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算术-几何平均值不等式
信息来源:
维基百科
在数学中,算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式,表现了两类平均数:
算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为 个正实数,它们的算术平均数是,它们的几何平均数是 。
算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有:
等号成立当且仅当 。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式(或均值不等式),尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在 的情况,设:
,那么
.可见。
历史上的证明
历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知,但对于一般的 ,不等式并不容易证明。
1729年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不严谨,是错误的。
柯西的证明
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]:
命题:
对任意的 个正实数,
当 时,显然成立。
假设 成立,那么 成立。
证明:
对于 个正实数,
假设成立,那么成立。
证明:
对于 个正实数,设,,那么由于成立, 。
但是 , ,因此上式正好变成
也就是说
综上可以得到结论:
对任意的自然数 ,命题 都成立。
这是因为由前两条可以得到:
对任意的自然数 ,命题 都成立。
因此对任意的 ,可以先找 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托(GeorgeChrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的[2]:
由对称性不妨设 是 中最大的,由于 ,设 ,则 ,并且有 。
根据二项式定理,
于是完成了从 到 的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]:
在 的情况下有不等式 和 成立,于是:
所以 ,从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数 实际上等于 ,因此算术-几何平均不等式等价于:
。
由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令 ,于是有 ,再作代换 ,运用排序不等式得到:
,
于是得到 ,即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。
设 和 为正实数,并且 ,那么:
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。
对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:
对于系数都是正实数的矩阵
设 ,,那么有:
也就是说:
对 个纵列取算术平均数,它们的几何平均小于等于对 个横行取的 个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式:
对任意在区间上可积的正值函数 ,都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后,将两边的黎曼和中的 趋于无穷大后得到的形式。
参考来源
1.^ Augustin-LouisCauchy, Coursd'analysedel'ÉcoleRoyalePolytechnique,premierpartie,Analysealgébrique, Paris,1821.p457.
2.^ GeorgeChrystal, Algebra:
AnElementaryText-Book,PartII,ChapterXXIV.p46.
3.^ P.H.Diananda,ASimpleProofoftheArithmeticMeanGeometricMeanInequality,TheAmericanMathematicalMonthly,Vol.67,No.10(Dec.,1960),pp.1007
·匡继昌,《常用不等式》,山东科技出版社。
·李胜宏,《平均不等式与柯西不等式》,华东师大出版社。
·莫里斯·克莱因(MorrisKline),张理京张锦炎江泽涵译,《古今数学思想》,上海科学技术出版社。
·李兴怀,《学科奥林匹克丛书·高中数学》,广东教育出版社。
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