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常见地勾股数及公式
常见的勾股数及公式
武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理
我们知道,如果/C=90°,a、b、c是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a2+b2=c2;反之,若三角形的三
边a、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形,c为斜边.与此相类似,如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,则称a、b、c为勾股数,记为(a,b,c).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种:
一、三数为连续整数的勾股数
(3,4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢?
设三数为连续整数的勾股数组为(x—1,x,x+1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x2=(x+1)2,解得x=4或x=0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是
勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数
易知:
(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许
多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢?
a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1).
分别取n=1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…
三、前两数为连续整数的勾股数
你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是
前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为:
(x,x+1,2x22x1)(x为正整数)。
12222
设前两数为连续整数的勾股数组为(x,x+1,y),y=2x2x1则xx1y(*)
整理,得2x2
2x1=y2,化为2x12
2y2
1,即2x12y2x1,2y=—1,
又121
2=-1,A1,22n11
—2n1
2
=—1(nN),
故取2x1
-2y=12,2x1
、2y=
—2n1
12,
1l2n1—2n1A2l2n12n1
解之,得x=—〔12+1.2—2〕,y=〔12-1,2丨,
44
1—2n1—2n11—2n1_2n1
故前两数为连续整数的勾股数组是
-2—2n1
+1,〔12—14
四、后两数为连续奇数的勾股数
如(8,15,17),(12,35,37)
〔12+1.2—2〕,一〔12+1.2—
44
—2n1
2〕)•
…其公式为:
4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).
五、其它的勾股数组公式:
11
1.a=2m,b=m2—1,c=m2+1(m大于1的整数).2.a=(m2—n2),b=mn,c=(m2+n2)(其中m>n且
22
是互质的奇数).
3.a=2m,b=m2—n2,c=m2+n2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数)
下面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考:
34
5;
512
13;
68
10;
724
25
;8
1517
;9
121
5;940
41;102426
;1160
6
1;1
2
16
20;
12
35
37;
13
84
85;
14
48
50;
15
20
25;
15
36
39;
151121
13
;16
30
34;
16
63
65
171
44
145
;18
24
30;
18
80
82;
19
180
181
;20
2129;
20
4852;
20
99
101
;
21
28
35
21
72
75;
21
220
221
;22
120
122
;23
264
265
;24
32
40;
2445
51;
24
70
74
;24
143
145
25
60
65;
25
312
313
;26
168
170
;27
36
45;
271
20123
;27
364
365
;28
45
53;
28
96
100
28
195
197
;29
420
421
;30
40
50;
30
72
78;
30
224226
;31
480
481
;32
60
68;
32
126
130
32
255
257
;33
44
55;
33
56
65;
33
180
183
;33
544545
;34
288
290
;35
84
91;
35
120
125
35
612
613
;36
48
60;
36
77
85;
36
105
111
;36
160
164
;36
323
325
;37
684
685
;38
360
362
39
52
65;
39
80
89;
39
252
255
;39
760
761
;40
42
58;
40
75
85;
40
96
104
;
40
198
202
40
399
401
;41
840
841
;42
56
70;
42
144
150
;42
440
442
;43
924
925
44
117
125
;44
240
244
44
483
485
;45
60
75;
45
108
117
;45
200
205
;45
336
339
;46
528
530
;48
55
73;
48
64
80
48
90
102
;48
140
148
;48
189
195
;48
286
290
;48
575
577
;49
168
175
50
120
130
;50
624
626
51
68
85;
51
140
149
;51
432
435
;52
165
173
;52
336
340
;52
675
677
;54
72
90;
54
240
246
54
728
730
;55
132
143
;55
300
305
;56
90
106
;56
105
119
;56
192
200
56
390
394
;56
783
785
57
76
95;
571
761
85
;57
540
543
;58
840
842
;60
63
87;
60
80
100
;60
91
109
;60
144
156
60
175
185
;60
221
229
;60
297
303
;60
448
452
;60
899
901
;62
960
962
;
63
84
105
;63
216
225
63
280
287
;63
660
663
;64
120
136
;64
252
260
;64
510
514
;65
72
97
;
65
156
169
;65
420
425
66
88
110
;66
112
130
;66
360
366
;68
285
293
;68
576
580
;69
92
115
;
69
260
269
;69
792
795
70
168
182
;70
240
250
;72
96
120
;72
135
153
;72
154
170
;72
210
222
72
320328;72429435
72
646
650;
75
100
125;
75
180
195;
75
308
317;75
560
565;75
936
939;
76
357
365;
76
720
724
77
264
275;
77
420
427;
78
104
130;
78
160
178;78
504
510;80
84
116;
80
150
170;
80
192
208
80
315
325;
80
396
404;
80
798
8
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