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离散数学第五章
第五章函数Function
函数在数学、应用数学等许多领域,尤其计算机科学领域有着极其重要的作用。
函数的思想、概念和应用无处不在,无时不在。
它主要是研究变量之间的关系和规律。
函数的划分有很多种。
有线性与非线性之分、连续与离散之分。
例如,
x
1
2
3
4
5
…
y
3
5
7
9
11
…
5.1函数
假定A,B是两个非空集合,f:
A→B,称f为A到B上的函数,对每个a∈A,有唯一的f(a)∈B,记做b=f(a)。
函数也叫映射mappings或变换transformations(错误)
a叫做函数f的自变量argument,b被称为因变量,b=f(a)叫做函数的值value,也叫a的像。
例1.A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},
,
则f是一个函数。
也可以简单记为,
f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}
另外,
g={(1,a),(1,b),(2,a),(4,c)}
因为对于1来说,1∈A,不是唯一的f
(1)∈B与之相对应,f
(1)=a,并且f
(1)=b,因此g就不是一个函数。
例2.
f:
Z→Z,
f(a)=
f是函数。
例3.恒等函数1A(a)=a是函数。
正如,我们在第四章里表述的,函数f:
A→B,b=f(a),是一个特殊的二元关系,我们知道,由函数f可以确定一个关系
,简单地,可以表示为(a,b)∈
,或a
b。
关系
的特征函数为
或者简记为
因此,这样一来,我们以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数来说,就可以完全适用。
例如,f:
A→B,g:
A→B,
函数的复合
设f:
A→B,g:
B→C,是函数,则g◦f:
A→C,是函数。
g◦f(a)=g(f(a))
例4.函数的复合
设f,g都是整数函数,
f(a)=a+1,g(b)=2b.
则g◦f(a)=2(a+1)是整数集到偶数集的函数。
f◦g(a)=2a+1也是整数集到奇数集的函数。
特殊函数SpecialTypeofFunctions
设f是从A到B的一个函数,如果Dom(f)=A,则称f是处处有定义
everywheredefined;
如果Ran(f)=B,则称f是满射;
如果对于集合A中两个不同的元素a和b,有f(a)≠f(b),则称f是单射,即
a≠bf(a)≠f(b),或f(a)=f(b)a=b;
例5.A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}
f是一个函数,但是f既不是单射,也不是满射。
如果f既是单射,又是满射,则称f是双射(一一影射)。
如果f是满射和处处有定义,那么f称为A与B之间的一个一一对应。
(错误)
例如,A={a1,a2,a3},B={b1,b2},f:
A→B,a1→b1,a2→b1,a3→b2,Dom(f)=A,Ran(f)=B,显然,f不是单射,更不是一一对应。
可逆函数InvertibleFunctions
f是从A到B的一个函数,如果
f-1是从B到A的函数,则称f是可逆函数。
例6.A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}
f是一个函数。
显然
f-1={(a,1),(a,2),(d,3),(c,4)}就不是从B到A的函数,从而表明f是不可逆的。
例7.f(a)=a+1,f:
Z→Z,f是双射,并且可逆。
例8.f(x)=x2,f:
R→R,f不是双射,因此不可逆。
因此,我们有下面的结论。
定理1.设f:
A→B是一个函数:
(a)f-1是从B到A的一个函数当且仅当f是单射;
(b)如果f-1是一个函数,那么,函数f-1是单射;
(c)f-1处处有定义当且仅当f是满射;
(d)f-1是满射当且仅当f处处有定义。
定理2.设f:
A→B是一个函数:
(a)1B◦f=f.
(b)f◦1A=f.
设f:
A→B是一一对应:
(c)f-1◦f=1A.
(b)f◦f-1=1B.
定理3.设f:
A→B,设g:
B→A都是函数.
(a)g◦f=1A,则f单,处处有定义,
g满。
(b)g◦f=1A,f◦g=1B.则f,g
都是一一对应,f-1=g,g-1=f.
(c)f,g可逆,则g◦f可逆,
(g◦f)-1=f-1◦g-1
例9.f:
R→R是一个函数,其中R表示全体实数集,
f(x)=2x3-1,则f是单值函数。
令g(y)=
(g◦f)(x)=g(f(x)=x,g◦f=1R.
(f◦g)(y)=f(g(y)=y,f◦g=1R
f,g都是可逆函数,f,g都是单值函数。
定理4.设A,B都是有限集,|A|=|B|,
f:
A→B是一个函数,处处有定义。
(a)f一一影射f满射。
(b)f满射f一一影射。
Homework
P177-178
24,25,26,29,31
5.2计算机科学中的函数
例如:
特征函数、模函数、阶乘函数、多项式函数、指数函数、对数函数、
字符串长度函数、幂集函数、矩阵转置函数、最大公因数、最小公倍数和
布尔函数Booleanfunction、
取值真假的函数。
∧,∨,
5.3函数的增长性GrowthofFunctions
其主要原因是考察计算的工作量。
设f和g都是Z+上函数。
如果存在常数c和k,使|f(n)|≤c|g(n)|,对所有n≥k成立,记作f=O(g).读做f是g的大O。
f=O(g),表明f增长不如g快。
f=1/2×n3+3n2+1,g=n3
f=O(n3)
f=O(g)
如果f=O(g),g=O(f),称f和g具有相同的阶。
如果f=O(g),但gO(f),称f的阶低于g的阶;表明f不如g增长快。
定义函数之间的一个关系:
fΘg当且仅当f和g具有相同的阶。
fΘgf=O(g),g=O(f),
fΘg意为f,g增长得一样快。
定理1.上面定义的函数间的关系Θ是等价关系。
Θ的同一个等价类中的函数增长得一样快,因此,我们可以用一个最简单的函数来作代表。
Θ
(1),Θ(lgn),Θ(n),Θ(nlgn),Θ(n2),Θ(n3),……,Θ(2n),……,
函数的Θ-类判定法则
1.Θ
(1)常函数,0增长。
2.Θ(lgn)低于Θ(n)
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