23函数的奇偶性和周期性.docx
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23函数的奇偶性和周期性
配餐作业(六) 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )
A.y=
B.y=|sinx|
C.y=cosxD.y=ex-e-x
解析:
因为函数y=
的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数y=
为非奇非偶函数,排除A;因为y=|sinx|为偶函数,所以排除B;因为y=cosx为偶函数,所以排除C;因为y=f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以函数y=ex-e-x为奇函数,故选D。
答案:
D
2.(2016·广州模拟)下列函数中,既是偶函数
又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=
B.y=e-x
C.y=-x2+1D.y=lg|x|
解析:
A中,y=
为奇函数,故排除A;
B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;
C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为
偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;
D中,y=lg|x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单
调递增,排除D。
答案:
C
3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),
当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2015)等于( )
A.-2B.2
C.-98D.98
解析:
因为f(x+4)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1)。
又f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f
(1)=-2×12=-2,
即f(2015)=-2。
答案:
A
4.(2016·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,
当x>0时,f(x)=lgx,则f
的值等于( )
A.
B.-
C.lg2D.-lg2
解析:
因为当x>0时,f(x)=lgx,
所以f
=lg
=-2,
则f
=f(-2),
因为函数y=f(x)是奇函数,
所以f
=-f
(2)=-lg2。
答案:
D
5.(2016·石家庄调研)已知偶函数y=f(x)满足
f(x+5)=f(x-5),且0≤x≤5时,f(x)=x2-4x,
则f(2016)=( )
A.-1B.0
C.1D.12
解析:
∵f(x+5)=f(x-5),∴f(x+10)=f(x),
∴f(x)为周期函数,且周期为10,
∴f(2016)=f(201×10+6)=f(6)=f(-4)=f(4)
=42-4×4=0,故选B。
答案:
B
6.(2016·开封一模)已知函数f(x)是定义在R上
的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增。
若实数
a满足f(log2a)+f(log
a)≤2f
(1),则a的最小值是( )
A.
B.1
C.
D.2
解析:
∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(log
a)=f(log2a-1)=f(-log2a)=f(log2a)。
∵f(log2a)+f(log
a)≤2f
(1),
∴2f(log2a)≤2f
(1),f(|log2a|)≤f
(1)。
又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,
∴
≤a≤2,即a的最小值为
,故选C。
答案:
C
二、填空题
7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________。
解析:
因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,
所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0。
答案:
0
8.(2016·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数
f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),
则实数m的取值范围是________。
解析:
因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x)=f(|x|)。
所以不等式f(1-m)<f(m),
等价于f(|1-m|)<f(|m|)。
又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数。
所以
解得-1≤m<
。
答案:
9.(2016·西安模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,
且y=f(x)的图象关于直线x=
对称,
则f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________。
解析:
f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=
对称,所以f(-x)=-f(x),
f
=f
⇒f(x)=f(1-x),
所以f(-x)=f(1+x)=-f(x),
f(2+x)=-f(1+x)=f(x),
所以f(0)=f
(1)=f(3)=f(5)=0,
f(0)=f
(2)=f(4)=0,
所以f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0。
答案:
0
三、解答题
10.已知函数f(x)=
是奇函数。
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,
求实数a的取值范围。
解析:
(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2。
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知
所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3]。
11.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,
f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x。
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所
围成图形的面积;
(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间。
解析:
(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)
=-(4-π)=π-4。
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),
得:
f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x)。
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称。
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示。
设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×
=4。
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z)。
12.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},
且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)。
(1)求f
(1)的值。
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论。
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上
是增函数,求x的取值范围。
解析:
(1)因为对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
所以令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),
所以f
(1)=0。
(2)f(x)为偶函数,证明如下:
令x1=x2=-1,有f
(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=
f
(1)=0。
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数。
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由
(2)知,f(x)是偶函数,
所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16)。
又f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1,
所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}。
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- 23 函数 奇偶性 周期性