四种命题间的相互关系.docx

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四种命题间的相互关系

1.1.3　四种命题间的相互关系

学习目标

　1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一　四种命题间的关系

思考　原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？

答案　原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理　四种命题间的关系

知识点二　四种命题间的真假关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

（1）两个互逆命题的真假性相同．（×）

（2）原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．（√）

（3）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（×）

类型一　四种命题间的关系及真假判断

例1　判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．

（1）若ab≤0，则a≤0或b≤0；

（2）若a2＋b2＝0，则a，b都为0.

考点　四种命题的概念

题点　判断四种命题的真假

解　

（1）逆命题：

若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．

逆否命题：

若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．

所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．

（2）原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．

反思与感悟　互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．

跟踪训练1　下列命题为假命题的是（　　）

A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题

B．“正三角形都相似”的逆命题

C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题

D．“若x－

是有理数，则x是无理数”的逆否命题

考点　四种命题的概念

题点　判断四种命题的真假

答案　B

解析　A中，原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，是真命题．

B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．

C中，原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m＜0，∴m＜－

，

∴原命题的逆否命题是真命题．

D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－

不是有理数”，

∵x不是无理数，∴x是有理数，

又

是无理数，∴x－

是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．

类型二　等价命题的应用

例2　设m，n∈R，证明：

若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

考点　反证法逆否证法

题点　逆否证法

证明　将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，

则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥

（m＋n）2＞

×22＝2.

所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．

反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练2　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

考点　反证法和逆否证法

题点　逆否证法

证明　命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2×（2b＋1）＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.

1．命题“若（綈p），则q”的逆否命题为（　　）

A．若p，则（綈q）B．若（綈q），则（綈p）

C．若（綈q），则pD．若q，则p

考点　四种命题的概念

题点　按要求写命题

答案　C

2．下列命题为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

考点　四种命题间的相互关系

题点　写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

答案　A

解析　对A，即判断：

若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

考点　四种命题的概念

题点　按要求写命题

答案　若x>0，则x>1　若x≤0，则x≤1

4．有下列命题：

①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；

②“若

＞

，则a＜b”的逆命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．

其中是假命题的是________．

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案　①②

解析　对于①，其否命题为：

若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a＜b，则

＞

，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.

5．已知命题p：

“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

（1）写出命题p的否命题；

（2）判断命题p的否命题的真假．

考点　四种命题间的相互关系

题点　写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

解　

（1）命题p的否命题为：

“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

（2）命题p的否命题是真命题．判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．

一、选择题

1．以下说法错误的是（　　）

A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题

B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题

C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数

D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　B

2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为（　　）

A．0B．1

C．2D．4

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案　B

解析　互为逆否关系的两个命题的真假性相同．

3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案　C

解析　只有其逆命题、否命题为真命题．

4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（　　）

A．互逆命题B．互否命题

C．互为逆否命题D．以上都不正确

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　A

解析　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．

5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（　　）

A．若x

C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2

考点　四种命题的概念

题点　按要求写命题

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

6．给出下列四个命题：

①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中为真命题的是（　　）

A．①②B．②③

C．③④D．②④

考点　反证法和逆否证法

题点　逆否证法

答案　D

解析　根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．

7．原命题为“若

A．真、真、真B．假、假、真

C．真、真、假D．假、假、假

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　A

解析　从原命题、逆命题的真假入手，

8．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题为（　　）

A．①②B．②③C．①③D．③④

考点　四种命题间的关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　C

解析　①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C.

二、填空题

9．命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b∈R）”的否命题的真假性为________．（填“真”或“假”）

考点　四种命题的概念

题点　判断四种命题的真假

答案　真

解析　其否命题为：

若a≤b，则ac2≤bc2，它为真命题．

10．已知命题p：

若a＞b＞0，则

＜

＋1，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案　2

解析　∵a＞b＞0，∴

＜

，

∴命题p为真命题，其逆命题为“若

＜

＋1，则a＞b＞0”，

∵当a＝2，b＝2时，

＜

＋1成立，

而a＝b，∴逆命题为假命题．

∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，

∴命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.

11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．（只填序号）

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　②

解析　①的逆命题是：

若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：

上底面A1B1C1D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：

若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题．

三、解答题

12．判断下列命题的真假．

（1）对角线不相等的四边形不是等腰梯形；

（2）若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；

（3）若x2＋y2≠0，则xy≠0.

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

解　

（1）该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．

（2）该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．

（3）该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．

13．判断命题：

“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

解　方法一　（利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二　（利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

四、探究与拓展

14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为（　　）

①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．

A．1B．2C．3D．4

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案　B

解析　由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.

15．已知条件p：

|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：

＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？

考点　四种命题间的相互关系

题点　利用四种命题的关系判断真假

解　由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，

即x＜

或x＞

.

由

＞0，得2x2－3x＋1＞0，

解得x＜

或x＞1.

为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需AB.

令a＝4，得p：

x＜－

或x＞1，

满足题意，故可以选取a＝4，

此时原命题是“若|5x－1|＞4，则

＞0”．