高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21
1.2充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
知识点一 充分条件与必要条件
思考 用恰当的语言表述下列语句的意义.
①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;
②只有同心协力,才能把事情办好.
答案 ①如果不骄傲自满,那就可能不落后,也可能落后,骄傲自满是落后的充分条件.
②同心协力是办好事情的必要条件.
梳理
(1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p⇒q,但q⇏p,称p是q的充分而不必要条件,若q⇒p,但p⇏q,称p是q的必要而不充分条件.
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中,角A、B、C为它的三个内角,则“A、B、C成等差数列”是“B=60°”的什么条件?
答案 因为A、B、C成等差数列,故2B=A+C,又因为A+B+C=180°,故B=60°,反之,亦成立,故“A、B、C成等差数列”是“B=60°”的充分必要条件.
梳理
(1)一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
(2)充要条件的实质是原命题“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”均为真命题,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件
若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立}.
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1 下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:
a+b=0,q:
a2+b2=0;
(2)p:
四边形的对角线相等,q:
四边形是矩形;
(3)p:
x=1或x=2,q:
x-1=
;
(4)p:
m<-1,q:
x2-x-m=0无实根;
(5)p:
ab≠0,q:
直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交.
解
(1)∵a+b=0⇏a2+b2=0;
a2+b2=0⇒a+b=0,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形;
四边形是矩形⇒四边形的对角线相等,
∴p是q的必要不充分条件.
(3)∵x=1或x=2⇒x-1=
;
x-1=
⇒x=1或x=2,∴p是q的充要条件.
(4)若方程x2-x-m=0无实根,则Δ=1+4m<0,
即m<-
.∵m<-1⇒m<-
;m<-
⇏m<-1,
∴p是q的充分不必要条件.
(5)由ab≠0,即a≠0且b≠0,此时直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交;又当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时,a≠0且b≠0,即ab≠0,故p是q的充要条件.
反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法:
一、定义法;二、等价命题法,原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题,这一点在充要条件的判断中经常用到;三、集合法,P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ,P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ,P是Q的充要条件⇔集合P=Q,P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q,且P⊉Q;四、传递法,对于较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇏等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
跟踪训练1 指出下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:
ax2+ax+1>0的解集是R,q:
0 (2)p: |x-2|<3,q: <-1; (3)p: A∪B=A,q: A∩B=B; (4)p: q: 解 (1)当a=0时,1>0满足题意; 当a≠0时,由
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