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乘法原理与加法原理教案
第十一讲乘法原理与加法原理
知识提要
理解和初步掌握:
加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理:
N=m1+m2+……+mn。
乘法原理:
N=m1×m2×……×mn。
经典例题
F
例1小刚从家到学校要经过一座桥,从家到桥时有3条路可以走,过了桥再到学校时有4条路可以走(如下图)。
小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法?
分析与解:
把从小刚家到学校的路分为两步。
第一步从家到桥,第二步从桥到学校。
这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路,只有两步合在一起,才能完成。
从图中看出从家到学校共有12种不同的走法:
ADAEAFAGBDBEBFBGCDCECFCG
根据此题,得出如下结论:
乘法原理要完成一项任务,由几个步骤实现,第一步有m1种不同的方法;第二步有m2种不同的方法;……第n步有mn种不同的方法;那么要完成任务共有:
N=m1×m2×……×mn。
6
例2有四张数字卡片,
用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个?
分析与解:
用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有4种选择;第二步选取十位上的数字,可以有3种选择;第三步选取个位上的数字,可以有2种选择。
所以可以组成不同的三位数共有:
4×3×2=24(个)
例3:
由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?
分析与解:
要求奇数,所以个位数字只能取1、3、5中的一个,有3种取法;十位数字可以从余下的五个数字中任取一个,有5种不同取法;百位数字还有4种取法;千位数字只有3种取法。
由乘法原理,共可组成:
3×5×4×3=180(个)没有重复数字的四位奇数。
例4:
下图为4×4的棋盘,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中,并使每行每列只能出现一个棋子。
问:
共有多少种不同的放法?
分析与解:
四个棋子要一个一个地放,故可看做分四步完成任务,第一步放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中,故有16种不同方法;第二步放棋子B,放A棋子的一行和一列都不能放B,还剩下9个方格可以放B,所以B有9种方法;第三步放C,再去掉放B的行和列,还有4个方格可以放C,故C有4种放法;最后放D,再去掉C所在的行和列,只剩下一个方格放D了,D只有一种方法,由乘法原理,共有
16×9×4×1=576(种)不同放法。
在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别,往往是要综合使用的。
例5从北京到郑州可以坐飞机,乘火车,还可以乘汽车。
一天中有飞机2班,火车有3趟,汽车有5趟。
同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具,共有几种不同的走法?
分析与解:
三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地,那么每类交通工具中有几中不同的方法。
(飞机2班,火车3趟,汽车5趟)因此,要到达目的地应有2+3+5=10不同的方法。
根据此题,得出如下结论:
加法原理要完成一种任务有几类办法,在第一类办法中有m1中不同方法;在第二类办法中有m2中不同方法;……在第n类办法中有mn中不同方法。
在这些不同的方法中,每一种方法都能独立完成任务,那么完成这一任务共有:
N=m1+m2+……+mn。
例6:
如图:
从甲地到乙地有4条路可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走。
那么,从甲地到丙地共有多少种不同走法?
解:
从甲地到丙地共有两类不同走法。
第一类:
由甲地途径乙地到丙地。
这时要分二步走。
第一步,从甲地到乙地有4种走法;第二步从乙地到丙地有2种走法。
据乘法原理,从甲地经乙地到丙地共有:
4×2=8
种不同走法。
第二类:
从甲地直接到丙地,有3种走法。
由加法原理,从甲地到丙地若有
8+3=11种不同的走法。
例7:
有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6,将两个正方体任意放到桌面上,向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形?
解:
两个数字之和为偶数,这两个数字的奇偶性必相同,所以分两大类。
第一类:
两个数字同奇,第一个正方体有3种可能,第二个正方体也有3种可能,由乘法原理,共有3×3=9种不同的情形。
第二类:
是两个数字同偶。
也有9种不同的情况。
据加法原理:
两个正方体向上一面数字之和为偶数。
共有:
9+9=18
种不同的情况。
基本训练
1.某校六一班有35人,六二班有40人,六三班有37人。
从中选1人去人民大会堂开会,有多少种选法?
2.某校六一班第一小队有12人,第二小队有11人,第三小队有13人。
从每个小队中各选1人去人民大会堂开会,有多少种选法?
3.某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择,那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式?
4.如图所示,三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点,且不在同一直线上的三个点一定不共线,在每条直线上各取一点可以画一个三角形,如三角形BEH,问可以画多少个不同的三角形?
5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个
(1)三位数?
(2)三位偶数?
(3)没有重复数字的三位偶数?
(4)百位有8的没有重复数字的三位数?
(5)百位为8的没有重复数字的三位偶数?
拓展提高
1.某个地区的电话号码是八位数,如果首位不是0,其余各位上可以是0~9这十个数字中的任意一个,不同数位上的数字可以重复,那么,这个地区可以有多少个电话号码?
2.两位数中个位数字加十位数字的和是双数,这样的两位数一共有多少个?
3.某公司买了8辆汽车,这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里,要想把每辆汽车的钥匙挑出来,最多要试多少次?
奥赛训练
1.超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜,另一个货架上摆放着8种不同的水果。
如果妈妈从这两个货架中至少选购一种,最多选购两种,一共有多少种不同的选购方法?
2.从1~30这三十个自然数中,选出两个数,使它们的和大于30,一共有多少中不同的选法?
3.自然数1~1000中,“0”这个数字一共出现了多少次?
第十二讲简单的排列与组合
知识提要
1、理解和初步掌握:
加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理:
N=m1+m2+……+mn。
乘法原理:
N=m1×m2×……×mn。
排列:
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m≤n)
组合:
=
÷
2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。
经典例题
6
例1有四张数字卡片,
用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个?
分析与解:
用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有4种选择;第二步选取十位上的数字,可以有3种选择;第三步选取个位上的数字,可以有2种选择。
所以可以组成不同的三位数共有:
4×3×2=24(个)
排列的公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m≤n)
例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数,可以组成多少个?
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m≤n)
=5×(5-1)×(5-2)×(5-4+1)=5×4×3×2=120
例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支,现在用三种颜色的花各一支扎成一束,可以扎成多少不同的束?
分析与解:
从n个不同元素中,任意取出m个元素(m≤n),组成一组,叫做从n个不同元素取m个元素的一个组合,所组合的个数,叫做组合数。
用符号
表示。
组合的公式:
=
÷
排列与组合的区别:
排列与元素的顺序有关:
例如从7个人中选出正副组长,两个人有正、副之分。
组合与元素的顺序无关:
例如从7个人中选出两个人去开会,没有正、副之分。
因为所扎成的每一束花,与颜色的排列顺序无关,所以是组合问题。
÷
=(5×4×3)÷(3×2×1)=60÷6=10
答:
一共可以扎成10种不同的花束。
例3从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站,那么,火车票应有多少种不同票价?
分析与解:
因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的,所以是组合问题。
÷
=(10×9)÷(2×1)
=90÷2
=45
答:
火车票应有45种不同票价。
例4平面上共有7个点(没有3个点在同一条直线上),通过这些点可以画出多少个三角形或四边形?
分析与解:
通过这些点画三角形和四边形时,这些点没有顺序关系,所以先根据组合公式分别求出三角形和四边形的个数,再根据加法原理把两种的个数相加。
+
=(7×6×5)÷(3×2×1)+(7×6×5×4)÷(4×3×2×1)
=35+35
=70
答:
可以画出70个三角形或四边形。
例5如图。
共有多少个平行四边形?
分析与解:
根据数长方形个数的方法,“长边”上8个点中选两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。
×
=(8×7)÷(2×1)×[(6×5)÷(2×1)]
=28×15
=420
答:
共有420个平行四边形。
基本训练
1.一次乒乓球比赛,最后有6名选手进入决赛,如果赛前写出冠、亚军名单,可
以写出多少种?
2.在一张纸上有9个点,没有三个点在一条直线上。
通过这些点一共可以画出多少条线段?
3.第三小队共有队员12人,要选出正、副小队长各一人,选出的结果可以有多少种不同的情况?
4.六一班有40名同学,现在要选派2名同学参加国庆活动,共有多少种不同的选法?
5.小红有4件不同花色的衬衫,有3条不同样式的裙子,如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套,一共可以搭配成多少套?
6.学校食堂今天中午的主食有:
米饭、馒头、花卷和烙饼,炒菜有:
炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。
张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭,张老师可以有多少种不同的买法?
拓展提高
1.用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数,可以写出多少个?
2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数,一共可以写出多少个?
3.六一班的图书角现在有6本科技书,有8本故事书,有3本词典,小刚想借其中的一本,一共可以有多少种不同的借法?
4.有6名学生和班主任老师照相留念,分成两排,前排3人,后排4人,班主任要站在前排中间。
他们一共有多少种不同的排法?
5.有7名学生毕业前照相留念,分成两排,前排3人,后排4人,张刚说:
“我不站在后排的边上。
”。
他们一共有多少种不同的排法?
6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个,只选用其中的两个砝码,在天平上能称出多少种不同重量的物体?
奥赛训练
1.
.
一张纸上共画有10个点,其中有3个点在一条直线上,以这些点为三角形的顶点,一共可以画出多少个三角形?
2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚,共可以组成多少种不同币值?
第十三讲巧求面积
知识提要
1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征:
a
2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程:
正方形面积=边长×边长=a2,
长方形面积=长×宽=ab,
平行四边形面积=底×高=ah,
三角形面积=底×高÷2=
梯形面积=(上底+下底)×高÷2=
经典例题
例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.(已知大正方形边长10厘米,小正方形边长6厘米)
图一
图二
图一
分析与解:
(6+10)×6÷26×6÷2(10+6)×10÷2
=48(平方厘米)=18(平方厘米)=80(平方厘米)
例2小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知大正方形的边长10厘米,小正方形的边长6厘米,求阴影部分的面积。
分析与解:
方法1:
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积,就得到阴影部分的面积。
102+62-(10×10÷2)-(10+6)×6÷2=38(平方厘米)。
方法2:
添加辅助线GB,三角形BDG与三角形GBF的面积之和就等于阴影部分的面积。
(10-6)×10÷2+6×6÷2=38(厘米2)
答:
阴影部分的面积是38平方厘米。
例3用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.
分析与解:
方法1:
如下图1,先将BC四等分,即BD=DE=EF=EC,连结AD、AE、AF得到四个等积三角形,即△ABD、△ADE、△AEF、△AFC。
方法2:
如下图2,先将BC二等分,分点D、连结AD,得到两个等积三角形,即△ABD与△ADC等积.然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF.以而得到四个等积三角形,即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积.
A
方法3:
如下图3,先将BC四等分,即BD等于四分之一BC,连结AD,再将AD三等分,即AE=EF=FD,连结CE、CF,从而得到四个等积三角形,即△ABD、△CDF、△CEF、△ACE等积.
图1图2图3
想一想:
你还有其他方法吗?
从上面例题得到下面结论:
①等底等高的两个三角形面积相等.
②底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等.
③若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.
例4如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:
△AOB与△COD面积相等.
分析与解:
证明:
∵△ABC与△DBC等底等高,
∴S△ABC=S△DBC
又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD.
等量减等量所得的差相等。
例5一个三角形的底长5米,如果底延长1米,那么面积就增加1.5平方米,(如图),那么原来三角形的面积是多少平方米?
分析与解:
方法1:
已知阴影三角形的面积和底,根据三角形面积公式就能求出三角形的高,也就是原三角形的高,又知道原三角形的底,从而求出原三角形的面积。
1.5×2÷1=3(米)
5×3÷2=7.5(平方米)
答:
原来三角形的面积是7.5平方米。
方法2:
已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍,所以原三角形的面积就是阴影三角形面积的5倍。
1.5×5=7.5(平方米)
例6如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.
分析与解:
方法1:
连结BD,在△ABD中
∵BE=3AE,
∴S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米).
在△ABC中,∵CD=2AD,
∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米).
方法2:
连结CE,如右图所示,在△ACE中,
∵CD=2AD,
∴S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米).
在△ABC中,∵BE=3AE
∴S△ABC=4S△ACE
=4×3=12(平方厘米).
例7如右图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积
分析与解:
解:
连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE;S△CDF=S△ACF;
又∵AC与EF平行,∴S△ACE=S△ACF;
∴S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)
例8如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积.
分析与解:
解:
连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF
而S△ACF=S△ACE+S△AEF,S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1.
基本训练
1.选择题(有且只有一个正确答案):
(1)如下左图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与△ABE等积的三角形一共有______个.
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
(2)如上右图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个.
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
(3)如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有______对.
(A)0对(B)1对
(C)2对(D)3对
(4)如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是______.
(A)1∶1(B)1∶1.1
(C)1∶1.2(D)1∶1.4
2.填空题:
(1)如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的______.
(2)如上右图,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是______.
(3)如下左图,正方形ABCD的面积为1平方厘米,S△BEG∶S△CEG=2∶1,S△CFG∶S△DFG=1∶1,那么这四个小三角形面积之和______.
(4)如上右图,在△ABC中,EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______.
拓展提高
1.如图1,在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF,已知线段AE=3厘米,DF=2厘米,求阴影部分的面积是多少?
2.左下图是一块长方形草地,长方形的长是160米,宽是102米。
中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积等于多少平方米?
3.如图,梯形的下底为8厘米,高为4厘米。
阴影部分面积是多少平方厘米?
F
4.如图,四边形ABCD是长方形,A、D、E、F在同一条直线上。
AB=7,BC=5,DG=3。
求DE的长。
5.如图,正方形ABCD与长方形AEFG重叠放在一起,已知AB=4厘米,BE=3厘米,AE=5厘米。
请你计算出长方形AEFG的面积。
B
6.如图,三角形ABC的面积是144平方厘米,BD=18厘米,DC=6厘米,AE=10厘米,EC=5厘米。
求三角形ADE的面积。
奥赛训练
1.如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
第十四讲用等量代换求面积
知识提要
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
经典例题
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的下底和高已知,所以求出上底即可。
上底OC:
10-3=7(厘米),面积:
(7+10)×2÷2=17(平方厘米)。
答:
阴影部分的面积是17平方厘米。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于:
10×8÷2+10=50(平方厘米)。
答:
平行四边形ABCD的面积是50平方厘米。
例3在下图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解:
求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积:
(8+4)×6÷2=36(厘米2)三角形ECB面积:
36-18=18(厘米2)
EC:
18×2÷6=6(厘米)ED:
6-4=2(厘米)答:
ED长2厘米。
例4如下图,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析与解:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。
如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
方法1:
连结B,E(见下左图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
S△BEC:
4×(10-7)÷2=6
S△BEF:
2×(10-7)÷2=3差:
6-3=3
图1图2图3图4
方法2:
连结C,F(见上右图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
S△BCF:
4×(10-7)÷2=6
S△ECF:
2×(10-7)÷2=3差:
6-3=3
方法3:
延长BC交GF于H(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
S△BHF:
(4+2)×(10-7)÷2=9
矩形:
2×(10-7)=6差:
9-6=3
方法4:
延长AB,FE交于H(见上右图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
矩形:
4×(10-7)=12
S△BHF:
(10-7)×(4+2)÷2=9差:
12-9=3
例6左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。
分析与解:
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见上右图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积。
4×4÷2=8(厘米2)答:
三角形ABC的面
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