《三角形的内角》教案.docx
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《三角形的内角》教案
《三角形的内角》教案
A
C
B
C
唐山第十六中学
张彩霞
课题:
三角形的内角
课型:
新授
教学目标
(一)教学知识点
1、掌握“三角形的内角和定理”的证明及其简单应用。
2、对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用。
3、掌握演绎推理的基本格式,发展推理能力。
(二)能力训练要求
1、掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观 察 、 猜想和论证能力.
2、通过一题多解、一题多变等初步体会思维的多向性,引导学生个性化发展。
3、通过小组合作交流,尝试多角度的思考问题,寻求从不同角度解决问题的方法,并初步学会评价不同方法之间的差异,学会在与他人交流中获益。
(三)情感与价值观要求
在解决问题的过程中,培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志,鼓励学 生大胆尝试,从中获得成功的经验,激发学生的学习热情。
教学重难点
重点:
“三角形内角和定理”的证明及简单应用。
难点:
添加辅助线的证明思路及灵活多样的证明方法。
关键:
如何添加适当的辅助线来突破难点。
教学过程:
(一)动手测量计算,初步验证结论
观察如下的实验(flash演示)
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点,A为动点(如图)
请同学们考察点A变化时所成的一系列的三角形:
△A
BC、△A
BC、△A
BC……其内角和会产生怎样的变化呢?
利用电脑演示,并让学生动手操作,计算验证。
(利用flash动画演示、电子表格、几何画板,带领学生操作,让学生体验:
三角形三个内角的和等于180°)
(二)动手实验操作,探求证明思路
通过度量的方法,我们可以验证一些具体的三角形的内角和等于180度。
但是,由于形状不同的三角形有无数个,我们不可能用度量的方法一一验证所有三角形。
于是,我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180度的方法。
下面我们就开始探索三角形的内角和等于180°这个结论的证明过程。
如图所示,
A
A
C
B
B
A
C
B
C
B
A
C
C
A
B
C
C
B
A
B
通过剪纸拼图,我们得到三角形内角和是180°。
如果不实际移动∠A、∠B,根据我们学过的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?
(看看动画能不能带给你一些灵感,请你大胆的猜想一下吧!
我们发现,动画比较直观,学生容易猜想,并且这个动画也展示了证明的方法,为解决这节课的难点添加辅助线,做了铺垫。
)
(三)解读探究
根据拼图得到证明的方法。
方法一
三角形三个内角的和等于180°
已知:
如图:
△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
方法二
A
Q
P
‥‥‥‥‥‥‥‥‥
C
B
三角形三个内角的和等于180°
已知,如图:
△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
过点A作直线PQ∥BC.则
∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等)
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角定义)
∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换)
方法三
D
C
‥‥‥‥‥‥‥‥
B
A
三角形三个内角的和等于180°
已知,如图:
△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
过点C作射线CD∥BA.则
∠A=∠DCA(两直线平行,内错角相等
∠B+∠DCB=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵∠DCB=∠BCA+∠DCA(如图)
∴∠B+∠BAC+∠BCA=180°(等量代换)
方法四
A
F
E
D
C
B
三角形三个内角的和等于180°
已知,如图:
△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
如图,过线段BC上一点D作DE∥AB交AC于点E,
DF∥AC交AB点F.
∵DF∥AC
∴∠BFD=∠A,∠BDF=∠C
(两直线平行,同位角相等)
∵DE∥AB
∴∠CDE=∠B(两直线平行,同位角相等)
∠EDF=∠BFD(两直线平行,内错角相等)
∴∠EDF=∠A(等量代换)
又∵∠BDF+∠EDF+∠CDE=180°(平角定义)
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)
(利用计算机网络教室让学生反复观看电脑拼图,从而使学生找到证明三和等于180°的方法,并给予肯定评价,让学生亲自体验成功的喜悦,体验到只自实践才会刻骨铭心的道理。
)
归纳总结
从以上推导过程可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步推理,最后推出结论(求证)正确的过程。
在证明过程中,我们仅仅添画了一些线,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要, 在原来的图形上添画的线叫做辅助线。
在平面几何里, 辅助线通常画成虚线。
我们通过推理的过程,得证了命题:
三角形三个内角的和等于180°是真命题, 这时称它为定理。
三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
(四)巩固练习
1、填空
(1)△ABC中,∠A=30度,∠B=∠C,则∠B=___度。
(2)在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
5,则∠A=___度,∠B=___度,∠C=___度。
(3)等要三角形中的一个角的度数为40°,则它另外两个角的度数为____。
(4)△ABC中,∠B=∠C,若三个内角中有一个为100°,则另外两个角的度数
为______
(5)在△ABC中,若∠A-∠B=90度,则△ABC为______三角形
(6)在△ABC中,∠A=
∠B=
∠C,则此三角形是______三角形
2、已知:
如图,在∆ABC中,DE∥BC
∠A=60°,∠C=70°.求证∠ADE=50°
3、已知:
如图,直线AB∥ED,求证:
∠ABC+∠CDE=∠BCD
(通过练习巩固知识点,体会添加辅助线必要性及方法。
)
(五)拓广应用
︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰
︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰
如图,C岛在A岛的北偏东50度方向,B岛在A岛的北偏东80度方向,C岛在B岛的北偏西40度方向。
从C岛看两A、B岛的视角∠ACB是多少度?
E
C
北
北
D
B
A
方法一
v解:
由题可得DA∥EB,∠DAC=50°,
v∠DAB=80°,∠EBC=40°。
v又∵∠CAB=∠DAB-∠DAC(如图)
v∴∠CAB=80°-50°=30°
v∵DA∥EB
v∴∠EBA=180°-∠DAB=180°-80°=100°
v(两直线平行,同旁内角互补)
v∴∠CBA=∠EBA-∠EBC=100°-40°=60°
v∵∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°
v(三角形三个内角的和等于180°)
v∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA
v=180°-30°-60°=90°
v答:
从C岛看两A、B岛的视角∠ACB是90°
方法二
︰︰︰︰︰︰︰︰
F
解:
由题可得DA∥EB,
∠DAC=50°,∠EBC=40°。
过点C作CF∥DA
又∵DA∥EB
∴CF∥EB(如果两条直线都和第三条直线平
行,那么这两条直线也互相平行.)
∴∠BCF=∠EBC=40°
(两直线平行,内错角相等)
∵CF∥DA
∴∠ACF=∠DAC=50°
(两直线平行,内错角相等)
∵∠ACB=∠ACF+∠BCF
∴∠ACB=50°+40°=90°
答:
从C岛看两A、B岛的视角∠ACB是90°
方法三
北
北
︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰︰
N
解:
由题可得DA∥EB,∠DAC=50°,∠EBC=40°.
过点C作CM⊥DA,交AD于M,交BE于N.
∴∠AMC=90°(垂直定义)
∵DA∥EB
∴∠BNC=180°-∠AMC=180°-90°=90°(两直线平行,同旁内角互补。
)
又∵∠ACM=180°-∠AMC-∠DAC
∠BCN=180°-∠BNC-∠EBC(三角形三个内角的和等于180°)
∴∠ACM=180°-90°-50°=40°
∠BCN=180°-90°-40°=50°
∵∠ACM+∠BCN+∠ACB=180°(平角定义)
∴∠ACB=180°-∠ACM-∠BCN
=180°-50°-40°=90°
答:
从C岛看两A、B岛的视角∠ACB是90°
(通过本题的讲解,使学生体会如何把实际问题转化为数学问题。
初步体会数学建模思想。
并进一步体会添加辅助线解题的思路。
通过一题多解初步体会思维的多向性,引导学生个性化发展。
)
(六).回顾小结
(1)内容总结
本节课你学到了哪些知识?
1、三角形内角和定理的证明方法。
2、当问题条件不够时,可添加辅助线,构造新图形,形成 新关系。
(2)方法归纳
通过本节课的学习,你得到哪些启示?
1、解决问题的方法多种多样,只要方法合理,均能达到目的。
2、考试问题适应多角度思考,寻找最佳方案。
(七)布置作业
课本习题7.2第1、2题写书上
第3、4、7题写2号本上
拔高题如图:
△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,
你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗?
试证明你的结论。
A
o
C
B
整节课中,学生的积极性很高,由于信息技术的融入,教学模式从以教师讲授为主,转为以学生动脑动手,自主研究,小组学习,讨论交流为主,信息技术把数学课堂转为"数学实验室",学生通过自己的活动,动手操作电脑,总结定理,将这节课推向了高潮,并使创新精神与能力得到了发展。
学生通过这节课的学习,不仅仅收获了知识,更重要的是收获了一种认知方法,收获了一种锲而不舍的科研精神,认识了信息技术是以后学习、生活、工作中必不可少的工具
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