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圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲

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知能梳理

【椭圆】

一、椭圆的定义

FF1、椭圆的第一定义:

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数P12

，这个动点的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作P（PF，PF,2a,FF）1212

椭圆的焦距。

FF注意:

若，则动点的轨迹为线段;P（PF，PF,FF）121212

若，则动点P的轨迹无图形。

（PF，PF,FF）1212

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）

22xy222，,1

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:

，其中;x（a,b,0）c,a,b22ab

22yx222，,1

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:

，其中;（a,b,0）yc,a,b22ab

22xy22，,12、两种标准方程可用一般形式表示:

或者mx+ny=1mn

22xy，,1三、椭圆的性质（以为例）（a,b,0）22ab

-1-

1、对称性:

22xy，,1:

是以轴、轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对对于椭圆标准方程（a,b,0）xy22ab

称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围:

x,a椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，y,,bx,,a

y,b。

3、顶点:

?

椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

22xy，,1A（,a,0）?

椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，（a,b,0）122ab

A（a,0）B（0,,b）B（0,b），，。

212

AA,2aBB,2bAABB?

线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。

和分别叫做椭圆ab12121212

的长半轴长和短半轴长。

4、离心率:

2cce,,?

椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

2aa

e?

因为，所以的取值范围是。

（a,c,0）（0,e,1）

22b,a,cec越接近1，则就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁;

反之，ecb越接近于0，就越接近0，从而越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

22a,bc,0当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

x，y,a?

离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

22xy，,1注意:

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）:

22ab

2PFPFa212,,e（PF，PF,2a）PM，PM,（）1212cPMPM12

-2-

5、椭圆的第二定义:

平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0,e,1）的点的轨迹为椭圆|PF|,e）。

（d

PFPF12,,e即:

到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。

PMPM12

222axy,,x?

焦点在x轴上:

（a,b,0）准线方程:

，,122cab

222ayx,,?

焦点在y轴上:

（a,b,0）准线方程:

y，,122cab

6、椭圆的内外部

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2222xyxy00,，,1，,,,1（0）ab

（1）点在椭圆的内部Pxy（,）220022abab

2222xyxy00,，,1，,,,1（0）ab

（2）点在椭圆的外部Pxy（,）220022abab

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

2222xyyx标准方程，,1，,1（a,b,0）（a,b,0）2222abab

图形

F（,c,0）F（c,0）F（0,,c）F（0,c），，焦点1212

FF,2cFF,2c焦距1212

x,ay,bx,by,a，，范围性质

关于x轴、轴和原点对称y对称性

（,a,0）（0,,b）（0,,a）（,b,0），，顶点

2a2b轴长长轴长=，短轴长=

-3-

c离心率e,（0,e,1）a

22aa准线方程,,,,yxcc

PF,a，exPF,a,exPF,a，eyPF,a,ey，，焦半径10201020

五、其他结论

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22xyxxyy00，,1，,11、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是Pxy（,）P00002222abab

22xy，,12、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线Pxy（,）121200022ab

xxyy00，,1方程是22ab

22xy，,13、椭圆（a,b,0）的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点，则椭圆，,FPF,121222ab

2Sb,tan的焦点角形的面积为,FPF122

22xy，,14、椭圆（a,b,0）的焦半径公式:

（,||MFaex,，||MFaex,,Fc（,0）,1020122ab

）Fc（,0）Mxy（,）200

5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?

NF。

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M，1212AP和AQ交于点N，则MF?

NF。

21

222bxy，,1kk,,,7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即（x,y）OMAB00222aab

2bx0K,,。

AB2ay0

2222xxyyxyxy0000，,1，,，8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是Pxy（,）000222222ababab

-4-

2222xxyyxyxy009、若在椭圆，,1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是，,，Pxy（,）000222222ababab

【双曲线】

一、双曲线的定义

1、第一定义:

到两个定点F与F的距离之差的绝对值等于定长（,|FF|）的点的轨迹1212

PF,PF,2a,FF（（为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点:

（1）距离之差a1212

的绝对值。

（2）2a,|FF|。

12

当|MF|,|MF|=2a时，曲线仅表示焦点F所对应的一支;122

当|MF|,|MF|=,2a时，曲线仅表示焦点F所对应的一支;121

当2a=|FF|时，轨迹是一直线上以F、F为端点向外的两条射线;1212

当2a,|FF|时，动点轨迹不存在。

12

2、第二定义:

动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e,1）时，这个动点的轨迹是双曲

线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

222FF二、双曲线的标准方程（，其中||=2c）b,c,a12

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三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系

1、点与双曲线

-5-

2、直线与双曲线

四、双曲线与渐近线的关系

五、双曲线与切线方程

六、双曲线的性质

七、弦长公式

与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，1、若直线ykxb,，xx,12

22,2ABxxyy,,，,（）（）2221212ABkxxkxxxxk,，,,，，,,，1141则，，，，121212||a

112若分别为A、B的纵坐标，则AByyyyyy,，,,，，,114。

yy,，，1212121222kk

2b2AB||,2、通径的定义:

过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。

a

21，,kyy3、若弦AB所在直线方程设为，则,。

xkyb,，AB12

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式

九、等轴双曲线

十、共轭双曲线

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【抛物线】

一、抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

二、抛物线的性质

三、相关定义

1、通径:

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦HH称为通径;通径:

|HH|=2P1212

122、弦长公式:

||1||1||ABkxxyy,，,,，,12122k

2AxyBxy（,）,（,）（0）p,FAB3、焦点弦:

过抛物线焦点的弦，若，则ypx,21122

-6-

2pp2xx,yy,

（1）x+，

（2），,p||AF,0121224

AB,p，（x，x）x，x,2xx,p（3）弦长,，即当x=x时,通径最短为2p12121212

2pAB（4）若AB的倾斜角为θ，则=2sin,

211（5）+=PAFBF

四、点、直线与抛物线的位置关系

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【圆锥曲线与方程】

一、圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常l数e（e,0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线称为准线，正常数e称为离心l率。

当0,e,1时，轨迹为椭圆;当e=1时，轨迹为抛物线;当e,1时，轨迹为双曲线。

ce,0e,特别注意:

当时，轨迹为圆（，当时）。

c,0,a,ba

二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

三、曲线与方程

四、坐标变换

1、坐标变换:

2、坐标轴的平移:

3、中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程

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精讲精练

-7-

2的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为【例】以抛物线y,83xFx,3y,0___________________.

解:

42222？

（23）？

,9抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双y,83xF（23,0）x,3y,,3

22xy,,1曲线方程为93

22yx,【例】双曲线=1（b?

N）的两个焦点F、F，P为双曲线上一点，|OP|,5,|PF|,|FF|,|PF|成等比数12112224b

2列，则b=_________。

222222222解:

设F（,c,0）、F（c,0）、P（x,y），则|PF|+|PF|=2（|PO|+|FO|）,2（5+c），即|PF|+|PF|,50+2c，1212112

222又?

|PF|+|PF|=（|PF|,|PF|）+2|PF|?

|PF|，依双曲线定义，有|PF|,|PF|=4，12121212

1722222依已知条件有|PF|?

|PF|=|FF|=4c?

16+8c,50+2c，?

c,,12123

5172222又?

c=4+b,，?

b,，?

b=1。

33

22【例】当取何值时，直线:

与椭圆相切，相交，相离,yxm,，ml916144xy，,

yxm,，„„„?

22解:

916144xy，,„?

2222?

代入?

得化简得2532161440xmxm，，,,916（）144xxm，，,

222,,,，,,,，（32）425（16144）57614400mmm

当即时，直线与椭圆相切;,,0,m,,5l

当，即时，直线与椭圆相交;,,0,,,55m

当，即或时，直线与椭圆相离。

,0m,,5m,5

【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最

410大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M和M，且|MM|=，试求椭12123圆的方程。

222解:

|MF|=a+c，|MF|=a,c，则（a+c）（a,c）=a,c=b，maxmin

22yx2，,1?

b=4，设椭圆方程为?

24a

设过M和M的直线方程为y=,x+m?

12

222222将?

代入?

得:

（4+a）x,2amx+am,4a=0?

设M（x，y）、M（x，y），MM的中点为（x，y），1112221200

-8-

2am4m1=（x+x）=，y=,x+m=。

则x012002224，a4，a

2am4m,代入y=x，得，224，a4，a

24104a22由于a,4，?

m=0，?

由?

知x+x=0，xx=,，又|MM|=，2（）4x，x,xx,1212121212234，a

22xy2=1。

代入x+x，xx可解a=5，故所求椭圆方程为:

，121254

【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。

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解:

以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为（,10，,4）、（10，,4）

2设抛物线方程为x=,2py，将A点坐标代入，得100=,2p×（,4），解得p=12。

5，

2于是抛物线方程为x=,25y。

由题意知E点坐标为（2，,4），E′点横坐标也为2，将2代入得y=,0。

16，从而|EE′|=（,0.16）,（,4）=3.84。

故最长支柱长应为3.84米。

【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP?

OQ，

10|PQ|=，求椭圆方程。

2

22解:

设椭圆方程为mx+ny=1（m,0，n,0），P（x，y），Q（x，y）1122

y,x，1,,22由得（m+n）x+2nx+n,1=0，Δ=4n,4（m+n）（n,1）,0，即m+n,mn,0，,22,mx，ny,1,

2（n,1）2n,由OP?

OQ，所以xx+yy=0，即2xx+（x+x）+1=0，?

+1=0，?

m+n=2?

12121212m，nm,n

4（m，n,mn）1032又2，将m+n=2，代入得m?

n=?

（）4m，n2

3131由?

、?

式得m=，n=或m=，n=2222

-9-

2x331222+y=1或x+y=1。

故椭圆方程为2222

2220xy22，,1【例】已知圆C的方程为21，椭圆C的方程为，C的离心率，，，，x,，y,,ab,,0，，122223ab

2为，如果C与C相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C的直径，求直线AB的方程和椭圆C的方12122

程。

y

A

C1

FFO12xB

22xy2c22222，,1.解:

由设椭圆方程为e,,得,,a,2c,b,c.222a22bb设A（x,y）.B（x,y）.由圆心为（2,1）.？

x，x,4,y，y,2.11221212

22222222xyxyx,xy,y11221212，,1,，,1,，,0.又两式相减，得2222222bb2bb2bb

（x，x）（x,x），2（y，y）（y,y）,0,12121212

y,y12x，x,4.y，y,2.得,,1.又？

直线AB的方程为y,1,,（x,2）..即y,,x，31212x,x12

22xy22y,,x，3代入，,1,得将3x,12x，18,2b,0.222bb

2？

直线AB与椭圆C相交.？

,24b,72,0.需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高2

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224b,7220202AB,2x,x,2（x，x）,4xx,.2,,.由得121212333

22xy2解得故所有椭圆方程，,1.b,8.168

2【例】过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线21y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。

2

-10-

y

1y=xB2

FxFo21

A

221a,bc222222,解法一:

由e=，得，从而a=2b，c=b。

设椭圆方程为x+2y=2b，A（x，y），B（x，,11222a2a

y）在椭圆上。

2

y,yx，x22222222221212则x+2y=2b，x+2y=2b，两式相减得，（x,x）+2（y,y）=0，,,.11221212x,xy，y2（）1212

xx1100设AB中点为（x，y），则k=,，又（x，y）在直线y=x上，y=x，于是,=,1，k=,1，00AB0000AB2y222y00

y,,1,,x,1,,,x,b则解得设l的方程为y=,x+1。

右焦点（b，0）关于l的对称点设为（x′，y′），,,,,,y,1,byx，b,,,,，1,22,

992222由点（1，1,b）在椭圆上，得1+2（1,b）=2b，b=。

a,168

28x162?

所求椭圆C的方程为=1，l的方程为y=,x+1。

，y99

解法二:

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2221ca,b,,得,点总结例题精讲（详细解答）”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”由e=，222aa

22222从而a=2b，c=b。

设椭圆C的方程为x+2y=2b，l的方程为y=k（x,1），

22222将l的方程代入C的方程，得（1+2k）x,4kx+2k,2b=0，

24k2k则x+x=，y+y=k（x,1）+k（x,1）=k（x+x）,2k=,。

12121212221，2k1，2k

2x，xy，y,k12k11212,,,直线l:

y=x过AB的中点（），则，解得k=0，或k=,1。

2222221，2k1，2k

若k=0，则l的方程为y=0，焦点F（c，0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0

舍去，从而k=,1，直线l的方程为y=,（x,1），即y=,x+1，以下同解法一。

22xy，,1（a,b,0）

（1）解法三:

设椭圆方程为22ab

1l直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。

故可设直线y,x过AB2l的方程为y,k（x,1）

（2）

2222222222（ka，b）x,2kax，ak,ab,0（3）

（2）代入

（1）消y整理得:

-11-

222ka知:

x，x,，又y，y,k（x，x）,2k代入上式得:

设A（x，y）B（x，y）1212121122222ka，b

22222111kka，bb22？

k,k,,？

k,k,,，，，k,,又e,222222x，x22kaka12

2222（a,c）2b2？

k,,,,,,2，2e,,1，，？

直线l的方程为y,1,x22aa

222222，方程（3）化为3x,4x，2,2b,0，,,16,24（1,b）,8（3b,1）,0此时a,2b

32222222？

b,，，，又c,a,b,b椭圆C的方程可写成:

x，2y,2b（4）3

，，？

右焦点F（b，0）设点F关于直线l的对称点（x，y）00y,0,1,x,b,0则，,x,1，y,1,b,00yx，b,00,1,,22,

332，，？

b,,又点（1，1,b）在椭圆上，代入（4）得:

1，2（1,b）,2b43

9922？

b,a,，168

22yx所以所求的椭圆方程为:

，,199

816

27【例】如图，已知?

POP的面积为，P为线段PP的一个三等分点，求以直线OP、OP为渐近线且1212124

13过点P的离心率为的双曲线方程。

2

y2P

P

ox

P1

解:

以O为原点，?

POP的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。

12

222ycb13xb3222,,1，（）,（）,设双曲线方程为=1（a,0，b,0），由e=，得。

222a2a2aba

33?

两渐近线OP、OP方程分别为y=x和y=,x1222

33设点P（x，x），P（x，,x）（x,0，x,0），1112221222

-12-

22PPx，xx,x11212所成的比λ==2，得P点坐标为（），则由点P分,PP12PP322

2222（x，2x）（x,2x）4yx1212,又点P在双曲线,=1上，所以=1，22229a9aa9a

2222即（x+2x）,（x,2x）=9a，整理得8xx=9a?

121212

9139132222|OP|,x，x,x,|OP|,x，x,x又11112224242

32，2tanPOx1212sinPOP,,,1229131，tanPOx11，4

11131227？

S,|OP|,|OP|,sinPOP,,xx,,,,POP12121212224134

9即xx=?

122

22yx22由?

、?

得a=4，b=9。

故双曲线方程为=1。

49

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22yx，,1（a,b,0）题精讲（详细解答）”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”过椭圆C:

上一动点P22ab

222引圆O:

x+y=b的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。

（1）已

2225ab，,知P点坐标为（x，y）并且xy?

0，试求直线AB方程;

（2）若椭圆的短轴长为8，并且，00002216||||OMON求椭圆C的方程;（3）椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直,若存在，请求出存在的条件;若不存在，请说明理由。

22xx，yy,bxx，yy,b解:

（1）设A（x，y），B（x，y）切线PA:

，PB:

11221122

22xx，yy,bxx，yy,b?

P点在切线PA、PB上，?

10102020

2xx，yy,b（xy,0）?

直线AB的方程为0000

22bb

（2）在直线AB方程中，令y=0，则M（，0）;令x=0，则N（0，）xy00

-13-

222222yx25abaa00，,（，）,,?

?

2222216b||||OMONbab2

22?

2b=8?

b=4代入?

得a=25，b=16

22yx?

椭圆C方程:

，,1（xy,0）2516

（3）假设存在点P（x，y）满足PA?

PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，00

222x，y,2b四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|