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线性代数知识点总结共21页
线性代数知识点总结
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小学作文
(1)考研线性代数复习有哪些重要考点
考生们在考研线性代数的复习时要注重知识点的衔接与转换,要掌握好重要考点。
小编为大家精心准备了考研线性代数复习重点,欢迎大家前来阅读。
考研线性代数复习三大要点剖析
一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算
线性代数的概念很多,重要的有:
代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。
线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:
行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力
线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?
再问做得好不好?
只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。
例如:
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n,进而可求矩阵A或B中的一些参数。
凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,大家复习时要注重串联、衔接与转换。
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。
大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
考研数学高数八大题型
一.函数、极限与连续
求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性,判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数,或确定方程在给定区间上有无实根。
这一部分更多的会以选择题,填空题,或者作为构成大题的一个部件来考核,复习的关键是要对这些概念有本质的理解,在此基础上找习题强化。
二.一元函数微分学
求给定函数的导数与微分(包括高阶导数),隐函数和由参数方程所确定的函数求导,特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值,方程的根,证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题,如"证明在开区间内至少存在一点满足....",此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题,解这类问题,主要是确定目标函数和约束条件,判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形,求曲线渐近线。
这一部分会比较频繁的出现在大题中,复习的关键是掌握一般的方法步骤,这就需要多做题目来巩固掌握,要做到对一般难度和常见题型有100%的把握。
三.一元函数积分学
计算题:
计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题:
如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题:
计算面积,旋转体体积,平面曲线弧长,旋转面面积,压力,引力,变力作功等;综合性试题。
这一部分主要以计算应用题出现,只需多加练习即可。
四.向量代数和空间解析几何
计算题:
求向量的数量积,向量积及混合积;求直线方程,平面方程;判定平面与直线间平行、垂直的关系,求夹角;建立旋转面的方程;与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。
这一部分的难度在考研数学中应该是相对简单的,找辅导书上的习题练习,需要做到快速正确的求解。
五.多元函数的微分学
判定一个二元函数在一点是否连续,偏导数是否存在、是否可微,偏导数是否连续;求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数,求隐函数的一阶、二阶偏导数;求二元、三元函数的方向导数和梯度;求曲面的切平面和法线,求空间曲线的切线与法平面,该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题,应结合起来复习;多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。
这部分应用题多要用到其他领域的知识,在复习时要引起注意,可以找一些题目做做,找找这类题目的感觉。
六.多元函数的积分学
二重、三重积分在各种坐标下的计算,累次积分交换次序;第一型曲线积分、曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分的计算,格林公式,斯托克斯公式及其应用;第二型(对坐标)曲面积分的计算,高斯公式及其应用;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分,线面积分应用;求面积,体积,重量,重心,引力,变力作功等。
这部分内容和题型,数一考生要足够的重视。
七.无穷级数
判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;求幂级数的收敛半径,收敛域;求幂级数的和函数或求数项级数的和;将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);将函数展开为傅立叶级数,或已给出傅立叶级数,要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);综合证明题。
这部分相对来说可能有难度,但是掌握好还是有办法的。
首先,各个概念要清楚;其次,对一般的题型要有把握解答;最后,找一些比较灵活的题型练练自己的思路。
八.微分方程
求典型类型的一阶微分方程的通解或特解:
这类问题首先是判别方程类型,当然,有些方程不直接属于我们学过的类型,此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换,把原方程化为我们学过的类型;求解可降阶方程;求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;综合题,常见的是以下内容的综合:
变上限定积分,变积分域的重积分,线积分与路径无关,全微分的充要条件,偏导数等。
这一部分也是考研数学中的难点,对上面提到的常用方法要熟练掌握,多做这方面的综合题来强化。
总之,建议,数学要想考高分,20xx年的考生必须认真系统地按照考试大纲的要求全面复习,掌握数学的基本概念、基本方法和基本定理。
注意抓题型的解决方法和技巧,不断总结。
而这一切的获得,都是建立在大量的做习题的基础上的,但是做习题不仅仅是追求量,还要保证质,所谓"质",就是彻底理解所做过的每一道题,而这一点通常显的更为重要。
考研数学培养解题的综合能力
保证“质量”
在考研复习期间,每个人都会做大量的数学题,但题目的数量并不是决定胜负的关键,关键在于做题的质量。
所谓“质量”,是指你从一道题中学到了多少知识和解题方法,发现了多少自身存在的问题,体会到了多少命题的思路和考点。
考研数学复习必须做题,但是不能把做题和基础知识的复习对立起来。
有人认为数学基本题太简单,不愿意做,都去做更多更难的题目。
但是,如果对理论知识领会不深,基本概念都没搞清楚,恐怕基本题也做不好,又怎么谈得上做更多更难的题目呢?
考研辅导专家认为,缺乏基本功,盲目追求题目的深度、难度和做题数量,结果只能是深的不会做,浅的也难免错误百出。
其实解题的过程也是加深对数学定理、公式和基本概念的理解和认识的过程。
多问为什么
如何选择练习的题目呢?
用一句话概括就是:
“先阶段,后综合;勤总结,多温故”。
这个非常好理解,重点是在实施的时候要注意什么方面,如在进行阶段时的复习当中,大家可以先将基础知识通看一遍,然后拿来自己选用的参考书进行练习。
考研辅导专家提醒考生,在复习过程中,大家一定要多问几个为什么。
在理解概念时,多问问自己为什么,它的潜在意义在哪,应用的题型是什么样的,适用的范围有哪几个,应该套用的公式是哪些。
在做题方面,唯一需要我们注意的就是要经常性地总结,把自己做得题常常找出来好好地总结归纳,同一题型经常用什么样的解题通式,这样在拿到题的时候心中才不会发慌。
(2)考研数学线性代数有哪些复习要点
考生们在准备考研数学线性代数的复习时,需要把复习要点掌握好。
小编为大家精心准备了考研数学线性代数复习重点,欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数复习建议
一、重视基本概念、基本性质、基本方法的理解和掌握
基本概念、基本性质和基本方法一直是考研数学的重点,线性代数更是如此。
从多年的阅卷情况和经验看,有些考生对基本概念掌握不够牢固,理解不够透彻,在答题中对基本性质的应用不知如何下手,因此,造成许多不应该的失分现象。
所以,考生在复习中一定要重视基本概念、基本性质和基本方法的理解与掌握,多做一些基本题来巩固基本知识。
二、加强综合能力的训练,培养分析问题和解决问题的能力
从近十年特别是近两年的研究生入学考试试题看,加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核。
在线性代数的两个大题中,基本上都是多个知识点的综合。
从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考核。
因此,在打好基础的同时,通过做一些综合性较强的习题(或做近几年的研究生考题),边做边总结,以加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握。
三、注重分析一些重要概念和方法之间的联系和区别
线性代数的内容不多,但基本概念和性质较多。
他们之间的联系也比较多,特别要根据每年线性代数考试的两个大题内容,找出所涉及到的概念与方法之间的联系与区别。
例如:
向量的线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系;向量的线性相关(无关)与齐次线性方程组有非零解(仅有零解)的讨论之间的联系;实对称阵的对角化与实二次型化标准型之间的联系等。
掌握他们之间的联系与区别,对大家做线性代数的两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助。
考研数学复习看教材的原则
一、重视结合大纲复习
大纲不仅是命题人要遵循的法律也是我们复习的依据,考试大纲和教学大纲是有区别的,一般教材上的内容只有60%左右会考查到,所以有很多内容考试是不要求的,看了等物做无用功。
现在大家用20xx5年的大纲也完全可以,因为数学考试具有稳定性,大纲一旦改变,会稳定几年。
数学的试题不同于政治的试题,数学试题具有连续性和稳定性。
细心的同学可能注意到了,对不同知识点大纲有不同的要求,有要求理解的,有要求了解的,有要求掌握的,也有要求会求会计算的。
那么我们应该怎么来对待呢?
在基础阶段复习中,大家不要在意这几个字的区别,从历年试卷的内容分布上可以看出,凡是考试大纲中提及的内容,都有可能考到,甚至某些不太重要的内容,也可以以大题的形式在试题中出现。
由此可见,以押题、猜题的复习方法来对付考研靠不住的,很容易在考场上痛失分数而败北,应当参照考试大纲,全面复习,不留遗漏。
当然,全面复习不简单的就是死记硬背所有的知识,相反,是要抓住问题的实质和各内容、各方法的本质联系,把要记的东西缩小到最小程度,要努力使自己理解所学知识,多抓住问题的联系,少记一些死知识,而且记住了就要牢靠,事实证明,有些记忆是终生不忘的,而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上,运用它们的联系而得到。
这就是全面复习的含义我们都需要把它掌握了。
而在以后提高阶段中,我们就需要有针对性的复习,在考试大纲的要求中,对内容有理解,了解,知道三个层次的要求;对方法有掌握,会(能)两个层次的要求,一般地说,要求理解的内容,要求掌握的方法,是考试的重点。
在历年考试中,这方面考题出现的概率较大;在同一份试卷中,这方面试题所占有的分数也较多。
"猜题"的人,往往要在这方面下功夫。
一般说来,也确能猜出几分来。
但遇到综合题,这些题在主要内容中包含着次要内容。
这时,"猜题"便行不通了。
我们讲的这时要突出重点,不仅要在主要内容和方法上多下功夫,更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系,以主带次,用重点内容提挈整个内容。
主要内容理解透了,其它的内容和方法迎刃而解。
即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容,而是从分析各内容的联系,从比较中自然地突出主要内容要求理解,掌握的考的频率高,常常是以大题的形式出现,大家需要重点来复习,把它吃透;要求了解,会求,会计算的知识点考得频率低一点,所以要求也稍微弱一点,大家花在上面的时间可以相对少一点。
这样复习的时候才能做到有的放矢。
二、重视做题质量
基础阶段的学习过程中,教材上的题目肯定是要做的,那是不是教材上的所有题目都需要做呢?
具统计,《高等数学》的教材上题目共1900多道,《线性代数》教材上共400多道题目,《概率论与数理统计》教材上共600多道。
学习数学,要把基本功练熟练透,但我们不主张"题海"战术,其实上面我们已经清楚大约要做的题目数量,这阶段我们提倡精练,即反复做一些典型的题,做到一题多解,一题多变。
要训练抽象思维能力,对些基本定理的证明,基本公式的推导,以及一些基本练习题,要做到不用书写,就像棋手下"盲棋"一样,只需用脑子默想,即能得到正确答案,这样才叫训练有素,"熟能生巧"。
基本功扎实的人,遇到难题办法也多,不易被难倒。
相反,作练习时,眼高手低,总找难题作,结果,上了考场,遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会;不少考生把会作的题算错了,将其归结为粗心大意,确实,人会有粗心的,但基本功扎实的人,出了错立即会发现,很少会"粗心"地出错。
三、重视复习效果
看教材不是看小说,看完就算了。
看的过程中一方面要提高数学的复习效率,不和别人比速度。
要做到能用自己的语言叙述大纲中的概念和定理,切忌"一知半解"。
不要一味做题而不注意及时归纳总结。
及时总结可以实现"量变到质变"的飞跃。
不要急于做以往的"考研试卷",等到数学的三门课复习完毕并经过第二阶段的复习再做,这样的效果会更好些。
既可了解考什么、怎么考,又可检验自己复习的情况。
同学们还要不骄不躁,持之以恒。
另外,我们一定要对自己看过的东西进行检验,看完一章后要看下自己是否可以继续下一章节的学习。
那如何来检验呢?
我们的方法是:
做和考研比较接近的测试题。
一般来说书后习题是不能反映出大家对每一章的掌握情况的。
因为我们的目标不是期末考试而是考研,课后题是不能说明问题的,大家应该通过做一些难度适中的题目才能解决这个问题。
考研数学导数含义及计算解读
▶理解并牢记导数定义
导数定义是考研数学的出题点,大部分以选择题的形式出题,不会直接教材上的导数充要条件,而是变换形式后的,这就需要同学们真正理解导数的定义,要记住几个关键点:
1、在某点的领域范围内。
2、趋近于这一点时极限存在,极限存在就要保证左右极限都存在,这一点至关重要,也是01年数一考查的点,我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。
3、导数定义中一定要出现这一点的函数值,如果已知告诉等于零,那极限表达式中就可以不出现,否就不能推出在这一点可导,请同学们记清楚了。
4、掌握导数定义的不同书写形式。
▶导数定义相关计算
已知某点处导数存在,计算极限,这需要掌握导数的广义化形式,还要注意是在这一点处导数存在的前提下,否则是不一定成立的。
▶导数、可微与连续的关系
函数在一点处可导与可微是等价的,可以推出在这一点处是连续的,反过来则是不成立的,相信这一点大家都很清楚,而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题:
函数在一点处不连续,则在一点处不可导。
这也常常应用在做题中。
▶导数的计算
导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到,而且形式不一,考查的方法也不同。
要能很好的掌握不同类型题,首先就需要我们把基本的导数计算弄明白:
1、基本的求导公式。
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的,这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式,也为后面学习不定积分和定积分打基础。
2、求导法则。
求导法则这里无非是四则运算,复合函数求导和反函数求导,要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的复合过程,按照复合函数的求导法则一次求导就可以了,也是通过这个复合函数求导法则,我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路,建立函数与其反函数之间的导数关系,从而也使我们得到反三角函数求导公式,这些公式都将要列为基本导数公式,也要很好的理解并掌握反函数的求导思路,在13年数二的考试中相应的考过,请同学们注意。
3、常见考试类型的求导。
通常在考研中出现四种类型:
幂指函数、隐函数、参数方程和抽象函数。
这四种类型的求导方法要熟悉,并且可以解决他们之间的综合题,有时候也会与变现积分求导结合,94年,96年,08年和10年都查了参数方程和变现积分综合的题目。
▶高阶导数计算
高阶导数的计算在历年考试出现过,比如03年,07年,10年,都以填空题考查的,00年是一道解答题。
需要同学们记住几个常见的高阶导数公式,将其他函数都转化成我们这几种常见的函数,代入公式就可以了,也有通过求一阶导数,二阶,三阶的方法来找出他们之间关系的。
这里还有一种题型就是结合莱布尼茨公式求高阶导数的,00年出的题目就是考察的这两个知识点。
(3)考研数学线性代数方程组的高频考点
线性代数关于解方程这部分的出题一般是会出一道大题,而向量的线性相关性问题一般转化为线性方程组有无解的问题,因此同学们可以把两者串联在一起进行复习。
小编为大家精心准备了考研数学线性代数方程组知识点,欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数方程组19个高频考点
其中我们应当掌握:
1、非齐次线性方程组解的结构及通解;
2、齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;
3、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件,非齐次线性方程组有解的充分必要条件;
4、矩阵初等变换的概念,初等矩阵的性质,矩阵等价的概念,矩阵的秩的概念,用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵;
5、向量、向量的线性组合与线性表示的概念;
6、用初等行变换求解线性方程组的方法;
7、基变换和坐标变换公式,过渡矩阵。
(数一)
8、向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念;(数一)
9、向量组线性相关、线性无关的概念,向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法;
10、向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念和求解;
11、向量组等价的概念,矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;
矩阵的特征值特征向量与二次型相当于是求解线性方程组的应用,出题比较灵活,有些题目技巧性较强,复习起来也是比较有意思的一章。
在考试中也是比较容易出大题的内容。
其中我们应当掌握:
1、规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质;
2、内积的概念,线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法;
3、矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,求矩阵的特征值和特征向量;
4、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质;
5、相似矩阵的概念、性质,矩阵可相似对角化的充分必要条件,将矩阵化为相似对角矩阵的方法;
6、二次型及其矩阵表示,二次型秩的概念,合同变换与合同矩阵的概念,二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理;
7、正定二次型、正定矩阵的概念和判别法。
8、正交变换化二次型为标准形,配方法化二次型为标准形。
考研数学高数常见出证明题的6个地方
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点,特别是数二最近几年考的非常频繁,已经考过好几次大的证明题,一般大题中涉及到数列极限的证明,用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点,其考试特点是综合性强,涉及到知识面广,涉及到中值的等式主要是三类定理:
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理,其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题,考查频率底,所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候,一般会把三类定理两两结合起来进行考查,所以要总结到现在为止,所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法:
常数变异法;积分学的方法:
换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点,最近几年没设计到,所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方,同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。
考研数学做题练习需遵循5大原则
1.思考着去做题,去总结
很多学生都有这样的困惑,做了很多题但不会的题还是很多,最可气的就是很多题明明做过,但是再遇到还是不会做!
这就是很多同学存在的通病,不求甚解。
总以为不会做了,看看答案就会了,并不会认真的思考为什么不会,解题技巧是什么,和它同类型的题我能不能会做等等。
其实,这些都是很重要的,提醒大家要学着思考,学着“记忆”,最重要是要会举一反三,这样,我们才能脱离题海的浮沉,能够做到有效做题,高效提升!
2.侧重基础,培养逆向思维
很多时候,备考者会陷入盲目的题海中,这也是很多考生对数学感到头痛的原因所在。
其实在前期复习知识点的时候,就应该把定义、定理的推导作为一个重点内容,重视推导和例题中的方法与技巧,认真分析这些方法,将它们套用到相应的练习题中,比做大量的重复练习要高效得多。
同时,思维习惯大大影响着学习效果。
当进入考研数学复习备考的时候,大多数人继承了以往学习的习惯,思维也基本上定型了,也就是进入了定势思维。
习惯性思考方式在一方面有优势,另一方面也制约着学习成绩的提高,我们现在要做的就是打破惯性思维!
3.做题有始有终,提高计算能力
数学不等于做题,但是不可避免的是学好数学一定要做题,那么如何做题?
我们说基础的扎实巩固是根本,再这个基础上进行做题。
同时,提醒大家的是复习一定要养成一个好的习惯,拿到的数学题一定要有始有终把它算出来,这是一种计算能力的训练,尤其是计算量大的时候,如果没有平常这样一个训练,在实际考试的时候在短时间内是很难心有余力也足的。
4.深入思考,善于总结
考试里不仅仅是考察我们基本概念、基本理论、基本方法的问题,还涉及到我们灵活运用知识的能力问题,所以仅仅是依靠教材很难把它这种考试命题的特点归纳总结出来,因此要了解考试,历年考试的真题作为准备去参加研究生考试的同学是必备的。
大家选真题的时候应该考虑到能不能通过真题的分析帮助我们真正的归纳总结这样一些题型出来,针对每一个问题我们应该如何去分析和讨论在分析讨论过程中间,有没有一些可能的变化情况,这些变化情况到现在为止,考到了哪一些,那一些就是我们下一步复习应该注意的,这样每一部分你都能够这样去归纳、总结或通过这种相关的辅导书帮助你归纳总结出来了,复习就更有针对性。
5.揣摩真题,把握方向
真题的作用是不容忽视的,经过十几年的考试,相当多的题目模式已经定了下来,很多考研题目都是
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