矩阵初等变换及应用_精品文档.doc
- 文档编号:966908
- 上传时间:2022-10-14
- 格式:DOC
- 页数:25
- 大小:1.09MB
矩阵初等变换及应用_精品文档.doc
《矩阵初等变换及应用_精品文档.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矩阵初等变换及应用_精品文档.doc(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
矩阵初等变换及应用
王法辉
摘要:
矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。
本文对初等变换进行了研究探讨,详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。
在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上,首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用,如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。
尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。
本文理论分析与实际相结合,凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。
关键词:
矩阵初等变换;最大公因式;线性相关性;二次型;空间的基
1导言
在线性方程组的讨论中我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
在数学的学习和应用中,矩阵理论是高等代数的重要组成部分,矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。
应用初等变换证明命题过程容易被接受,同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。
此外,还有大量的各种各样的,表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现:
矩阵的初等变换。
因此,对矩阵初等变换方法及应用进行探讨,无疑是十分必要和重要的。
目前,有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论,但比较零散。
在研读文献的基础上,对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘,使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。
2矩阵及其初等变换
2.1矩阵
由个数(=1,2,,=1,2,)排成行列的数表
称为行列的矩阵,简称矩阵。
2.2矩阵的初等变换及初等矩阵
矩阵有行列之分,因此有如下定义
定义1矩阵的初等行(列)变换是指如下三种变换
(1)交换矩阵某两行(列)的位置,记为;
(2)把某一行(列)的倍加到另一行(列)上,记为;
(3)用一个非零常数乘以某一行(列),记为,k0;
矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。
定义2由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
有以下3种形式
(1)互换矩阵的行和行的位置,得
;
(2)用数域种非零数乘的行,得
;
(3)把矩阵的行的倍加到行,有
。
定义3如果可以由经过一系列初等变换得到,矩阵与称为等价的。
2.3矩阵初等变换的若干性质
矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质
(1)对矩阵施行初等行(列)变换,其列(行)向量组之间的线性关系保持不变。
(2)对矩阵施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵,施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。
(3)可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。
(4)初等变换不改变矩阵的秩。
3矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用
矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分,不仅给解线性方程组带来了极大方便,同时也发展和完善了矩阵理论本身,极大丰富了矩阵理论的应用领域。
矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终,在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。
3.1求多项式的最大公因式
3.1.1基本概念
以表示数域上的一元多项式环。
定义1(最大公因式)设是中两个多项式,中多项式称为的一个最大公因式,如果它满足
(1)是的公因式;
(2)的公因式全是的因式。
定义2以中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。
定义3以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换
(1)交换多项式矩阵的某两行;
(2)用零次多项式(中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行;
(3)用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。
且分别称以上三种变换为第1类,第2类,第3类多项式矩阵的初等行变换。
所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换,所说的矩阵总是指多项式矩阵。
3.1.2主要结果
在高等代数中,求数域P上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法,当多项式的次数较高时,辗转相除法计算较繁琐。
由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算,因此通常利用分离系数法,使运算相对简化。
同样地,为了简化求多项式最大公因式的运算,考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。
考虑中的多项式
其中,
引入如下记号
当时,(,);
当时,(,)。
由于多项式的最大公因式具有以下基本性质
(1)(,)=(,);
(2)若(,)=1,则(,)=(,);
(3)(,)=(,),;
因此,如上引入的二行矩阵反映了以下事实
(1)交换二行矩阵两行的位置,得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式;
(2)二行矩阵某一行的倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。
上述事实意味着数域上多项式的最大公因式(,)可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。
具体实施步骤为
(1)根据多项式的系数作出(,)对应的二行矩阵;
(2)利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0;
(3)向左(或向右)平移二行矩阵中某行,使得这一行端首的0去掉。
这表明(,)的次数在降低。
反复利用
(1)、
(2)、(3)直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。
3.1.3计算举例
例1已知数域上的一元多项式
,
求。
解构造二行矩阵并实施初等行变换
第二行元素共轮换过3次,所以最大公因式为。
例2求多项式,,的最大公因式。
解构造三行矩阵并进行初等行变换
所以。
3.2求逆矩阵解矩阵方程
3.2.1可逆矩阵定义
若对级矩阵有级矩阵使
则称是可逆的,称为的可逆矩阵。
其中为级单位矩阵。
3.2.2初等变换求逆的原理和步骤
由于可逆矩阵可表示为一系列初等矩阵的乘积,故由有
因此有如下求逆步骤
(1)构造的矩阵;
(2)对上述矩阵实行初等行变换,当用初等行变换把化为单位阵,则的位置变成的逆矩阵,即
需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。
如果用列变换,则需把置于的下方变成矩阵且只能使用列变换把化为单位矩阵,同时化为的逆矩阵,即
利用与求逆矩阵相同的原理,矩阵初等变换可用于解矩阵方程。
3.2.2计算举例
例1求A=的逆矩阵。
解构造矩阵,由
得=
例2设=,=,求使得
解构造矩阵并实施初等行变换
==
得==
3.3求解线性方程组
3.3.1有关概念与结论
考虑元线性方程组
并记
,,
则得方程组的矩阵形式。
称一下三种变换:
(1)用一非零的数乘以某方程;
(2)把一个方程的倍数加到另一个方程;
(3)互换两个方程的位置;
为线性方程组的初等变换。
利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程的矩阵描述即为对系数矩阵或者增广矩阵进行初等行变换的过程。
有关结论
(1)有解,且当时,有唯一解;当时,有无穷多解。
(2)恒有解,当时,有唯一零解;当时,有非零解。
3.3.2计算实例
例1求解齐次线性方程组
解对方程组的系数矩阵矩阵施行初等行变换
同解的方程组其中,为自由未知量,设(为任意实数)则通解为
。
例2求解非齐次线性方程组
解对增广矩阵施行初等行变换
=
,所以方程组有无穷多解。
同解方程组,为自由未知量,方程组的通解
=+,为任意实数。
3.4判定向量组的线性关系求向量组的极大无关组
3.4.1基本概念
定义1(线性相关和线性无关)设有向量组,如果有不全为0的一组数,使
称向量组线性相关,否则称为线性无关。
定义2(线性组合和线性表出)设有向量组及向量,若有数,使
称向量为向量组的线性组合,也称可由线性表出。
定义3(向量组等价)设有向量组及,如果中的每一个向量都可以有向量组线性表出,那么称向量组可由向量组线性表出;如果与可以互相线性表出,称他们为等价。
定义4(极大无关组)如果一个向量组的部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得的向量组都线性相关,则向量组的这个部分组称为一个极大线性无关组。
3.4.2有关结论
(1)向量组线性相关线性方程组有非零解;
向量组线性无关线性方程组只有零
解。
(2)可由线性表出有解。
因此,可以利用初等变换解决向量组的线性相关性判定、求极大无关组的问题。
3.4.3计算举例
例求向量组,,,的极大无关组及秩,并把其余向量用极大无关组线性表示。
解令,对施行矩阵初等行变换,得=
故,是,,,的一个极大无关组,且=+,=+。
3.5化二次型为标准型
3.5.1基本概念
定义1(二次型及其标准型)设是一数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式=
称为数域上的一个元二次型,简称二次型。
仅含平方项的二次型
称为标准型。
定义2(二次型的矩阵表示)记=,,
则
=
称为二次型的矩阵()。
定义3(合同矩阵)对数域上有矩阵、,若有数域上可逆矩阵,使
,
称矩阵与合同。
3.5.2有关结论
(1)数域上任意一个元二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准型。
(2)任意一个对称矩阵合同于对角矩阵。
3.5.3初等变换化二次型为标准型的原理
用初等变换法把二次型化为标准型,是对矩阵施行初等列变换的同时对施以相应的行变换,当矩阵化为对角阵时,单位矩阵就化为所要求的非退化变换矩阵。
即
3.5.4计算举例
例用初等变换法化二次型为规范标准型,并写出相应的非退化线性变换。
解二次型的矩阵=,由
=
得的标准型为,所用的非退化线性变换为,其中=。
3.6求空间的基
3.6.1基本概念
定义1(线性空间)设是一个非空集合,是一个数域。
对于中任意两个元素和,在中都有唯一的一个元素和它们对应,称为和的和,记为=+,这种代数运算,叫做加法;对于任意数域中任一数与中任一元素,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的数量乘积,记为=,这种代数运算,叫做数量乘法。
如果加法与数量乘法满足以下规则
(1)+=+
(2)(+)+=+(+)
(3)在中有一个元素0,对于中任一元素都有+0=(这个元素称为的零元素)
(4)对于中每一个元素,都有中的元素,使得+=0(称为的负元素)
(5)1=
(6)()=()
(7)(+)=+
(8)(+)=+
称为数域上的线性空间。
定义2(基与维数)如果在线性空间中有个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么就称是维的。
在维线性空间中,个线性无关的向量称为的一组基。
易知,如果在线性空间中有个向量线性无关,且中任一向量都可以由它们线性表出,那么是维的,就是的一组基;在线性空间中,如果向量组线性无关,而,线性相关,则向量可以由线性表出,且表示法唯一。
定义3(生成子空间)设是线性空间中的一组向量,则这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的,而且对两种运算封闭,因而是的一个子空间,叫做的生成子空间,记为。
定义4(子空间的交与和)设,是线性空间的两个子空间,所谓与的交,是指所有同时存在与和的元素,记为;所谓与的和,是指由所有能表示成,(,)的向量组合的子集合,记为+。
如果,是线性空间的两个子空间,那么他们的交与和+也是的子空间,分别称为交子空间与和子空间。
定义5(正交补空间)设,是欧氏空间的两个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵 初等 变换 应用 精品 文档
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)