版 第2章 23 数学归纳法.docx
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版第2章23数学归纳法
2.3 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理.(难点、易混点)
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 数学归纳法
阅读教材P92~P94“例1”以上内容,完成下列问题.
1.数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
【答案】
(1)×
(2)× (3)√
[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=
(n∈N*)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是( )
A.1B.1+2
C.1+2+3D.1+2+3+4
(2)用数学归纳法证明
(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).
【自主解答】
(1)当n=1时,左边应为1+2+3+4,故选D.
【答案】 D
(2)①当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2.等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1)
那么当n=k+1时,
[(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)]=2(k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)=2×2k×1×3×…×(2k-1)(2k+1)=2k+1×1×3×…×(2k-1)×[2(k+1)-1]
即当n=k+1时,等式也成立.
根据①和②,可知等式对任何n∈N*都成立.
数学归纳法证题的三个关键点
1.验证是基础
找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.
2.递推是关键
数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
3.利用假设是核心
在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
[再练一题]
1.
(1)下面四个判断中,正确的是( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1+k
C.式子1+
+
+…+
(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1+
+
D.设f(n)=
+
+…+
(n∈N*),则f(k+1)=f(k)+
+
+
(2)用数学归纳法证明:
1-
+
-
+…+
-
=
+
+…+
.
【解析】
(1)A中,n=1时,式子=1+k;
B中,n=1时,式子=1;
C中,n=1时,式子=1+
+
;
D中,f(k+1)=f(k)+
+
+
-
.
故正确的是C.
【答案】 C
(2)【证明】 ①当n=1时,左边=1-
=
,右边=
,等式成立;
②假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时等式成立,即:
1-
+
-
+…+
-
=
+
+…+
.
则当n=k+1时,
左边=1-
+
-
+…+
-
+
-
=
+
+…+
+
-
=
+
+…+
+
+
=
+
+…+
+
=右边,
所以当n=k+1时等式也成立.
由①②知对一切n∈N*等式都成立.
用数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明不等式
+
+…+
>
(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是__________.
(2)证明:
不等式1+
+
+…+
<2
(n∈N*).
【精彩点拨】
(1)写出当n=k时左边的式子,和当n=k+1时左边的式子,比较即可.
(2)在由n=k到n=k+1推导过程中利用放缩法,在利用放缩时,注意放缩的度.
【自主解答】
(1)当n=k+1时左边的代数式是
+
+…+
+
,增加了两项
与
,但是少了一项
,故不等式的左边增加的式子是
+
-
=
.
【答案】
(2)①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.
②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,不等式成立,
即1+
+
+…+
<2
.
则当n=k+1时,
1+
+
+…+
+
<2
+
=
<
=
=2
.
∴当n=k+1时,不等式成立.
由①②可知,原不等式对任意n∈N*都成立.
[再练一题]
2.试用数学归纳法证明例2
(1)中的不等式.
【证明】 ①当n=2时,
+
=
>
.
②假设当n=k(k≥2且k∈N*)时不等式成立,
即
+
+…+
>
,
那么当n=k+1时,
+
+…+
=
+
+…+
+
+
+
-
=
+
+
-
>
+
+
-
=
+
-
=
+
>
.
这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立.
[探究共研型]
用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题
探究 解决“归纳—猜想—证明”问题的基本思路是什么?
【提示】 解决此类问题的基本思路是:
可以先从观察入手,发现问题的特点,以形成解决问题的初步思路,然后用归纳的方法进行试探,提出猜想,最后用数学归纳法给出证明.
已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=
且a1=
.
【导学号:
62952086】
(1)求a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
【精彩点拨】
(1)令n=2,3可分别求a2,a3.
(2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想an,再用数学归纳法证明.
【自主解答】
(1)a2=
=
,a1=
,
则a2=
,类似地求得a3=
.
(2)由a1=
,a2=
,a3=
,…,猜得:
an=
.
证明:
①当n=1时,由
(1)可知等式成立;
②假设当n=k时猜想成立,即ak=
,那么,当n=k+1时,由题设an=
,
得ak=
,ak+1=
,
所以Sk=k(2k-1)ak
=k(2k-1)
=
,
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-
.
因此,k(2k+3)ak+1=
,
所以ak+1=
=
.
这就证明了当n=k+1时命题成立.
由①②可知命题对任何n∈N*都成立.
1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2.“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
[再练一题]
3.已知函数y=f(n)(n∈N*),设f
(1)=2,且任意的n1,n2∈N*,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).
(1)求f
(2),f(3),f(4)的值;
(2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明.
【解】
(1)因为f
(1)=2,
f(n1+n2)=f(n1)·f(n2),
所以f
(2)=f(1+1)=f
(1)·f
(1)=22=4,
f(3)=f(2+1)=f
(2)·f
(1)=22·2=23=8.
f(4)=f(3+1)=f(3)·f
(1)=23·2=24=16.
(2)猜想:
f(n)=2n(n∈N*).
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,f
(1)=21=2,所以猜想正确.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想正确,即f(k)=2k,
那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)·f
(1)=2k·2=2k+1,
所以,当n=k+1时,猜想正确.
由①②知,对任意的n∈N*,都有f(n)=2n.
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为( )
A.1B.2
C.3D.4
【解析】 边数最少的凸n边形为三角形,故n0=3.
【答案】 C
2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=
(n∈N*,a≠1),在验证n=1成立时,左边所得的项为( )
【导学号:
62952087】
A.1B.1+a+a2
C.1+aD.1+a+a2+a3
【解析】 当n=1时,n+1=2,故左边所得的项为1+a+a2.
【答案】 B
3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.
【解析】 当n=k+1时,应将表达式1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2中的k更换为k+1.
【答案】 1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
4.以下是用数学归纳法证明“n∈N*时,2n>n2”的过程,证明:
(1)当n=1时,21>12,不等式显然成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即2k>k2.
那么,当n=k+1时,2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2.
即当n=k+1时不等式也成立.
根据
(1)和
(2),可知对任何n∈N*不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).
【解析】 在2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1中用了k2≥2k+1,这是一个不确定的结论.如k=2时,k2<2k+1.
【答案】
(2)
5.用数学归纳法证明:
对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=
.
【证明】
(1)当n=1时,左边=12-1=0,右边=
=0,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=
.
那么当n=k+1时,有[(k+1)2-1]+2[(k+1)2-22]+…+k·[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+…+k)=
+(2k+1)
=
k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]
=
k(k+1)(k2+3k+2)
=
.
所以当n=k+1时等式成立.
由
(1)
(2)知,对任意n∈N*等式成立.
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