能与另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对应点。
第十二章实数
知识梳理
1.为什么学平方根、立方根:
2.算术平方根的概念:
3.算术平方根具有非负性:
4.平方根的概念:
5.平方根的特性:
6.开平方:
7.立方根概念:
8.立方根的特性:
9.开立方:
10.实数的意义:
11.实数的分类:
12.实数范围内求相反数、倒数、绝对值:
13.实数与数轴上的点是一一对应的:
14.分数指数幂
知识归纳
一.实数的概念:
1.数的分类及概念
数系表:
说明:
“分类”的原则:
1)相称(不重、不漏)
2)有标准
2.非负数:
正实数与零的统称。
(表为:
x≥0)
常见的非负数有:
性质:
若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。
3.数轴:
①定义(“三要素”)
②作用:
A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
二.实数的运算
(1)加法
同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加;
异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
任何数与零相加等于原数。
(2)减法a-b=a+(-b)
(3)乘法
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零.即
(4)除法
(5)乘方
(6)开方如果x2=a且x≥0,那么
=x;如果x3=a,那么
在同一个式于里,先乘方、开方,然后乘、除,最后加、减.有括号时,先算括号里面.
3.实数的运算律
(1)加法交换律a+b=b+a
(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
(3)乘法交换律ab=ba.
(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)
(5)分配律a(b+c)=ab+ac
其中a、b、c表示任意实数.运用运算律有时可使运算简便.
第十三章相交线与平行线
知识梳理
1、相交直线:
只有一个交点
邻补角
对顶角
斜交-----角平分线
垂直-----垂直的基本性质
-----点到直线的距离
-----线段的垂直平分线
两条直线被第三条直线所截-----同位角
-----内错角
-----同旁内角
2、平行直线:
没有交点
平行线的性质定理
平行线的判定定理
平行线:
在同一平面内,__________的两条直线叫做平行线。
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
__________。
相交时,对顶角相等。
平行线的判定:
(1)同位角__________,两直线平行。
(2)内错角相等,两直线__________。
(3)同旁内角__________,两直线平行。
(4)平行(或垂直)于同一直线的两直线__________。
平行线的性质:
(1)经过直线外一点,有且只有________条直线与这条直线平行。
(2)两直线平行,同位角__________。
(3)两直线平行,内错角__________。
(4)两直线平行,同旁内角__________.
(5)一条直线和两条平行线中的一条垂直(或平行),这条直线也和__________垂直(或平行).
(6)平行线间的距离处处__________。
(7)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分__________。
考点透视
1、了解直线、线段和射线等概概念的区别,两条相交直线确定一个交点,了解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念,掌握两点确定一条直线的性质,角平分线的概念,度、分、秒的换算,几何图形的符号表示法,会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形;
2、了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念,了解垂线段最短的性质,平行线的基本性质,理解对顶角、补角、邻补角的概念,理解对顶角的性质,同角或等角的补角相等的性质,掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,会识辨别同位角、内错角和同旁内角,会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算,会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行。
第十四章全等三角形
知识梳理
一、全等三角形概念与性质:
1、全等形:
能够重合的两个图形叫做全等形。
(1)在数学上,两个图形可以完全重合,或者说两个物体大小、形状完全相等,那么这两个物体全等。
“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”。
(2)一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。
反过来,两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合。
(3)两个多边形全等,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合角的叫对应角。
2、两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形。
两个全等三角形,经过运动后一定重合,互相重合的顶点叫做对应顶点;互相重合的边叫做对应边;互相重合的角叫做对应角。
3、全等三角形的性质:
两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。
推出:
(1)周长相等
(2)面积相等
二、全等三角形的判定定理:
边角边公理(SAS):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角公理(ASA):
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
角角边公理(AAS):
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边公理(SSS):
三边对应相等的两个三角形全等
注意:
在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
第十四章三角形
知识梳理
⒈三角形的定义:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
⒉三角形的分类:
(1)按角分类:
(2)按边分类:
等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称“等腰三角形的三线合一”.
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线为对称轴.
等腰三角形的判定:
有两条边相等的三角形是等腰三角形 ——等腰三角形的定义
等角对等边。
⒊三角形的主要线段的定义:
(1)三角形的角平分线:
三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.
(2)三角形的中线:
在三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
(3)三角形的高:
从三角形一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
4.三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D。
注意:
高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗
现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。
显然,上面的结论成立。
请你画一个直角三角形,再画出它三边上的高。
上面的结论还成立。
5.三角形的中线
如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现
三角的三条中线相交于一点
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗请画图回答。
上面的结论还成立。
6.三角形的角平分线
如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。
思考:
三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现
三角形三个角的平分线相交于一点
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗请画图回答。
上面的结论还成立。
想一想:
三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
7.三角形的角与角之间的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
8.三角形的边与边之间的关系:
(1)三角形两边的和大于第三边;
(2)三角形两边的差小于第三边;
⒎三角形的角与角之间的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
第十五章平面直角坐标系
知识梳理
1、平面直角坐标系的有关概念:
2、如何建立平面直角坐标系
①在平面内取互相垂直有公共原点的两条数轴;
②取向右,向上的方向为正方向;
③两条数轴的单位长度相同。
3、平面内的每一点都对应有惟一的有序实数对。
4、各象限内点的特点:
注意:
x轴、y轴不属于任何象限,原点O既在x轴上又在y轴上。
5、点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|。
6、特殊位置的点的坐标的特征:
(1)坐标轴上的点:
①点P的坐标为(a,0)
点P在x轴上;
②点P的坐标为(0,b)
点P在y轴上;
(2)各象限内的点:
①点P
在第一象限
;②点P(a,b)在第二象限
;
③点P(a,b)在第三象限
;④点P(a,b)在第四象限
;
7、具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系;
(1)关于坐标轴或原点对称的两点,根据对称的性质,如图4,有
①点P(a,b)关于x轴对称点坐标为
;
②点P(a,b)关于y轴对称点坐标为
;
③点P(a,b)关于原点对称点坐标为
(
)。
(2)连线平行于坐标轴的两点,连线平行于x轴的两点的纵坐标相同,连线平行于y轴的两点的横坐标相同。
8、在平面直角坐标系中,
(1)将点
向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点
(或
);
(2)将点
向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点
。
其中,
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