全等三角形经典题型50题含答案.docx
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全等三角形经典题型50题含答案
全等三角形证明经典50题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
延长AD到E使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 即: 10-2<2AD<10+24 又AD是整数则AD=5 1 2.已知: D是AB中点,/ACB=90°,求证: CD—AB 2 A 3.已知: BC=DE,/B=ZE,ZC=ZD,F是CD中点,求证: /1=Z2 证明: 连接BF和EF。 因为BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,/CBF=/DEF。 连BE。 在三 DFE=ZDGE「.EF= 角形BEF中,BF=EF。 所以/EBF=/BEF。 又因为ZABC=/AED。 所以/ABE=/AEB。 所以AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=Z所以F。 角形ABF和三角形AEF全等。 所以ZBAF=ZEAF(Z1=Z2)。 4.已知: Z1=Z,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC 证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则ZDEG=Z ZDGE=Z2又•/CD=DEUADC6GDEAAS •••EG=AC•/EF//AB •••ZDFE=Z1vZ1=Z2•••/ EG: EF=AC 5.已知: AD平分ZBAC,AC=AB+BD,求证: ZB=2ZC BAC•••/EAD=ZBAD'AE=AB, 证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED•/AD平分Z AD=AD•••"AED6ABD(SAS): 丄AED=ZB,DE=DB•/AC=AB+BD AC=AE+CE•CE=DEC=ZEDC^ZAED=ZC+ZEDC=2ZC「・ZB=2ZC 6.已知: AC平分ZBAD,CE丄AB,ZB+/D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CE丄AB所以ZCEB=ZCEF=因为 EB=EF,CE=CE,所以△CEB也△脸EZB=ZC因为ZB+ZD=18QTCFE+ZCFA =180。 所以ZD=ZCFA为AC平分ZBAD所以ZDAC=ZFAC因为AC=AC所以 △ADC^AAFCAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE 故"FCEDCE(AAS),FC=CD>BF+FC=AB+CD. 又ZFCE=ZDCE,CE=CE, D; 13.已知: AB//ED,ZEAB=ZBDE,AF=CD,EF=BC,求证: ZF=ZC AB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF全等于三角形DCB, 所以: /C=ZF 14.已知: AB=CD,/A=ZD,求证: /B=ZC 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD 则: △AE是等腰三角形。 所以: AE=DE而AB=CD所以: BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以: △是等腰三EC形所以: 角B=角C. 15. D P是ZBAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: PC-PB B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)因为 PC B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB 16.已知ZABC=3ZC,Z1=Z,BE丄AE,求证: AC-AB=2BE ZBAC=180-(ZABC+ZC=1804ZC Z1=ZBAC/2=90-2ZC ZABE=90-Z仁2ZC 延长BE交AC于F因为,Z1=Z2,BE丄AE 所以,△A是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE/FBC=/ABCABE=3ZC/C=/CF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B E 17. 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求 DC 作AG//BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5AGFsCDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,/仁Z2,求证: AD丄BC. 延长AD至H交BC于H;BD=DC; 所以: /DBC=/角DCB;/1=/2; /DBC+/1=/匍CB+Z2;/ABC=/ACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; /BAD=/CADAD是等腰三角形的顶角平分线所以: AD垂直BC 19.(5分)如图,0M平分/POQ,MA丄OP,MB丄OQ,A、B为垂足,AB交0M于点N. 求证: /OAB=ZOBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用 所以MA=MB所以/MAB=/MBA 因为/OAM=ZOBM=90度 OM,且/MOA=ZMOB 所以/OAB=90/MAB/OBA=90/MBA所以/OAB=/OBA 20.(5分)如图,已知AD//BC,/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线 交AP于D.求证: AD+BC=AB. 证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, •/PA//BC•••/PAB+/CBA=180°, 又•••,AE,BE均为/PA和/CBA勺角平分线 •••/EAB+/EBA=90°AEBE90B为直角三角形在三角形ABF 中,AE丄BF,且AE为/FAB勺角平分线 •三角形FAB为等腰三角形, AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,/EBC=/DFE, 且BE=EF,/DEF=/CEB,•三角形EF与三角形BEC为全等三角形, •DF=BC•AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC中, AD是/CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: /C=2ZB 证明: 在AB上找点E,使AE=AC•/AE=AC,/EAD=/CAD, AD=ADADE◎△ADC。 DE=CD, /AED=/CvAB=AC+CD, •DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B=/EDB/C=/B+/EDB =2ZB 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立 请给予证明;若不成立请说明理由. 分析: 通过证明两个直角三角形全等, 即Rt△DECBRt△以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形•再根据平行四边形的性质得出结论. 解答: 解: (1)连接BE,DF.•/DE丄AC于E,BF丄AC于F,,a/DEC=/BFA=90D°,BF,在Rt△DE(和Rt△BF中,TAF=CEAB=CD,aRt△DECBRt△BFA,aDE=BF.a四边形 BEDF是平行四边形.aMB=MME=MF; (2)连接BE,DF.•••DE丄A(于E,BF丄AC于F,,a/DEC=/BFA=90°,DE//BF,在 Rt△DEC口Rt△BF中,•/AF=CE,AB=CD,aRt△DECBRt△•BFAE=BF.a四边形BEDF 是平行四边形.AMB=MME=MF. 23.(7分)已知: 如图,DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AEDBzEBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两 C 个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): (1)DC//AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。 于是知 AD=EC,且/EAD=/BEC。 AE=BE,所以△AED◎△EBC。 (2)△AEC、△ACD、A都面积相等。 24.(7分)如图,△ABC中,/BAC=90度,AB=AC,BD是/ABC的平分线,BD的延长 线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. 证明: 延长BA、CE,两线相交于点F•/BE丄CE/•/BEF=/BEC=90在△BEF和△BEC中/FBE=/CBE,BE=BE,/BEF=/BEC•••△BEF◎△BEC(ASA)/•EF=EC/•CF=2CE •//ABD+/ADB=90°,/ACF+/CDE=90又v/ADB=/CDE •••/ABD=/ACF在△ABD和△ACF中 /ABD=/ACF,AB=AC, /BAD=/CAF=90 •△ABD◎△ACF(ASA) •BD=CF•BD=2CE 25、(10分)如图: DF=CE,AD=BC,/D=/C。 求证: △AED也^FC。 26、(10分)如图: AE、BC交于点 BE//CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 M,F点在AM上, C E 证明: •••BE||CF•••/E=/CFM,/EBM=/FCM: BE=CF •••△BEMBACFM •BM=CM「.AM是厶ABC勺中线• 27、(10分)如图: 在厶ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD丄AC。 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角 们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 证明: 在厶ABD^ACD^AB=ACBD=DCAD=AD •△ABD◎△ACD^ZADB=/ADC: / BD在△: BDC △FDC中 BD=DC/BDF=/FDDF=DF FBD◎△FCD•BF=FC C 29、(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形 ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE 角形ABF=三角形CDE所以AF=DE 30.公园里有一条 Z”字形道ABCD,如图所示,其中 AB//CD,在AB,CD,BC三段 路旁各有一只小石凳 E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明 三只石凳E,F,M恰好在一条直线上 证: •••A平行CD(已知)•••/B=/C(两直线平行内错角相等)TM在BC的中点(已知) •••EM=FM(中点定义)在厶BMEHACM中BE=CF(已知)/B=£(已证)EM=FM (已证)•△BM等与△CMFSAS)•••£EMB=£FMC(全等三角形的对应角相等) •••£EMF=£EMB+£BMF=£FMC+£BMF=£BMC=180。 (等式的性质) •E,M,F在同一直线上 31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,BE=DF.求证: △ABE◎△CDF. 证明: •/AF=CE•AF+EF=CE+EF •£BEA=£DFC又 •AE=CF•/BE//DF •/BE=DF "ABE6 CDASO 32.已知: 如图所示, AB=AD, BC=DC,E、F分别是DC、 BC的中点,求证: AE=AF。 连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等 腰△两底角相等得: 角 ABC=角ADC在结合已知条件证得: △ADE也ZABF 得AE=AF 33•如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,/ 仁£2,£3=£4,求证 £5=£6. C 因为角1=角2£3=£所以角ADC=角ABC.又因为AC 是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等 于三角形BEC所以/5=Z6 34.已知AB//DE,BC//EFD,C在AF上,且AD=CF,求证: △KBC^BEF. 因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB 平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F (两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形 全等 35.已知: 如图, AB=AC,BD AC,CEAB,垂足分另【J为D、 求证: BE=CD. 证明: 因为AB=AC,所以/EBC=/DCB BD丄AC,CE丄AB所以/BEC=/CDB E,BD、CE相交于点F, (公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以 BE=CD 36、如图,在△ABC中,AD为/BAC的平分线, DE丄AB于E,DF丄AC于F。 求证: DE=DF. AAS证△ADEBZADF 37.已知: 如图,ACBC于C,DEAC于E,AD =AE.若AB=5,求AD的长? 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BAC AB于A,BC BC=AE △\BC^zDAE AD=AB=538.如图: AB=AC,ME丄AB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC证明•••AB=AC •••△AB是等腰三角形•••/B=ZC 又VME=MF,△BEM^ACEM! 直角三角形 •△BE全等于△CEM「.MB=MC 39.如图,给出五个等量关系: ①ADBC②ACBD③CEDE④DC ⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结 论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: 求证: 证明: 已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB所以△AD全等于△BCA 所以角D=角C 以4,5为条件,1为结论。 即: 在四边形ABCD中,ZD=ZC,ZA=ZB,求AD=BC因 为ZA+ZB+ZC+ZD=360ZD=ZCZA=ZB,所以2(ZA+ZD)=360; ZA+ZD=180。 ,所以AB//DC 40•在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D, BEMN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC也CEB; ②DEADBE; E (1)证明: •••/ACB=90,•••/ACD#BCE=90,而 ADLMN 于D,BELMN于E, (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,若不成立,说明理由 •••/ADC=/CEB=90。 ,/BCE+/CBE=90°,•/ACD祀©B©•(和在Rt△CE中, {/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB, Rt△ADCBRAASCEB'.(AD=CE,DC=BE, •DE=DC+CE=BE+AD; (2)不成立,证明: 在△ 和ADCCE中,{/ADC=/CEB=90 /ACD=/CBEAC=CB, •△ADC^ACAASO, AD=CE,DC=BE, DE=CECD=AD-BE; 41•如图所示,已知 AE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC 丄BF (1)证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角 CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角 BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所 F 以三角形EAC和三角形FAB全等所以 EC=BF角ECA=角F (2) (2)延长FB与EC的延长线交于点 G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为 44.如图,已知AC伯D,EA、 EB分别平分/CAB和/DBA, CD过点E,贝UAB与AC+BD 角CAF=90度所以EC垂直BF N A 证明: (1) •/BE丄AC CF丄AB• / ABM+/BAC=90°, 4/ 1 \ \ € \ /ACN+/ BAC=90°/ /ABM=/ ACNvBM=AC, / Ae CN=AB•••△ABM^A NACaam=an B C (2) •/△ABMBA NAC/ •/BAM=/ Nv/N+/ BAN=90°/ / BAM+/BAN=90。 即 42.如图: BE丄AC,CF丄AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN ; (2)AM丄AN。 /MAN=90°aAM丄AN 43.如图,已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC//EF 连接BF、CE, 证明△AB全等于△DE(S(S), 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 相等吗? 请说明理由 在AB上取点N,使得AN=AC/CAE=/EAN,AE为公共边, 所以三角形CAE全等三角形EAN 所以/ANE=/AC又AC平行BD 所以/ACE+/BDE=18而/ANE+/ENB=180 所以/ENB=/BDE/NBE=/BB为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD 45、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE//CF. 证明: •••A是中线•••BD=CD•/DF=DE, /BDE=/CDFBDE◎△CDF BED=/CFD•BE||CF 46、(10分)已知: 如图,AB=CD,DE丄AC,BF丄AC,E, F是垂足,DEBF. 求证: AB//CD. 证明: •/DE丄ACBF丄AC,DEC=/ AFB=90在Rt△DEC 和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,•Rt△DEC^Rt△BFA, •••/C=/A,「.AB//CD. 47、(10分)如图,已知/1=/2,/3=Z4,求证: AB=CD 48、(10分)如图,已知AC丄AB,DB丄AB,AC= BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论• 结论: CE>DE。 当/AE越小,贝UDE越小。 证明: 过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件 知AFDE为平行四边形, ABEC为矩形,且△DF为等腰三角形。 RT△中AN AE为锐 角,即/AEB<90 DF//AE/FDB=/AEB<90°△中DFB /DFB=/DBF=(180-/FDB)/2>45 RT△中,玄FBA=90-ZDBF<45 /AFB=90-ZFBA>45 AB>AF•/AB=CAF=DE/•CE>DE 49、 (10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: AE=DE. 先证明△ABC^/BDC的出角ABC=角DCB 在证明△ABE^/DCE 得出AE=DE 50.如图9所示,AABC是等腰直角三角形,/ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C 作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: /ADC 图9 =ZBDE. 证明: 作CG平分/AC交AD于GvZACB=90°二/ACG= /DCG=45°vZACB=90° AC=BC•••/B=ZBAC=45°「・ZB=ZDCG=ZACGvCF丄AD「・ZACF+ZDCF=90° vZACF+ZCAF=90°「・ZCAF=ZDCF•/AC=CBACG=ZACG^^CBE•CG=BE vZDCG=ZBCD=BD•△CDG◎△BDEADC=ZBDE
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