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第一章集合与简易逻辑1、集合
(1)、定义:
某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{}。
(2)、集合的表示法:
列举法()、描述法()、图示法();
(3)、集合的分类:
有限集、无限集和空集(记作,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集);(4)、元素a和集合A之间的关系:
a∈A,或aA;(5)、常用数集:
自然数集:
N;正整数集:
N;整数集:
Z;整数:
Z;有理数集:
Q;实数集:
R。
2、子集
(1)、定义:
A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集;记作:
AB,注意:
AB时,A有两种情况:
A=φ与A≠φ
(2)、性质:
①、AA,A;②、若AB,BC,则AC;③、若AB,BA则A=B;3、真子集:
(1)、定义:
A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A;记作:
AB;
(2)、性质:
①、A,A;②、若AB,BC,则AC;
4、补集:
①、定义:
记作:
CUA{x|xU,且xA};②、性质:
ACUA,ACUAU,CU(CUA)A;5、交集与并集
(1)
、交集:
AB{x|xA且xB}
性质:
①、AAA,A②、若ABB,则BA
(2)、并集:
AB{x|xA或xB}
性质:
①、AAA,AA②、若ABB,则AB
A
B
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax+bx+c>0的解集是R;
其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况。
7、绝对值不等式的解法:
(“>”取两边,“<”取中间)
(1)、当a0时,|x|a的解集是{x|xa,xa},|x|a的解集是{x|axa}
(2)、当c0时,|axb|caxbc,axbc,|axb|ccaxbc
(3)、含两个绝对值的不等式:
零点分段讨论法:
例:
|x3||2x1|2
8、简易逻辑:
(1)命题:
可以判断真假的语句;逻辑联结词:
或、且、非;
简单命题:
不含逻辑联结词的命题;复合命题:
由简单命题与逻辑联结词构成的命题;
三种形式:
p或q、p且q、非p;
判断复合命题真假:
(1)、思路:
①、确定复合命题的结构,②、判断构成复合命题的简单命题的真假,③、利用真值表判断复合命题的真假;
(2)、真值表:
p或q,同假为假,否则为真;p且q,同真为真;非p,真假相反。
(2)、四种命题:
原命题:
若p则q;逆命题:
若q则p;
否命题:
若p则q;逆否命题:
若q则p;互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
(3)、反证法步骤
(4)、充分条件与必要条件:
若pq,则p叫q的充分条件;
若pq,则p叫q的必要条件;
若pq,则p叫q的充要条件;22
第二章函数
1、映射:
按照某种对应法则f,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应,记作f:
A→B,若aA,bB,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。
2、函数:
(1)、定义:
设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,就称f:
A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
(2)、函数的三要素:
定义域,值域,对应法则;自变量x的取值范围叫函数的定义域,函数值f(x)的范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示;
(3)、函数的表示法常用:
解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:
列表、描点、连线);
(4)、区间:
满足不等式axb的实数x的集合叫闭区间,表示为:
[a,b]
满足不等式axb的实数x的集合叫开区间,表示为:
(a,b)
满足不等式axb或axb的实数x的集合叫半开半闭区间,分别表示为:
[a,b)或(a,b];
(5)、求定义域的一般方法:
①、整式:
全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R;
②、分式:
分母0,0次幂:
底数0,例:
y12|3x|
③、偶次根式:
被开方式0,例:
y
④、对数:
真数0,例:
yloga(125x21)x
|x|(6)、求值域的一般方法:
①、图象观察法:
y0.2
②、单调函数:
代入求值法:
ylog2(3x1),x[,3]③、二次函数:
配方法:
yx24x,x[1,5),y
13
x22x2
x
2x12sinx
⑤、“对称”分式:
分离常数法:
y
2sinx
④、“一次”分式:
反函数法:
y⑥、换元法:
yx2x(7)、求f(x)的一般方法:
①、待定系数法:
一次函数f(x),且满足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x)②、配凑法:
f(x
11
)x22,求f(x)xx
③、换元法:
f(x1)x2x,求f(x)
④、解方程(方程组):
定义在(-1,0)∪(0,1)的函数f(x)满足2f(x)f(x)3、函数的单调性:
(1)、定义:
区间D上任意两个值x1,x2,若x1x2时有f(x1)f(x2),称f(x)为D上增函数;若x1x2时有f(x1)f(x2),称f(x)为D上减函数。
(一致为增,不同为减)
(2)、区间D叫函数f(x)的单调区间,单调区间定义域;
(3)、判断单调性的一般步骤:
①、设,②、作差,③、变形,④、下结论(4)、复合函数yf[h(x)]的单调性:
内外一致为增,内外不同为减;4、反函数:
函数yf(x)的反函数为yf反函数的求法:
①、由yf(x),解出xf的定义域(即原函数的值域);
反函数的性质:
函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf函数yf(x)的图象和它的反函数yf
1
1
1
1
,求f(x)x
(x);函数yf(x)和yf1(x)互为反函数;
1
11
②、x,y互换,写成yf(x),③、写出yf(x)(y),
(x)的值域、定义域;
(x)的图象关于直线yx对称;
点(a,b)关于直线yx的对称点为(b,a);
5、指数及其运算性质:
(1)、如果一个数的n次方根等于a(n1,nN),那么这个数叫a的n次方根;
*
a(a0)
a叫根式,当n为奇数时,ana;当n为偶数时,an|a|
a(a0)
mn
(2)、分数指数幂:
正分数指数幂:
aa;负分数指数幂:
a
m
m
n
1a
mn
0的正分数指数幂等于1,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义);
(3)、运算性质:
当a0,b0,r,sQ时:
arasars,(ar)sars,(ab)rarbr,aa;6、对数及其运算性质:
(1)、定义:
如果abN(a0,a1),数b叫以a为底N的对数,记作logaNb,其中a叫底数,N叫真数,以10为底叫常用对数:
记为lgN,以e=2.7182828„为底叫自然对数:
记为lnN
(2)、性质:
①:
负数和零没有对数,②、1的对数等于0:
loga10,③、底的对数等于1:
logaa1,④、积的对数:
loga(MN)logaMlogaN,商的对数:
loga
1
r
M
logaMlogaN,N
1
幂的对数:
logaMnnlogaM,方根的对数:
loganMlogaM,
n
第三章数列
(一)、数列:
(1)、定义:
按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项;数列是特殊的函数:
定义域:
正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,„,n}),
值域:
数列本身,对应法则:
数列的通项公式;
(2)、通项公式:
数列{an}的第n项an与n之间的函数关系式;例:
数列1,2,„,n的通项公式an=n1,-1,1,-1,„,的通项公式an=
(1)
n1
1
(1)n
;0,1,0,1,0,„,的通项公式an
2
(3)、递推公式:
已知数列{an}的第一项,且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系用一个公式表示,这个公式叫递推公式;例:
数列{an}:
a11,an1
1
,求数列{an}的各项。
an1
a1S1(n1)
SS(n2)n1n
(4)、数列的前n项和:
Sna1a2a3an;数列前n项和与通项的关系:
an
(二)、等差数列:
(1)、定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
(2)、通项公式:
ana1(n1)d(其中首项是a1,公差是d;整理后是关于n的一次函数),n(a1an)n(n1)
2.Snna1d(整理后是关于n的没有常数项的二次函数)
22
ab
(4)、等差中项:
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。
即:
A或2Aab
2
[说明]:
在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
(5)、等差数列的判定方法:
①、定义法:
对于数列an,若an1and(常数),则数列an是等差数列。
(3)、前n项和:
1.Sn
②、等差中项:
对于数列an,若2an1anan2,则数列an是等差数列。
(6)、等差数列的性质:
①、等差数列任意两项间的关系:
如果an是等差数列的第n项,am是等差数列的第m项,且mn,公差为d,则有anam(nm)d
②、等差数列an,若nmpq,则anamapaq。
a1an
a,a2,a3,,an2,an1,an
,如图所示:
1
a2an1
*
也就是:
a1ana2an1a3an2
③、若数列an是等差数列,Sn是其前n项的和,kN,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列。
S3k
a1a2a3akak1a2ka2k1a3k
如下图所示:
Sk
S2kSk
S3kS2k
④、设数列an是等差数列,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和,则有:
前n项的和SnS奇S偶,当n为偶数时,S偶S奇当n为奇数时,则S奇S偶a中,S奇
n
d,其中d为公差;2
n1n1
。
a中,S偶a中(其中a中是等差数列的中间一项)
22
anS2n1’
’⑤、等差数列an的前2n1项的和为S2n1,等差数列bn的前2n1项的和为S2,则。
n1
bnS2
n1
(三)、等比数列:
(1)、定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0)。
(2)、通项公式:
ana1qn1(其中:
首项是a1,公比是q)
na1,(q1)n(3)、前n项和]Sna1anqa1(1q)(推导方法:
乘公比,错位相减),(q1)1q1q
aanqa1(1qn)(q1)(q1)○说明:
①Sn2Sn1
1q1q
3当q1时为常数列,Snna1,非0的常数列既是等差数列,也是等比数列○
(4)、等比中项:
如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
Gb2也就是,如果是的等比中项,那么,即Gab(或Gab,等比中项有两个)aG
(5)、等比数列的判定方法:
①、定义法:
对于数列an,若an1q(q0),则数列anan是等比数列。
2②、等比中项:
对于数列an,若anan2anan是等比数列。
1,则数列
(6)、等比数列的性质:
①、等比数列任意两项间的关系:
如果ann项,am是等比数列的第m项,且mn,公比为q,则有anamqnm②、对于等比数列an,若nmuv,则anamauav
a1ana,a2,a3,,an2,an1,an。
如图所示:
1
a2an1也就是:
a1ana2an1a3an2
③、若数列anSn是其前n项的和,kN*,那么Sk,S2kSk,S3kS2k
S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k如下图所示:
SkS2kSkS3kS2k
(7)、求数列的前n项和的常用方法:
分析通项,寻求解法
n(n1)1122232n2n(n1)(2n1),135(2n1)n2,26
12n①公式法:
“差比之和”的数列:
(235)(235)(235)123n
②、并项法:
1234
(1)
③、裂项相消法:
1n1n11126(n1)n
1111122334nn1
2n1④、到序相加法:
⑤、错位相减法:
“差比之积”的数列:
12x3xnx
第四章三角函数
1、角:
(1)、正角、负角、零角:
逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角;
(2)、与终边相同的角,连同角在扇形面积:
Slr||r
22
r
y
3
、三角函数
(1)、定义:
(如图)
(2)y
yyr
+sin tan sec
rxx
xxr
cos cot csc_
ryy
+_
__
y
+
O
_
+_
+
+
tan
sin
4、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
(2)商数关系:
(3)倒数关系:
sin2cos21tan1tan2sec2cot
sin
ncot1ta
cos
tancot
cos
ncsc1si
sin
1cot2csc2cossec1
(4)同角三角函数的常见变形:
(活用“1”)
seccsc
①、sin1cos,sincos2;cos1sin,cossin2;
2222
cos2sin22cos2sin22cos2
②tancot,cottan2cot2
sincossin2sincossin2
③(sincos)212sincos1sin2,sin2|sincos|5、诱导公式:
(奇变偶不变,符号看象限)
公式一:
sin(k360)sin cos(k360)cos tan(k360)tan公式三:
公式四:
公式五:
sin(180)sinsin(180)sinsin()sinsin(360)sincos(180)coscos(180)coscos()coscos(360)cos
tan()tantan(360)tantan(180)tantan(180)tan
33)cossin()cos22
补充:
cos()sin)sin3)sincos(3)sin2222
33)cot)cot)cot)cot2222sin()cos2sin()cos2sin(
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S():
sin()sincoscossinS():
sin()sincoscossinC():
cos(a)coscossinsinC():
cos(a)coscossinsinT():
tan()tantantantanT():
tan()1tantan1tantan
)(1tantan)T()的整式形式为:
tantantan(
例:
若AB45,则(1tanA)(1tanB)2.(反之不一定成立)
7、辅助角公式:
asinxbcosx2b2absinxcosx2222abab
2b2(sinxcoscosxsin)2b2sin(x)
(其中称为辅助角,的终边过点(a,b),tanb)(多用于研究性质)a
8、二倍角公式:
(1)、S2:
sin22sincos
(2)、降次公式:
(多用于研究性质)
22C2:
cos2cossinsincos1sin22
1cos211222cos212sin2cos1sin222
2tan1cos2112ncoscos2T2:
ta22221ta2n
(3)、二倍角公式的常用变形:
①、cos2|sin|,cos2|cos|;
②、11cos2|sin|,11cos2|cos|2222
422sin2244③、sincos12sincos1;cossincos2;24
④半角:
sin
2
sincos1cos1cos1cos
,cos,tan
sin1cos22221cos
9、三角函数的图象性质
(1)、函数的周期性:
①、定义:
对于函数f(x),若存在一个非零常数T,当x取定义域f(x),则称f(x)是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;③、奇函数,偶函数的定义域关于原点对称;
,1),(,0),(,-1),(2,0);
22
3
,0),(,-1),(,0),(2,1);
ysinx图象的五个关键点:
(0,0),(
2
ycosx的对称中心为(k,0);对称轴是直线xk;yAcos(x)的周期T;
2
ytanx的对称中心为点(k,0)和点(k,0)x)的周期T;;yAtan(
2
2
(4)、函数yAsin(x)(A0,0)的相关概念:
ysinx的对称中心为(k,0);对称轴是直线xk
;yAsin(x)的周期T
2
;
yAsin(x)的图象与ysinx的关系:
当A1时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
①、振幅变换:
y
sinx当A时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍yAsinx
当当0
1时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的
1
②、周期变换:
ysinxysinx
倍倍
1时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的
当0时,图象上的各点向左平移
个单位倍
③、相位变换:
ysinxysin(x)当0时,图象上的各点向右平移||个单位倍
个单位倍④、平移变换:
yAsinxyAsin(x)|个单位倍当0时,图象上的各点向右平移|
当
0时,图象上的各点向左平移
常叙述成:
①、把ysinx上的所有点向左(0时)或向右(0时)平移||个单位得到
ysin(x);
②、再把ysin(x)的所有点的横坐标缩短
(1)或伸长(01)到原来的
1
倍(纵坐标不
变)得到ysin(x);③、再把ysin(x)的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)得到yAsin(x)的图象。
先平移后伸缩的叙述方向:
yAsin(x)
先平移后伸缩的叙述方向:
yAsin(x)Asin[(x
)]
(1)一次函数型:
yAsinxB,例:
y2sin(3x用辅助角公式化为:
yasinxbcosx
12
)5,ysinxcosx
a2b2sin(x),例:
y4sinx3cosx
(2)二次函数型:
①、二倍角公式的应用:
ysinxcos2x②、代数代换:
ysinxcosxsinxcosx
第五章、平面向量1、空间向量:
(1)、定义:
既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示。
(2)、零向量:
长度为0的向量叫零向量,记作0;零向量的方向是任意的。
(3)、单位向量:
长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量平行的单位向量:
;
(4)、平行向量:
方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作a//b;规定0与任何向量平行;
(5)、相等向量:
长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等;
任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。
2、向量的运算:
(1)、向量的加减法:
(2)、实数与向量的积:
①、定义:
实数与向量的积是一个向量,记作:
;②:
它的长度:
|a||||a|;
③:
它的方向:
当0,与向量的方向相同;当0,与向量的方向相反;当0时,a=0;
3、平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2;不共线的向量e1,e2叫这个平面内所有向量的一组基向量,{e1,e2}叫基底。
4、平面向量的坐标运算:
(1)、运算性质:
,(2)、坐标运算:
设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则ABx2x1,y2y1.
(3)、实数与向量的积的运算律:
设ax,y,则λax,yx,y,
00(4)、平面向量的数量积:
①、定义:
ababcosa0,b0,0180,0a0.
①、平面向量的数量积的几何意义:
向量a的长度|a|与b
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