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工作文档高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解
习题十
21.根据二重积分性质,比较ln()dxy,,[ln()]dxy,,与的大小,其中:
,,,DD
(1)D表示以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形;
(2)D表示矩形区域.{(,)|35,02}xyxy,,,,
解:
(1)区域D如图10-1所示,由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间,显然有
图10-1
12,,,xy
从而0ln()1,,,xy
2故有ln()[ln()]xyxy,,,
2ln()d[ln()]dxyxy,,,,,所以,,,,DD
(2)区域D如图10-2所示.显然,当时,有.(,)xyD,xy,,3
图10-2从而ln(x+y)>1
2故有ln()[ln()]xyxy,,,
2ln()d[ln()]dxyxy,,,,,所以,,,,DD
2.根据二重积分性质,估计下列积分的值:
IxyDxyxy,,,,,,,4d,{(,)|02,02},
(1);,,D
22IxyDxyxy,,,,,,sinsind,{(,)|0,π,0π}
(2);,,D
2222(3)IxyDxyxy,,,,,,(49)d,{(,)|4},.,,D
02,,x解:
(1)因为当时,有,(,)xyD,02,,y
因而.04,,xy
从而2422,,,xy
2d4d22d,,,,,,xy故,,,,,,DDD
2d4d22d,,,,,,xy即,,,,,,DDD
d,,,而(σ为区域D的面积),由σ=4,,D
84d82,,,xy,得.,,D
22
(2)因为,从而0sin1,0sin1,,,,xy
220sinsin1,,xy
220dsinsind1d,,,,,xy故,,,,,,DDD
220sinsindd,,,xy,,,即,,,,DD
2,,π而
2220sinsind,,xy,π所以,,D
22(3)因为当时,所以(,)xyD,04,,,xy
22229494()925,,,,,,,xyxy
229d(49)d25d,,,,,,,xy故,,,,,,DDD
229(49)d25,,,,,,,xy即,,D
2,,,,π24π而
2236π,,,,(49)d100xy,π所以,,D
3.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值:
22222()d,{(,)|};axyDxyxya,,,,,,
(1),,D
222222
(2)axyDxyxya,,,,,d,{(,)|}.,,,D
22解:
(1)在几何上表示以D为底,以z轴为轴,以(0,0,a)为顶()d,axy,,,,,D
1223点的圆锥的体积,所以axya,,,,()dπ,,D3
222
(2)在几何上表示以原点(0,0,0)为圆心,以a为半径的上半球axy,,d,,,D
22223的体积,故axya,,,,dπ.,,D3
12224.设f(x,y)为连续函数,求.fxyDxyxxyyr,,,,,,lim(,)d,{(,)|()()}002,,Dr,0rπ
解:
因为f(x,y)为连续函数,由二重积分的中值定理得,使得,,(,),,,D
2fxyfrf(,)d(,),,,,,,,,,,π(,),,D
r,0又由于D是以(x,y)为圆心,r为半径的圆盘,所以当时,(,)(,),,,,xy0000
112lim(,)dlimfxyrff,,,,,,,,π(,)lim(,)22,,Drrr,,,000rrππ于是:
,ffxylim(,)(,),,00,,,xy(,)(,)00
fxy(,)d,5.画出积分区域,把化为累次积分:
,D
(1);Dxyxyyxy,,,,,,{(,)|1,1,0}
2
(2)Dxyyxxy,,,,{(,)|2,}
2(3)Dxyyyxx,,,,{(,)|,2,2}x
解:
(1)区域D如图10-3所示,D亦可表示为.yxyy,,,,,,11,01
11,y所以fxyyfxyx(,)dd(,)d,,,,,,Dy01,
2
(2)区域D如图10-4所示,直线y=x-2与抛物线x=y的交点为(1,-1),(4,2),区域D
2可表示为.yxyy,,,,,,2,12
图10-3图10-4
22y,所以fxyyfxyx(,)dd(,)d,,2,,,,Dy,1
2(3)区域D如图10-5所示,直线y=2x与曲线的交点(1,2),与x=2的交点为(2,y,x
224),曲线y,与x=2的交点为(2,1),区域D可表示为,,,,yxx2,12.xx
图10-5
22xfxyxfxyy(,)dd(,)d,,所以.2,,,,D1x
6.画出积分区域,改变累次积分的积分次序:
elnx22yd(,)dxfxyy
(1);
(2);d(,)dyfxyx2,,,,100y
πsinx132,y(3);(4)d(,)dxfxyy;d(,)dyfxyxx,,,,,0sin0y2
1233yy,d(,)dd(,)dyfxyyyfxyx,(5).,,,,0010
2解:
(1)相应二重保健的积分区域为D:
如图10-6所示.02,2.,,,,yyxy
图10-6
xD亦可表示为:
04,.,,,,xyx2
224yx所以d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy,x2,,,,00y2
(2)相应二重积分的积分区域D:
如图10-7所示.1e,0ln.,,,,xyx
图10-7
yD亦可表示为:
01,ee,,,,,yx
eln1exd(,)dd(,)dxfxyyyfxyx,所以y,,,,100e
(3)相应二重积分的积分区域D为:
如图10-8所示.01,32,,,,,,yyxy
图10-8D亦可看成D与D的和,其中12
2D:
01,0,,,,,xyx1
113,0(3).,,,,,xyxD:
22
12,,yxx13213(3)2d(,)dd(,)dd(,)dyfxyxxfxyyxfxyy,,所以.,,,,,,y00010
x(4)相应二重积分的积分区域D为:
如图10-9所示.0,,,,,xyxπ,sinsin.2
图10-9D亦可看成由D与D两部分之和,其中12
D:
,,,,,10,2arcsinyyxπ;1
D:
01,arcsin,,,,,yyxyπarcsin.2
πsin0xyπ1π,arcsin所以d(,)dd(,)dd(,)dxfxyyyfxyxyfxyx,,x,,,,,,0sin12arcsin0arcsin,,,yy2
(5)相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成,其中12
D:
D:
01,02,,,,,yxy13,03.,,,,,yxy12
如图10-10所示.
图10-10
x02,3;,,,,,xyxD亦可表示为:
2
123323yyx,,所以d,dd(,)dd(,)dyfxyxyfxyxxfxyy,,,,x,,,,,,001002
7.求下列立体体积:
2222
(1)旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围;
222
(2)旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围.解:
(1)由二重积分的几何意义知,所围立体的体积
2222()ddxyxy,V=其中D:
{(,)|}xyxyax,,,,D
22由被积函数及积分区域的对称性知,V=2,()ddxyxy,,,D1
其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得1
acos,πππacos,11334444222Vrrraa,,,,,,,,.2dd2dcosdπ,,,,000042320
(2)由二重积分的几何意义知,所围立体的体积
22Vxyxy,,()dd,,,D
2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域,如图10-11所示.
图10-11
2D可表示为:
,,,,11,1.xxy
112222所以Vxyxyxxyy,,,,()ddd()d2,,,,Dx,1
11111188,,23246,,,,,,,xyyxxxxxd()d.,,,,,,112333105,,x
8.计算下列二重积分:
2x1
(1)dd,:
12,;xyDxyx,,,,,,2Dyx
xy2edd,xy
(2)D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围;,,D
22xyxy,dd,(3)D是以O(0,0),A(1,-1),B(1,1)为顶点的三角形;,,D
cos()dd,{(,)|0xyxyDxyxxy,,,,,,π,π}(4).,,D
x222222xxxx3dddddd解:
(1)xyxyxxxx,,,,,,,1,,,,,,22111Dyyy1xx
2119,,42,,,xx.,,424,,1
(2)积分区域D如图10-12所示.
12图10-
2D可表示为:
01,0.,,,,yxy
xxx2211yyxyyy所示edddedded()xyyxyy,,,,,,,,0000Dy
2yx1111yyy,,,,,yyyyyyyyed(e1)dedd,,,,00000
1111111yyy2,,,,,,yyyyyydedeed.,,,0000220
(3)积分区域D如图10-13所示.
图10-13
D可表示为:
01,.,,,,,xxyx
x211x,,xyy222222ddddarcsindxyxyxxyyxyx,,,,,,所以,,,,,,,,00Dx22x,,,x
11ππ1π23,,,,xxxd.,022360
ππππ(4)cos()dddcos()d[sin()]dxyxyxxyyxyx,,,,,x,,,,,Dx00
ππ,,,,,,[sin(πxxxxxx)sin2]d(sinsin2)d,,00
π11,,,,.coscos2xx,,,2,,20
9.计算下列二次积分:
1ysinx
(1)dd;yx,,0yxyy1yy1xx2
(2)dedded.yxyx,111,,,,y224
sinx解:
(1)因为求不出来,故应改变积分次序。
dx,x
积分区域D:
0?
y?
1,y?
x?
,如图10-14所示。
y
图10-14
2D也可表示为:
0?
x?
1,x?
y?
x.所以
111yxsinsinsinxxx2dddd()dyxxyxxx,,,2,,,,,000yxxxx
111,,,,(sinsin)dsindsindxxxxxxxxx,,,000
111,,,,,,,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,,00
y
x
(2)因为求不出来,故应改变积分次序。
积分区域D分为两部分,其中edx,
1111DyxyDyyxy:
,:
1,.,,,,,,,,124222
如图10-15所示:
图10-15积分区域D亦可表示为:
12,,,,xxyx1,.2
于是:
xyyy1y11yyx1xxx2xdeddeddeddyxyxxyx,,,xe11111,,,,,,2,yx222224x113eee1x2xx,,,,,,(ee)dxxx,,x1xee,1,1822222
10.在极坐标系下计算二重积分:
222222
(1)sindd,;xyxyD,,,,(,)|xyxyπ,,,4π,,D
22,,()xy22
(2)D为圆=1所围成的区域;edd,xyxy,,,D
x2222(3)D是由=4,=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内arctandd,xyxy,xy,,,Dy
的闭区域;
22()dd,xyxy,(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。
xy,,,D
解:
(1)积分区域D如图10-16所示:
图10-16D亦可采用极坐标表示为:
π?
r?
2π,0?
θ?
2π所以
2π2π22sindddsindxyxyrrr,,,,,,,D0π
2π2,,,,,,2π6π.rrrcossin,π
(2)积分区域D可用极坐标表示为:
0?
r?
1,0?
θ?
2π.所以:
2π1122221,,,,,,()2xyrrxyrrr,,eddded2ed(),,,,,,,,,,,,D000,,211,,2,r,,,,π.1,,,,e0e,,
(3)积分区域D如图10-17所示.
图10-17D可用极坐标表示为:
π0?
θ?
1?
r?
2.4
所以:
π2x4arctanddarctan(cot)ddxyrr,,,,,,,D01yπ239ππ,,4,,d.,,,,,,0264,,2(4)积分区域D如图10-18所示,
图10-18D可用极坐标表示为:
π3π,,,,,,,,,,0cossinr44
所以:
3πcossin,,,24()ddd(cossin)dxyxyrr,,,,,,π,,,,0D,4
cossin,3π,,3r4,d(cossin),,π,,,,3043π144,,(cossin)dπ,,,,,34
3π4ππ,,44,,sind.,,,π,,,,32,,44
11.将下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
222aaxxax,2222
(1)d()d;
(2)dd;xxyyxxyy,,,,,,0000
122,xaay,122222(3)d()d;(4)dd.xxyyyx,,,xy,2,,,,x000
解:
(1)积分区域D如图10-19所示.
图10-19D亦可用极坐标表示为:
π,,,,,,0,02cosra2
所以:
2cosa,ππ24,2a22cosaxxa,r22322d()ddddxxyyrr,,,,,,,,,,0000040π31π344442,,,,,,4cosd4aaaπ.,,,04224
(2)积分区域D如图10-20所示.
图10-20D可用极坐标表示为:
π,,,,,,0,0secra4
于是:
asec,πππ33asecxa,ar2223444dddddsecd,,,,,,,,xxyyrr,,,,,,00000033033πaa4,,,,,,sectanln(sectan).,,2ln(21),,,,,,,,066
(3)积分区域D如图10-21所示.
图10-21
D也可用极坐标表示为:
π.,,,,,,,0,0sectanr4
于是:
1ππ,x,,1sectan2,22144d()dddsectandxxyyrrr,,,,,,,,2,,,,,x0000π4,,,sec21,0
(4)积分区域D如图10-22所示.
图10-22D可用极坐标表示为:
π,,,,,0,0ra2
于是:
aπ224aaya,ππr22342d()ddd.yxyxrra,,,,,,,,,,00002840*12.作适当坐标变换,计算下列二重积分:
22xyxydd
(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域;,,D
222dd,{1};xyD,,,
(2)(,)xyy,,xy,x,,D
12,x22d()d,xxyy,(3)令x=v,x+y=u;,,01,x
2222xy,,xy(4)dd,:
1;xyD,,,,,,,2222Dabab,,
2222dd,;xyD,xy,,9(5)(,)xyxy,,4,,,,D
2222dd,.xyD,xy,,4(6)(,)xyxyy,,2,,,,D
解:
(1)积分区域D如图10-23所示:
图10-23
y令xy=u,,则,vx
uxyuvuv,,,,,,,,(24,13)v
111vvu,,,xx,,2,(,)1xy22uvuv,,uvJ,,,,.,,yy,(,)2uvvvu
,uv22uvuv于是:
4333411281u2222xyxyuuvvuuddddddln3.,,,,,,lnv,,,,,,D12223vv231224,,u13,,v
24所示。
(2)积分区域D如图10-
图10-24令x+y=u,x-y=v,则
uvuv,,xy,,,22
且-1?
u?
1,-1?
v?
1.
11
(,)1xy22J,,,,11,(,)2uv,22于是:
4224211uuvv,,21224224()ddddd
(2)dxyxyuvuuuvvv,,,,,,,,,,,D,,1188,,,11u,,,11v
111112121,,,,423542,,dduuuvuvvuu,,,,,,,,,,,,11843535,,,,,1
1114121,,53,,.uuu,,,,445595,,,1
(3)积分区域D:
0?
x?
1,1-x?
y?
2-xxy
令x=v,x+y=u,则y=u-v
积分区域D变为D:
xyuv
0?
v?
1,1?
u?
2.
01,(,)xy且J,,,,111,,(,)uv
于是
212121,x1,,2222223d()dd(22)ddxxyyvvuvuuv,,,,,vuvuu2,,,,,,,,,01010,x3,,11137237,,,,232v,,,d.vvvvv23,,,,,,,,,023323,,,,0(4)令x=arcosθ,y=brsinθ则积分区域D变为D:
0?
θ?
2π,0?
r?
1,rθ
aarcossin,,,,(,)xyJabr,,,bbrsincos,(,)r,,,
于是:
1222π111,,xy,,234,,,xyrabrrabrrab,,,,,dddddd2πabr,,,,,,,,,,,22DD00r,2,,4ab,,0(5)令x=rcosθ,y=rsinθ.即作极坐标变换,则D变为:
0?
r?
3,0?
θ?
2π.于是:
2π32222ddddddxyrrrr,,,,xy,,4rr,,44,,,,,,DD00
2333,,,,2π(4)d(4)drrrrrr,,,,,02,,
23,,4111,,,,2442,,2ππ.,22rrrr,,,,,,,,2,,,,4402,,
(6)积分区域D如图10-25所示:
D可分为D,D?
D,D四个部分.它们可分为用极坐标1234表示为。
图10-25D:
0?
θ?
π,0?
r?
2sinθ,1
D?
D:
0?
θ?
π,2sinθ?
r?
2,23
D:
π?
θ?
2π,0?
r?
24
于是:
22222222ddddddddxyxyxyxy,,,xyyxyyxyyxyy,,,,,,,,2222,,,,,,,,DDDDD,1234
π2sinπ22π2222,,,,,,,,,,,,d(2sin)dd(2sin)dd(2sin)drrrrrrrrrrrr,,,,,,0002sinπ0,
2π2π2sinπ2,322332rrrr,,d(2sin)d,,,,,,d(2sin)dd(2sin)drrrrr,,,,,,,,,,π00002sin,,2sin22444ππ2π,,,,,,222rrr333,,,dddrrrsinsinsin,,,,,,,,,,,,,,,,,,00π344343,,,,,,02sin0,
ππ2π416416,,,,44,,,sinddd4sinsin4sin,,,,,,,,,,,,,,,,,00π3333,,,,
π2ππ81616,,,,4,,dd,,,sind4sin,,4sin,,,,,,,,,,,0π033,,,,3
π2π811631,,,,,,8πsind,,sin2sin4,,,,,,,,034328,,0
23,,,,,π8π09π.32
13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积:
2bb2yxyx,,,
(1)曲线所围(a>0,b>0);aa
22
(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围(x>0,y>0).
2bb2yxyxab,,,,,(0,0)解:
(1)曲线所围的图形D如图10-26所示:
aa
图10-26D可以表示为:
aa,2yxy,,,2bb,
0,,yb,
所求面积为:
abyb1aa,,2bSxyyxyab,,,,ddddd.yy,,,a,,,,,200Dy62bb,,b
22
(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形D如图10-27所示:
图10-27所求面积为
Sxy,dd,,D
y,v令xy=u,,则x
u22xyuvauav,,,,,,,,(2,12)v
(,)1xyJ,,,(,)2uvv于是
222a22211aa,,,,,Sxyuvvuvdddddddln22,,,,,,,Da112222vvv22,,aua2,,v12
14.证明:
byb1,1nnyyxfxxfxbxx,,,d()()d()()d;
(1),,,aaan,1
1fxyxyfuu()dd()d,,
(2),D为|x|+|y|?
1;,,,,1D
122222faxbycxyufu()dd21d,,,,(3),其中D为x+y?
1且,,uabc,,,,,,1D
22a+b?
0.
解:
(1)题中所给累次积分的积分区域D为
a?
y?
b,a?
x?
y.如图10-28所示:
图10-28D也可表示为a?
x?
b,x?
y?
b,于是:
bbybbb1nn,1nyyxfxxxyxfxyx,,,,d()()dd()()ddfxyx,()(),,,,,aaaxan,1x
b1,1n,,fxbxx()()d.,an,1
(2)令x+y=u,x-y=v,则
uvuv,,xy,,,,且-1?
u?
1,-1?
v?
122
(,)1xy,于是,,,(,)2uv
11111fxyxyfuuvufuvfuu,,,,()dd()ddd()d()d.,,,,,,,,,,,11122Du,,,11v,,,11
aubvbuav,,(3)令,则xy,,,2222abab,,
22faxbycfuabc()(),,,,,
ab,
222222,(,)xyababab,,J,,,,,12222ba,,,(,)uvabab
2222abab,,
22当x+y?
1时,
22222222aubvbuav,,,,,,()()abuabv,,,22,,,,,uv1.,,,,222222ab,abab,,,,,,
于是
22faxbycxyfuv()dddd,,,,,uabc,,,,,,22Duv,,1
2,u1122,ddufv,,uabc,,2,,,,,u112,u1122,fvud,,uabc,,2,,1,,u1
1222,,21d.ufu,,uabc,,,,122222215.求球面x+y+z=y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。
解:
如图10-29所示:
图10-29
222zaxy,,,上半球面的方程为,由
,,,zxzy,,,222222,,xyaxyaxy,,,,
得
22,za,,,z,,1,,,,,,,222,y,x,,,,axy,,
由对称性知
22,za,,,z,,Axyxy,,,,41dd4dd,,,,,,,,222DD,y,x,
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