第3讲角的概念与表示教案.docx

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第3讲角的概念与表示教案

第3讲：

角的概念与表示（教案）

从这一节课开始，我们学习数学中很重要的一部分知识，即“角”的相关知识。

在讲解“角”的知识之前，我们先来回顾一下以前学过的一些知识。

首先来回想一下“什么是射线？

生活中哪些东西或现象可以看做是射线？

”

提到射线，我们首先就会联想到手电筒发射出去的光线、太阳、月亮、灯泡等光源发射的光线等等，这些光线形成的光路都可以看做射线。

数学中对射线的定义是这样的：

射线：

将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

（也就是说，射线只有一个端点，另一端是无限延长的，没有边际）

那么我们如何来表示射线呢？

其中常用的表示方法主要有两种：

射线的表示方法：

1）用两个大写字母表示：

一条射线可以用它的端点和射线上的另一任意点来表示。

如下图中的射线可以表示为“射线0A”。

（注意：

用这种表示方法表示射线时，一定要将顶点字母写在前面，所以下图中的射线不能表示为“射线AO”。

）

2）用一个小写字母表示：

如下图射线OA也可以表示为射线

，这个小写字母要标在射线附近。

（注意：

这个小写字母是可以任意选取的，你可以表示为“射线

”，当然也可以表示为“射线a”。

）

一：

角的定义1

射线的知识与我们要讲的“角”有着密切的关联，那么什么是角呢？

其实对于“角”，生活中我们并不陌生。

比如我们经常提到的墙角、桌角，甚至我们经常提到的“拐角”等都包含“角”的知识。

根据角的特点，数学中给出了角的定义：

角的定1：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

其中这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

如下图中，射线OA和射线OB共用一个端点O，这两条射线共同构成的图形就是一个角，其中射线OA和射线OB分别是这个角的两条边。

从角的定义中可以看出，一个角必须具备两个要素：

1）两条边：

两条射线构成角的两条边（而不是线段）；

2）一个顶点：

这两条射线必须共用一个端点，构成角的一个顶点。

（这两个条件缺一不可。

）

二：

角的定义2

对于角，我们还可以从另一个角度来理解。

如下图所示的这个角，我们可以看做是由射线OA绕其端点O按逆时针旋转到OB的位置而形成。

因此，角的定义还可以描述为：

角的定义2：

角是由一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所成的图形。

射线旋转时经过的平面部分叫做角的内部。

角的这种描述是从动态的角度进行定义的。

无论是第一种定义法，还是第二种定义法，都是正确的。

练习题1：

下列说法中，正确的是：

A.两条射线组成的图形叫做角。

B.角是一条线段绕着它的一个端点旋转而成的图形。

C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角。

D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

三：

角的表示方法

在数学中，我们用什么方法来表示一个角呢？

在数学中，角用符号“∠”表示。

角的表示方法有以下四种：

1）用三个大写的英文字母表示：

如下图所示，角的两边分别为射线OA和射线OB，角的顶点为O，所以这个角可以表示为“∠AOB”，读作“角AOB”。

（注意：

使用这种方法表示角时，表示顶点的字母必须写在中间，其余两个字母的顺序没有要求。

）

2）用表示顶点的大写字母表示：

如果在角的顶点处只有一个角，这时这个角可以用表示顶点的大写字母来表示。

如上图中的∠AOB，也可以直接表示为∠O，读作“角O”。

（注意：

这种表示方法只适用于顶点只有一个角的情况。

）

3）用一个数字来表示：

为方便起见，在表示角时可以在靠近这个角的顶点处划上弧线，并在弧线旁边标上一个数字，那么这个角就可以用这个数字来表示。

如下图中的∠AOB可以表示为∠1；∠BOC可以表示为∠2.

4）用一个小写希腊字母来表示：

与用数字表示角的方法类似，即在靠近角的顶点处划上弧线，并在弧线旁边标上一个小写的希腊字母，那么这个角就可以用这个希腊字母来表示。

如下图中的∠AOB可以表示为∠α；∠BOC可以表示为∠β.

注意：

在实际应用中，表示角的技巧：

（1）当在顶点处只有一个角时，一般只用表示顶点的大写字母来表示；

（2）当在顶点处有两个或两个以上的角时，最好用数字来表示；

（3）凡是能用一个大写字母表示的角，一般不用三个大写字母来表示；

例题1：

如下图所示，图中共有几个角？

下面三个同学的不同说法（只考虑小于平角的角），谁的说法正确？

例题2：

如下图所示，点D在线段AB上。

（1）以点C为顶点的角有哪几个？

把它们分别写出来；

（2）图中哪些角可以只用一个字母表示？

把它们写出来；

（3）数一数，图中共有多少个角？

例题3：

如下图所示，分别指出以射线OA，OB，OC为一边的角，并把它们表示出来。

例题4：

如图所示，分别用三个大写字母表示∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.

四：

平角和周角

下面我们来看数学中两个特殊的角，一个叫做“平角”，一个叫做“周角”。

那么什么是“平角”呢？

如下图所示，如果射线OA绕着端点O旋转，当它的终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，那么这时所形成的角就是一个平角。

平角的特点：

平角的两边在同一条直线上，且向两边发散。

那么什么又是“周角”呢？

如下图所示，如果射线OA绕着端点O旋转，当它的终止位置OB与起始位置OA重合时，这时所构成的角就是一个周角。

周角的特点：

周角的两条边重合。

理解“平角”和“周角”注意的问题：

1）不能说平角就是直线或直线就是平角，因为角有顶点和两条边；

2）不能说周角就是射线或射线就是周角，因为周角有顶点和两条边；

3）周角和平角都是由有公共端点的两条射线构成的。

例题1：

如下图所示，角的表示方法正确的有：

A.1个B.2个C.3个D.4个

例题2：

已知∠BAC，在∠BAC的内部以A为端点作射线，探究角的个数（只考虑小于平角的角）。

（1）在角的内部作1条射线，一共有几个角？

（2）在角的内部作2条射线，一共有几个角？

（3）在角的内部作3条射线，一共有几个角？

（4）在角的内部作n条射线，一共有几个角？

解：

（1）由于角是由两条共端点的射线构成的，因此在角的内部作1条射线后，这条射线就会与原来的那两条射线分别组成一个角，因此角的数目就是在原来的基础上增加2个，即最后角的个数为：

1+2=3，如下图

（1）所示；

（1）

（2）（3）

（2）同理，若在角的内部作2条射线，就是在

（1）中的角中增加1条射线，相应地就会增加3个角，所以最后角的个数为：

1+2+3=6，如上图

（2）所示；

（3）若在角的内部作3条射线，最后角的个数为：

1+2+3+4=10，如上图（3）所示；

（4）若在角的内部作n条射线，最后角的个数应为：

1+2+3+…+（n+1）=

；

例题3：

两条射线共端点，可以构成______个角；三条射线共端点，可以构成_______个角；四条射线共端点，可以构成________个角；n条射线共端点，可以构成________个角。

解析：

因为角是由两条共端点的射线构成的，所以若n个射线共端点，则其中的每条射线都可以与剩下的（n-1）条射线构成一个角，这就是n（n-1）条射线，由于每个角都重复计算了一次，所以角的个数应该为

个。

5、方向角

学习了角的知识后，有时我们在描述两个物体的位置关系时，就会用到方向角。

那么什么是方向角呢？

我们看下面的例题：

例题：

如下图所示，以点O为中心分别向正南、正北、正东、正西画射线OS、ON、OE、OW建立方位图，观察这个方位图，回答点A在点O的什么方向？

点B在点O的什么方向？

解析：

从图中可以看出，点A应该是在点O的正北、正东方向之间，那么确切的位置应该如何描述呢？

从图上可以发现，点A位于射线OA上，并且∠AON的度数为30°，所以我们可以认为射线OA是由射线ON向正东方向旋转30°得到的，所以此时点A相对于O点的位置，可以描述为“北偏东30°”；

同样的道理，OB可以看成是由ON向正西方向旋转60°得到的，所以此时点B相对于O的位置，可以描述为“北偏西60°”。

这就是方位角，即用东西南北结合角的度数来描述方位的方法。

注意：

运用方位角描述方位时，一定要遵循这样的顺序：

即：

（1）先找到正北、正南方向；

（2）观察由正北、正南方向旋转到目标方向是向东偏，还是向西偏；

（3）观察偏转了多少度（度数锐角）；

当我们在运用方位角描述相对位置时，一定是以相对物为中心建立方位图。

例如：

当我们要描述点A相对于点B的位置时，此时点B为相对无，所以要以点B为中心建立方位图。

例题1：

已知上海市车墩镇在新桥镇的南偏西30°方向上，若用点A表示车墩镇，点B表示新桥镇，请你画出相应的方位图。

例题2：

观察下图，说明A、B、C三点位于O点的什么方向？

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随堂训练

1、角是有一条________绕着它的________旋转到另一位置所成的图形。

初始位置的那条射线叫做角的________，终止的位置的那条射线叫做角的________。

角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的________；

2、如图所示，角可以用________个大写英文字母表示，表示顶点的字母写在________，记作________。

当以O为顶点的角只有一个时，这个叫可以用表示_______的字母表示，记作________。

为了方便，也可以在角的内部表上一个小写的________字母或一个数字，记作________；

2题图3题图4题图

3、如图所示，点A在点O______偏______55°的方向上，点C在点O______________的方向上。

若B点在O点的北偏西30°方向上，且B点还在A点的正西方向。

试在图中画出B点的位置；

4、如图所示，小于平角的角共有_______个；

5、∠ABC的顶点是________，∠PCQ的两条边分别是________、________；

6、在下列每个图中，分别用三种形式表示角：

7、在下图中用阴影表示∠AOB的内部：

8、如图所示，共有几个小于180°的角？

能用一个大写字母表示的就用一个大写字母表示，不能用一个大写字母表示的用其他形式表示出来。

10、已知D、E、F分别为BC、AC、AB上的三点，连接DE、EF、DF，则图中小于平角的角又几个？

并用字母表示出来。

11、一艘海轮，先从A点出发向西北方向航行2海里到达B，再由B向正北方向航行3海里到达C，最后由C向东南方向航行2海里到达D，这时，D点在A点的_____方向。

A.正北B.北偏东C.北偏西D.正东