全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

《全国高中数学联赛试题及详细解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛试题及详细解析.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

全国高中数学联赛试题及详细解析

2004年全国高中数学联赛试题及详细解析

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cosθ=0有

重根，则θ的弧度数为

（）

A．B．或C．或D．

2．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是

（）

A．[－，]B．（－，）C．（－，]D．[－，]

3．不等式+logx3+2>0的解集为

A．[2，3）B．（2，3]C．[2，4）D．（2，4]

4．设点O在∆ABC的内部，且有+2+3=，则∆ABC的面积与∆AOC的面积的比为（

）

A．2B．C．3D．

8．设函数f：

R→R，满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）－f（y）－x+2，则f（x）=；

9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；

10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；

11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式（3－an+1）（6+an）=18，且a0=3，则的值是；

12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为

；

二试题

一．（本题满分50分）在锐角三角形

ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

二．（本题满分50分）在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=（x≥0）上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．

⑴证明an>an+1>4，n∈N*；

⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++

三．（本题满分50分）对于整数n≥4，求出最小的整数f（n），使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f（n）元子集中，均至少有3个两两互素的元素．

2004年全国高中数学联赛试卷

第一试

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为（）

A．B．或C．或D．

【答案】B

【解析】由方程有重根，故∆=4cos

2θ－cotθ=0，

∵0<θ<，⇒2sin2θ=1，⇒θ=或．选B．

3．不等式+logx3+2>0的解集为

A．[2，3）B．（2，3]C．[2，4）D．（2，4]

【答案】C

【解析】令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2），⇒x∈[2，4），选C．

4．设点O在∆ABC的内部，且有+2+3=，则∆ABC的面积与∆AOC的面积的比为（）

A．2B．C．3D．

【答案】C

【解析】如图，设∆AOC=S，则∆OC1D=3S，∆OB1D=∆OB1C1=3S，∆AOB=∆OBD=1.5S．∆OBC=0.5S，⇒∆ABC=3S．选C．

5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）

A．45个B．81个C．165个D．216个

6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为（）

A．B．C．D．

二．填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．在平面直角坐标

系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a>0）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g（x）=的图像所围成的封闭图形的面积是；

【答案】．

【解析】f（x）=sin（ax+ϕ），周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．

又解：

∫[1－sin（ax+ϕ）]dx=∫（1－sint）dt=．

8．设函

数f：

R→R，满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）－f（y）－x+2，则f（x）=；

【答案】x+1

【解析】令x=y=0，得，f

（1）=1－1－0+2

，⇒f

（1）=2．

令y=1，得f（x+1）=2f（x）－2－x+2，即f（x+1）=2f（x）－x．①

又，f（yx+1）=f（y）f（x）－f（x）－y+2，令y=1代入，得f（x+1）=2f（x）－f（x）－1+2，即f（x+1）=f（x）+1．②

比较①、②得，f（x）=x+1．

10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；

【答案】（p+1）2．

【解析】设=n，则（k－）2－n2=，⇒（2k－p+2n）（2k

－p－2n）=p2，⇒k=（p+1）2．

11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式（3－an+1）（6+an）=18，且a0=3，则的值是；

【答案】（2n+2－n－3）．

【解析】=+，⇒令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，⇒bn=⨯2n．即=，⇒=（2n+2－n－3）．

12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；

【答案】1

【解析】当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P（否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P'使∠MP'N更大）．于是，延长NM交x轴于K（－3，0），有KM·KN=KP2，⇒KP=4．P（1，0），（－7，0），但（1，0）处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．

三．解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．一项“过关游戏”规则规定：

在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：

⑴某人在这项游戏中最多能过几关？

⑵他连过前三关的概率是多少？

14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A（0，），B（－1，0），C（1，0），点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．

⑴求点P的轨迹方程；

⑵若直线L经过∆ABC的内心（设为D），且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．

【解析】⑴设点P的坐标为（x，y），

（b）k=0时，直线y=与圆④切于点（0，），与双曲线⑤交于（±，），即k=0满足要求．

（c）k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．

（c）k≠0时，k≠时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：

（8－17k2）x2－5kx－=0．

当8－17k2=0或（5k）2－25（8－17k2）=0，即得k=±与k=±．

∴所求k值的取值范围为{0，±，±}．

15．已知α，β是方程4x2－4tx－1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]．

⑴求g（t）=maxf（x）－minf（x）；

⑵证明：

对于ui∈（0，）（i=1，2，3），若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++<．

【解析】⑴α+β=t，αβ=－．故α<0，β>0．当x1，x2∈[α，β]时，

∴f'（x）==．而当x∈[α，β]时，x2－xt<0，于是f'（x）>0，即f（x）在[α，β]上单调增．

∴g（t）

=－==

==

二试题

一．（本题满分50分）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

二．（本题满分50分）在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=（x≥0）上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．

⑴证明an>an+1>4，n∈N*；

⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++

【解析】⑴点An（0，），Bn（bn，）⇒由|OAn|=|OBn|，⇒bn2+2bn=（）2，⇒bn=－1（bn>0）．

∴0

∴0且tn单调减．

由截距式方程知，+=1，（1－2n2bn=n2bn2）

∴an====（）2+（）=tn2+tn=（tn+）2－≥（+）2－=4．

且由于tn单调减，知an单调减，即an>an+1>4成立．

亦可由=bn+2．=，得an=bn+2+，．

∴由bn递减知an递减，且an>0+2+⨯=4．

三．（本题满分50分）对于整数n≥4，求出最小的整数f（n），使得对于任何正整数m，集合{m

，m+1，…，m+n－1}的任一个f（n）元子集中，均至少有3个两两互素的元素．

【解析】⑴当n≥4

时，对集合M（m，n）={m，m+1，…，m+n－1}，

当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f（n）存在且f（n）≤n．①

取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M（2，n）={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f（n）≥card（T）+1．

但card（T）=[]+[]－[]．故f（n）≥[]+[]－[]+1．②

由①与②得，f（4）=4，f（5）=5．5≤f（6）≤6，6≤f（7）≤7，7≤f（8）≤8，8≤f（9）≤9．

现计算f（6），取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4（k≡0（mod2））时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个