第34届全国中学生物理竞赛模拟试题及详细解答讲解.docx
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第34届全国中学生物理竞赛模拟试题及详细解答讲解
第34届全国中学生物理竞赛试题模拟
★理论部分
AlB
一、
A,B,C三个刚性小球静止在光滑的水平面上.它们的质量皆为m,用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连,AB的延长线与BC的夹角α=π/3,如图所示.在此平面内取正交坐标系Oxy,原点O与B球所在处重合,x轴正方向和y轴正方向如图.另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上,沿y轴负方向以速度v0(如图)与B球发生弹性正碰,碰撞时间极短.设刚碰完后,连接A,B,C的连线都立即断了.求碰后经多少时间,D球距A,B,C三球组成的系统的质心最近.
二、
为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近,可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船,要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内,轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU(AU为距离的天文单位,表示太阳和地球之间的平均距离:
1AU=1.495×1011m),并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计,设地球以圆轨道绕太阳运动).试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0(发射速度是指在关闭火箭发动机,停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船,才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上)进入符合要求的椭圆轨道绕日运行?
已知地球半径Re=6.37×106m,地面处的重力加速度g=9.80m/s2,不考虑空气的阻力.
三、
如图所示,在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内,有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分.活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动.缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2(k1≠k2)的轻质弹簧.A的上方为真空;A的下方盛有一定质量的理想气体.已知系统处于平衡状态,A所在处的高度(其下表面与缸内底部的距离)与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1=H/4.现给电炉丝R通电流对气体加热,使A从高度h1开始上升,停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2=3H/4.求此过程中气体吸收的热量△Q.已知当体积不变时,每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2,R为普适气体恒量.在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律.
H
四、
为了减少线路的输电损耗,电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式.在传输线路上建造一系列接地的铁塔,把若干绝缘子连成串(称为绝缘子串,见图甲),其上端A挂在铁塔的横臂上,高压输电线悬挂在其下端B.绝缘子的结构如图乙所示:
在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质,介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳.已知当导体球与导体球壳间的电压为U时,介质中离球心O的距离为r处的场强为E=,场强方向沿径向.
图甲
图乙
1.已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm,陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/cm.当介质中任一点的场强E>Ek时,介质即被击穿,失去绝缘性能.为使绝缘子所能承受的电压(即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压)为最大,导体球的半径R1应取什么数值?
此时,对应的交流电压的有效值是多少?
2.一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串(如图甲),每个绝缘子的两导体间有电容C0.每个绝缘子的下部导体(即导体球)对于铁塔(即对地)有分布电容C1(导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板,它们之间有一定的电容,这种电容称为分布电容);每个绝缘子的上部导体(即导体球壳)对高压输电线有分布电容C2.若高压输电线对地电压的有效值为U0.试画出该系统等效电路图.
3.若C0=70pF=7×10-11F,C1=5pF,C2=1pF,试计算该系统所能承受的最大电压(指有效值).
x
五、
如图所示,G为一竖直放置的细长玻璃管,以其底端O为原点,建立一直角坐标系Oxy,y轴与玻璃管的轴线重合.在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A,一个电荷量为q(q>0)的粒子P位于管内,可沿y轴无摩擦地运动.设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响.
1.求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时,可以在y>0的区域内存在平衡位置.
2.上述平衡状态可以是稳定的,也可能是不稳定的;它依赖于粒子的质量m.以y(m)表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标.当粒子P处于稳定平衡状态时,y(m)的取值区间是_________________;当粒子P处于不稳定平衡状态时,y(m)的取值区间是_________________(请将填空答案写在答题纸上).
3.已知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置,其y坐标为y1.现给P沿y轴一微小扰动.试证明以后的运动为简谐运动,并求此简谐运动的周期.
4.已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2,现设想把P放在坐标y3处,然后从静止开始释放P.求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3(只要列出y3满足的关系式,不必求解).
s
六、
如图所示,一半径为R、折射率为ng的透明球体置于折射率n0=1的空气中,其球心位于图中光轴的O处,左、右球面与光轴的交点为O1与O2.球体右半球面为一球面反射镜,组成球形反射器.光轴上O1点左侧有一发光物点P,P点到球面顶点O1的距离为s.由P点发出的光线满足傍轴条件,不考虑在折射面上发生的反射.
1.问发光物点P经此反射器,最后的像点位于何处?
2.当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时,试问最后的像点将以怎样的速度运动?
并说明当球体的折射率ng取何值时像点亦做匀速运动.
七、
已知钠原子从激发态(记做P3/2)跃迁到基态(记做S1/2)所发出的光谱线波长λ0=588.9965nm.现有一团钠原子气,其中的钠原子做无规的热运动(钠原子的运动不必考虑相对论效应),被一束沿z轴负方向传播的波长为λ=589.0080nm的激光照射.以θ表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角(如图所示).问在30°<θ<45°角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收,从S1/2态激发到P3/2态?
并求共振吸收前后钠原子速度(矢量)变化的大小.已知钠原子质量为M=3.79×10-26kg,普朗克常量h=6.626069×10-34J•s,真空中的光速c=2.997925×108m•s-1.
θ
第34届全国中学生物理竞赛参考解答
一、
1.分析刚碰后各球速度的方向.由于D与B球发生弹性正碰,所以碰后D球的速度方向仍在y轴上;设其方向沿y轴正方向,大小为v.由于线不可伸长,所以在D,B两球相碰的过程中,A,C两球都将受到线给它们的冲量;又由于线是柔软的,线对A,C两球均无垂直于线方向的作用力,因此刚碰后,A球的速度沿AB方向,C球的速度沿CB方向.用θ表示B球的速度方向与x轴的夹角,则各球速度方向将如图所示.因为此时连接A,B,C三球的两根线立即断了,所以此后各球将做匀速直线运动.
2.研究碰撞后各球速度的大小.以v1,v2,v3分别表示刚碰后A,B,C三球速度的大小,如图所示.因为碰撞过程中动量守恒,所以沿x方向有
mv1-mv3cosα+mv2cosθ=0;
(1)
沿y方向有
-mv0=mv-mv2sinθ-mv3sinα.
(2)
根据能量守恒有
mv=mv+mv+mv+mv2.(3)
因为碰撞过程中线不可伸长,B,C两球沿BC方向的速度分量相等,A,B两球沿AB方向的速度分量相等,有
v2cosθ=v1,(4)
v2cos[π-(α+θ)]=v3.(5)
将α=π/3代入,由以上各式可解得
v1=v0,(6)
v2=v0,(7)
v3=v0,(8)
v=v0.(9)
3.确定刚碰完后,A,B,C三球组成的系统质心的位置和速度.由于碰撞时间极短,刚碰后A,B,C三球组成的系统,其质心位置就是碰撞前质心的位置,以(xc,yc)表示此时质心的坐标,根据质心的定义,有
xc=,(10)
yc=.(11)
代入数据,得
xc=-l,(12)
yc=l.(13)
根据质心速度的定义,可求得碰后质心速度vc的分量为
vcx=,(14)
vcy=.(15)
由(4)~(7)和(14),(15)各式及α值可得
vcx=0,(16)
vcy=-v0.(17)
4.讨论碰后A,B,C三球组成的系统的质心和D球的运动.刚碰后A,B,C三球组成的系统的质心将从坐标(xc=-l/6,yc=l/6)处出发,沿y轴负方向以大小为5v0/12的速度做匀速直线运动;而D球则从坐标原点O出发,沿y轴正方向以大小为v0/4的速度做匀速直线运动.A,B,C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动,只要D球与C球不发生碰撞,则vC,vD不变,质心与D球之间的距离逐渐减少.到y坐标相同处时,它们相距最近.用t表示所求的时间,则有
vt=yc+vcyt(18)
将vcy,v,yc的值代入,得
t=.(19)
此时,D球与A,B,C三球组成系统的质心两者相距l/6.在求出(19)式的过程中,假设了在t=l/4v0时间内C球未与D球发生碰撞.下面说明此假设是正确的;因为v3=v0/3,它在x方向分量的大小为v0/6.经过t时间,它沿x轴负方向经过的距离为l/8.而C球的起始位置的x坐标为l/2.经t时间后,C球尚未到达y轴,不会与D球相碰.
图1
B
ve
P
rse
A
二、
从地球表面发射宇宙飞船时,必须给飞船以足够大的动能,使它在克服地球引力作用后,仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道.此时,飞船离地球已足够远,但到太阳的距离可视为不变,仍为日地距离.飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道,用E表示两轨道的交点,如图1所示.图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道,太阳S位于圆心.设椭圆B是飞船绕日运行的轨道,P为椭圆轨道的近日点.
由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等,根据开普勒第三定律,椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等,即有
a=rse
(1)
根据椭圆的性质,轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a,由此可以断定,两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点,E与椭圆长轴和短轴的交点Q(即椭圆的中心)的连线垂直于椭圆的长轴.由△ESQ,可以求出半短轴
b=
.
(2)
由
(1),
(2)两式,并将a=rse=1AU,
=0.01AU代入,得
b=0.141AU.(3)
在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中,若以太阳为参考系,飞船的角动量和机械能是守恒的.设飞船在E点的速度为v,在近日点的速度为vp,飞船的质量为m,太阳的质量为Ms,则有
mvasinθ=mvp
,(4)
式中θ为速度v的方向与E,S两点连线间的夹角:
sinθ=.(5)
由机械能守恒,得
mv2-G=mv-
.(6)
因地球绕太阳运行的周期T是已知的(T=365d),若地球的质量为Me,则有
G=Me()2a.(7)
解(3)~(7)式,并代入有关数据,得
v=29.8km/s.(8)
(8)式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小,即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度.若在E点飞船相对地球的速度为u,因地球相对于太阳的公转速度为
ve==29.8km/s,(9)
方向如图1所示.由速度合成公式,可知
v=u+ve,(10)
图2
速度合成的矢量图如图2所示,注意到ve与
垂直,有
u=,(11)
代入数据,得
u=39.1km/s.(12)
u是飞船在E点相对于地球的速度,但不是所要求的发射速度u0.为了求得u0,可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动.因飞船相对于地球的发射速度为u0时,飞船离地心的距离等于地球半径Re.当飞船相对于地球的速度为u时,地球引力作用可以忽略.由能量守恒,有
mu-G=mu2.(13)
地面处的重力加速度为
g=G,(14)
解(13),(14)两式,得
u0=.(15)
由(15)式及有关数据,得
u0=40.7km/s.(16)
如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道,则(11)式要做相应的改变.此时,它应为
u=,(17)
相应计算,可得另一解
u=45.0km/s,u0=46.4km/s.(18)
如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处(即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上),则计算过程相同,结果不变.
三、
两个弹簧串联时,作为一个弹簧来看,其劲度系数
k=.
(1)
设活塞A下面有νmol气体.当A的高度为h1时,气体的压强为p1,温度为T1.由理想气体状态方程和平衡条件,可知
p1Sh1=vRT1,
(2)
p1S=kh1+mg.(3)
对气体加热后,当A的高度为h2时,设气体压强为p2,温度为T2.由理想气体状态方程和平衡条件,可知
p2Sh2=vRT2,(4)
p2S=kh2+mg.(5)
在A从高度h1上升到h2的过程中,气体内能的增量
△U=vR(T2-T1).(6)
气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加,即
W=k(h-h)+mg(h2-h1).(7)
根据热力学第一定律,有
△Q=△U+W.(8)
由以上各式及已知数据可求得
△Q=H2+mgH.(9)
四、
1.根据题意,当导体球与导体球壳间的电压为U时,在距球心r(R1<r<R2)处,电场强度的大小为
E=.
(1)
在r=R1,即导体球表面处,电场强度最大.以E(R1)表示此场强,有
E(R1)=.
(2)
因为根据题意,E(R1)的最大值不得超过Ek,R2为已知,故
(2)式可写为
Ek=(3)
或
U=Ek.(4)
由此可知,选择适当的R1值,使(R2-R1)R1最大,就可使绝缘子的耐压U为最大.不难看出,当
R1=(5)
时,U便是绝缘子能承受的电压的最大值Uk.由(4),(5)两式得
Uk=,(6)
代入有关数据,得
Uk=155kV.(7)
当交流电压的峰值等于Uk时,绝缘介质即被击穿.这时,对应的交流电压的有效值
Ue=110kV.(8)
2.系统的等效电路如图所示.
C0
3.设绝缘子串中间三点的电势分别为U1,U2,U3,如图所示.由等效电路可知,与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零,即有
(9)
U3
四个绝缘子上的电压之和应等于U0,即
(U0-U1)+(U1-U2)+(U2-U3)+U3=U0.(10)
设
△U1=U0-U1,△U2=U1-U2,△U3=U2-U3,△U4=U3,(11)
则可由(9)式整理得
代入数据,得
(12)
解(12)式,可得
△U1=0.298U0,△U2=0.252U0,△U3=0.228U0.(13)
由(10)~(12)式可得
△U4=U3=0.222U0.(14)
以上结果表明,各个绝缘子承受的电压不是均匀的;最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大,此绝缘子最容易被击穿.当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值
△U1=Ue(15)
时,此绝缘子被击穿,整个绝缘子串损坏.由(8),(13)和(15)三式可知,绝缘子串承受的最大电压
U0max==369kV.(16)
FEy
五、
1.如图所示,位于坐标y处的带电粒子P受到库仑力FE为斥力,其y分量为
FEy=ksinθ=k,
(1)
式中r为P到A的距离,θ为r与x轴的夹角.可以看出,FEy与y有关:
当y较小时,
(1)式分子中的y起主要作用,FEy随y的增大而增大;当y较大时,
(1)式分母中的y起主要作用,FEy随y的增大而减小.可见,FEy在随y由小变大的过程中会出现一个极大值.通过数值计算法,可求得FEy随y变化的情况.令
=y/d,得
FEy=k
.
(2)
当
取不同数值时,对应的
(1+
2)-3/2的值不同.经数值计算,整理出的数据如表1所示.
表1
0.100
0.500
0.600
0.650
0.700
0.707
0.710
0.750
0.800
(1+
2)-3/2
0.0985
0.356
0.378
0.382
0.385
0.385
0.385
0.384
0.381
由表中的数据可知,当
=0.707,即
y=y0=0.707d(3)
时,库仑力的y分量有极大值,此极大值为
FEymax=0.385k.(4)
由于带电粒子P在竖直方向除了受到竖直向上的FEy作用外,还受到竖直向下的重力mg作用.只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时,P才能平衡.当P所受的重力mg大于FEymax时,P不可能达到平衡.故质量为m的粒子存在平衡位置的条件是
mg≤FEymax.
由(4)式得
m≤k.(5)
2.y(m)>0.707d;0<y(m)≤0.707d.
3.根据题意,当粒子P静止在y=y1处时,处于稳定平衡位置,故有
-m1g=0.(6)
设想给粒子P沿y轴的一小扰动△y,则P在y方向所受的合力为
Fy=FEy-m1g=k-m1g.(7)
由于△y为一小量,可进行近似处理,忽略高阶小量,有
Fy=k-m1g
=k(1-)-m1g
=k+k-k-m1g.
注意到(6)式,得
Fy=-△y.(8)
因y=y1是粒子P的稳定平衡位置,故y1>0.707d,2y-d2>0.由(8)式可知,粒子P在y方向受到合力具有恢复力的性质,故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动;其圆频率为
ω=,(9)
周期为
T==2π.(10)
4.粒子P处在重力场中,具有重力势能;它又处在点电荷A的静电场中,具有静电势能.当P的坐标为y时,其重力势能
Wg=m2gy,
式中取坐标原点O处的重力势能为零;静电势能
WE=k.
粒子的总势能
W=Wg+WE=m2gy+k.(11)
势能也与P的y坐标有关:
当y较小时,静电势能起主要作用,当y较大时,重力势能起主要作用.在P的稳定平衡位置处,势能具有极小值;在P的不稳定平衡位置处,势能具有极大值.根据题意,y=y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置,故y=y2处,势能具有极大值,即
W(y2)=Wmax=m2gy2+k.(12)
当粒子P的坐标为y3时,粒子的势能为
W(y3)=m2gy3+k.
当y3<y2时,不论y3取何值,粒子从静止释放都能到达管底.若y3>y2,粒子从静止释放能够到达管底,则有
W(y3)>W(y2).
所以,y3满足的关系式为
y3<y2;(13)
或者
y3>y2且m2gy3+k>m2gy2+k.(14)
附:
(1)式可表示为
FEy=ksinθ=kcos2θsinθ,
式中θ为P,A之间的连线和x轴的夹角.由上式可知,带电粒子P在θ=0,π/2时,FEy=0.在0≤θ≤π/2区间,随着θ的增大,sinθ是递增函数,cos2θ是递减函数.在此区间内,FEy必存在一个极大值FEymax;用数值法求解,可求得极大值所对应得角度θ0.经数个计算整理出的数据如表2所示.
表2
θ/rad
0.010
0.464
0.540
0.576
0.611
0.615
0.617
0.644
0.675
cos2θsinθ
0.029
0.367
0.378
0.383
0.385
0.385
0.385
0.384
0.381
由表中数值可知,当θ=θ0≈0.615rad(即35.26°)时,FEy取极大值
FEymax=kcos2θ0sinθ0=0.385k.
带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用,其方向与FEy相反.故带电粒子P受到的合力
F=FEy-G=kcos2θsinθ-mg.
当F=0,即FEy=G时,P处于平衡状态.由此可见,当带电粒子的质量
m≤=
时,可以在y轴上找到平衡点.
六、
1.单球面折射成像公式可写成
+=,
(1)
式中s为物距,s′为像距,r为球面半径,n和n′分别为入射光和折射光所在介质的折射率.
在本题中,物点P经反射器的成像过程是:
先经过左球面折射成像(第一次成像);再经右球面反射成像(第二次成像);最后再经左球面折射成像(第三次成像).
(1)第一次成像.令s1和s′1分别表示物距和像距.因s1=s,n=n0=1,n′=ng,r=R,有
+=,
(2)
即
s′1=.(3)
(2)第二次成像.用s2表示物距,s′2表示像距,有
+=.(4)
因s2=2R-s′1,r=R,由(3),(4)两式得
s′2=.(5)
(3)第三次成像.用s3表示物距,s′3表示像距,有
+=.(6)
因s3=2R-s′2,n0=1,r=-R,由(5),(6)两式得
s′3=.(7)
2.以v′表示像的速度,则
(8)
由于△s很小,分母中含有△s的项可以略去,因而有
v′=.(9)
根据题意,P从左向右运动,速度大小为v,则有
v=-.(10)
由此可得,像的速度
v′=.(11)
可见,像的速度与s有关,一般不做匀速直线运动,而做变速直线运动.当
n=2(12)
时,(11)式分母括号中的头两项相消,v′将与s无关.这表明像也将做匀速直线
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