《概率论与数理统计》习题及答案选择题.docx
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《概率论与数理统计》习题及答案选择题
《概率论与数理统计》习题及答案
选择题
单项选择题
1•以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为().
(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;
(B)“甲、乙两种产品均畅销”;
(C)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”;
(D)“甲种产品滞销”.
解:
设B='甲种产品畅销’,C='乙种产品滞销’,A=BCA=BC=BUC二‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’.选c.
2•设A,B,C是三个事件,在下列各式中,不成立的是()•
(A)(A-B)UB二AUB;
(B)(AUB)-B二A;
(C)(AUB)-AB二abUAb;
(D)(aUB)-C=(A-C儿(B-C).
解:
(A-B)Ub二aBUb=(aUb)C](BUb)二aUb.a对.(AljB)-B=(aUb)B=aBUbB=aB=A-B=AB不对(aIJb)-ab=(a-b)U(b-a)=aBUAb.c对.选b.
同理D也对.
3•若当事件代B同时发生时,事件C必发生,则()•
(A)P(C)乞P(A)P(B)-1;
(B)P(C)一P(A)P(B)-1;
(C)P(C)二P(AB);
(D)P(C)二p(aUb).
解:
ABC二P(C)_P(AB)=P(A)P(B)_P(AUB)_P(A)P(B)_1
-选B.
4•设P(A)=a,P(B)=b,P(AUB)=c,贝UP(AB)等于().
(A)a-b;(B)c-b;(C)a(1-b);(D)b-a.
解:
P(AB)=P(A_B)=P(A)_P(AB)=a_P(A)_P(B)P(aUb)=c-b
.选B.
5•设A,B是两个事件,若P(AB)=O,则().
(A)A,B互不相容;(B)AB是不可能事件;
(C)P(A)=0或P(B)=0;(D)AB未必是不可能事件
解:
:
P(AB)=0二AB=心..选D.
6.设事件A,B满足AB=:
;*,则下列结论中肯定正确的是()
(A)A,B互不相容;
(C)P(AB)二P(A)P(B);
(B)A,B相容;
(D)P(A-B)=P(A).
A不对.
AB-.B错.
AB=6=PAB=0而P(A)P(B)不一定为0二C错.
P(A-E)二RA)-RA护P.A.选D.
7•设0:
:
:
P(B)<1,P(A|B)P(A|B)=1,则()
(A)A,B互不相容;(B)A,B互为对立;
(C)A,B不独立;(D)A,B相互独立
解:
P(AB)P(AB)P(AB)P(AUB)P(AB)1-P(MJb)1二
P(B)P(B)P(B)1-P(B)P(B)1-P(B)
P(AB)(1_P(B))P(B)(1_P(A)_P(B)P(AB))
—P(B)(1—P(B))」
22
P(B)_P(B)=P(AB)P(B)-P(A)P(B)-P(B)
P(AB)=P(A)P[E).选D.
&下列命题中,正确的是().
(A)若P(A)=0,贝UA是不可能事件;
(B)若P(AUB)二P(A)•P(B),贝UA,B互不相容;
(C)若P(aUb)-P(AB)=1,则P(A)P(B)=1;
(D)P(A-B)=P(A)-P(B).
解:
P(aUb)=P(A)P(B)_P(AB)二P(AUB)_P(AB)=P(A)P(B)=1由P(A)=0=A=:
:
二A、B错.
只有当A二B时P(A-B)二P(A)-P(B),否则不对.•选C.
(A)P(AUB)=P(A);(B)P(AB)=P(A);
(C)P(B|A)=P(B);(D)P(B-A)=P(B)-P(A).
解:
BA=AUB=A=P(AUB)二P(A).选A.
10•设代B是两个事件,且P(A2P(A|B);
(A)P(A)二P(A|B);(B)P(B)0,则有()
(C)P(A)_P(A|B);(D)前三者都不一定成立•
解:
P(A|B)=P(AB)要与P(A)比较,需加条件..选D.
P(B)
11.设0cP(B)<1,P(A)P(A)a0且P(A,UA21B)=P(A|B)+P(A2|B),
则下列等式成立的是()•
(a)P(AA2IB)=P(A|B)P(A2|B);
(B)P(A,BA2B)=P(AB)P(AB);
(C)P(AUA2)=P(A|B)P(A2|B);
(D)P(B)二P(A)P(B|A1)P(A2)P(B|A2).
解1:
p(aUajb)=p(a|b)+p(A2〔b)—p(AA|B)=p(A|b)+p(A2〔b)=P(AA2|B)=0二P(A,A2B)=0
P(AbUa^B)=P(A,B)P(A2B)-P(AA2B)=P(AB)P(A2B)选B.
解2:
由P{A,UA2IB}=P(A1|B)-P(A2|B)得p(AbUA,b)p(aB)p(a2b)P(B)「P(B)
可见P(A丈AB二P1A)B(P2A)B
几选B.
12•假设事件A,B满足P(B|A)=1,则()•
(A)
B是必然事件;
(B)P(B)=1;
(C)
P(A-B)=0;
(D)AB.
解:
P(B|A)二P(AB)
P(A)
二1二P(AB)=P(A)二P(A)_P(AB)=0
二P(A_B)=0
二选C.
13•设代B是两个事件,且AB,P(B)0,则下列选项必然成立的是
()•
(A)P(A):
:
:
P(A|B);(B)P(A)乞P(A|B);
(C)P(A)P(A|B);(D)P(A)_P(A|B).
解:
P(A|B)=鸣二g_P(A)
P(B)P(B)
AB=P(A)乞P(B)0:
:
:
P(B):
:
1.选B
(或者:
AB,P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)mP(A|B))
14•设P(B)0,A,A2互不相容,则下列各式中不一定正确的是()
(A)P(AA2IB)=0;
(B)P(AA2|B)=P(Ai|B)P(A2|B);
(C)P(AA2|B)=1;
(D)P(AUA|B)=1.
解:
P(AiA2)=0—:
A1A2
P(A1UA2|B)=P(A|B)-P(A2|B)-P(A1A2IB)
=P(A|B)P(A2|B)
P(AA|B)=P(A1K|B)=1-P(AUA2IB)
=1_P(A|B)_P(A2|Bp-1C错.
P(AUA2|B)=P(AA2|B)=1-P(AA2|B)=1-0=1D对.
选C.
15•设代B,C是三个相互独立的事件,且0:
:
:
P(C):
:
:
1,则在下列给定的
四对事件中不相互独立的是()•
(A)AUB与C;(B)AC与C;
(C)A-B与C;(D)AB与C.
解:
P[(AUB)C]二P(ABC)=P(A)P(B)P(C)二(1—P(A))(1—P(B))P(C)
二[1-(P(A)P(B)-P(A)P(B))]P(C)=P(AUB)P(C)A对.
p(Acc)=p[(AUC)C]=p(ACUCC)=p(AC)p(C)_p(AC)
二P(C)=P(AC)P(C)•AC与C不独立选B.
16•设代B,C三个事件两两独立,则代B,C相互独立的充分必要条件是
()•
(A)A与BC独立;(B)AB与aUC独立;
(C)AB与AC独立;(D)AUB与AUC独立.
解:
7A,B,C两两独立,.若A,B,C相互独立则必有
P(ABC二PAPBP=CPAPBCA与BC独立.反之,如A与BC独立则P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)二选A.
17•设A,B,C为三个事件且代B相互独立,则以下结论中不正确的是().
(A)若P(C)=1,则AC与BC也独立;
(B)若P(C)=1,则AUC与B也独立;
(C)若P(C)=1,则A-C与A也独立;(D)若CB,则A与C也独立.
解:
:
P(AB)=P(A)P(B),P(C)=1.概率为1的事件与任何事件独立
二AC与BC也独立.A对.
P[(AUc)nB]=P[(aUC)B]=P(ABUBC)
=P(AE5PBC-PABCl(PA)C(PBB对.
P[(A_C)A]=P(ACA)=P(AC)=P(A)P(C)=P(A)P(AC)
•••C对•••选D(也可举反例).
18.一种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为Pi,第二道
工序的废品率为p2,则该零件加工的成品率为().
(A)1-Pl-P2;(B)1-PiP2;
(C)1-P1-P2P1P2;(D)(1-P1)(1-P2).
解:
设A=成品零件,A二第i道工序为成品U1,2.
P(A)=1-5P(A)=1-卩2
P(A)二P(1AAYR1A)Pt2A01-p1)(1-p2)
=1-P1-P2P1P2
•-选C.
19•设每次试验成功的概率为p(0:
:
:
P<1),现进行独立重复试验,则直到
第10次试验才取得第4次成功的概率为().
(A)C;0p4(1-p)6;(B)C93p4(1-p)6;
(c)c;p4(1-p)5;(d)c;p3(1-p)6.
解:
说明前9次取得了3次成功•第10次才取得第4次成功的概率为
336346
C9P(1-p)P二C9P(1-p)
•-选B.
20•设随机变量X的概率分布为P(X=k)二bk,k=1,2」l(,b•0,则
(A)
(C)
■为任意正实数;
1
■=;
1b
(B)兔=b1;
、1
(D)■=
b—1
解:
oO
z
k4
P(X二K)
oO
八bk
k4
oO
二b—k
kJ
1b
设连续型随机变量
选C.
X的概率密度和分布函数分别为
f(x)和F(x),则
F列各式正确的是(
(A)
(C)
解:
).
0 P(X=x)=F(x); (B) (D) F(x)=P(X_x)_P(X=x) P(X=x)=f(x); P(X=x)_F(x). •选D. 22. (A) (B) (C) F列函数可作为概率密度的是(f(x)二e*,xR; f(x)召, 兀(1+x) 厂2 1上 二2 f(X)二.2二 0, x一0, x: : 0; (D) 解: 「1,|x|E1, f(x)= o,|X|>1. A: e^dx=2edx=2 -_: : -0- B: 妊dx1 G^TF1arctanx 「dx=2 •••错. (A) (C) 且f(x)1厂一0xR 兀(1+x2) F列函数中,可作为某个随机变量的分布函数的是( =11arctanx; 2二 1 F(x)二 (B)F(x) 1 F(x)「心 [0 x: - (D)F(x)=f(t)dt,其中f(t)dt=1. 解: 对A: O: : : F(x)乞1,但F(x)不具有单调非减性且F(;)=0•••A不是. 兀,JI 对b: arctanxz— 22 由arctanx是单调非减的 11兀 F(」J() 2兀2 F(x)具有右连续性. •••0乞F(x)乞1. =0 •F(x)是单调非减的. 11Tt FC;3)1. 2兀2 •-选B. 24•设X1,X2是随机变量,其分布函数分别为F1(x),F2(x),为使 F(x)=aR(x)-bF? (x)是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值 中应取( (A) (C) ). fb「2; 55 1b3 22 2 (B)a- 3 1 (D)a二一 2 解: F(」: )二ah(」: )-bF2(」: )=0,F(: : -2; b=r 2 )=a_b=1,只有A满足 •-选A 25•设随机变量X的概率密度为f(x),且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a有(). a F(-a)=1-.0f(x)dx; 1a F(-a)=2-0f(x)dx; F(-a)=F(a);F(-a)=2F(a)-1. -aa F(-a)=J=f(x)dx=-J&f(-均du=匚f(u)du : : a0a f(x)dx-f(x)dx=1-(__f(x)dxf(x)dx) (A) (B) (C) (D) 解: T-JOO 1a1=1——f(x)dx=- 2r2 ;f(x)dx=20f(x)dx=1 -CO a -.0f(x)dx 01.0f(x)dx「-f(x)dx二- •-选B. 26•设随机变量X~N(1,22),其分布函数和概率密度分别为 (A) (B) (C) (D) F(x)=1-F(-x);f(x)=f(-x); F(1—x)=1_F(1x); F— .2 =1—F— I2.丿 解: 27 VX~N(1,22).f(x)以x=1为对称轴对称. .P(X1x)二P(X辽1-x) 即F(1—x)=1-P(X乞1x)=1 •-选C. 设X~N(J,42),Y~N(」,52) _F(1x) 设P(X」-4)〒p. P(Y一5)=P2,则()• 对任意实数,有p1=p2; (A) (C) Pi: : P2; 解: (B) (D)只对丄的个别值才有5=P2・ 4—4—(! P1二p(x"-4厂 PiP2; 儿(_1)=1一门⑴ 沖+5—卩p2二P(Y5)=1—P(Y二订5)=1-门 p1=p2 2 28•设X~N(/) •••选A(or利用对称性) 则随着二的增大,概率P(|X-J卜: 二)的值() (A)单调增大; (C)保持不变; 解: P(|X」)Z (B)单调减少; (D)增减不定. =P(….X: : : 「;「)=: : 」 (1)一门(一1)=2: 」 (1)-1 选C. •不随匚变 29•设随机变量X的分布函数为FX(x),则丫=5X-3的分布函数 FyW)为()• (A) (C) Fx(5y-3); FxF; (B)5Fx(y)-3; 1 (D)—Fx(y)3 5 解: FY(y)=P(Y乞y)=P(5X-3乞y)=P(X空1(y3)) 5 选C. 30.设X的概率密度为 (A) (C) 1;2~;二(14y) 2; 2~; 二(4y) 1 f(x),则Y=2X的概率密度为() 耳(1+x) (B)1—2; 兀(4+y) (D)J. 兀(1+y) 解: 31. 1 2 2 2~ 二(4y) FY(y)=P(Y曲)=P(2X乞y)=P(X/)二Fx 2 fY(y) 'y111 —I=—— ⑵2w+厶 4 X与Y相互独立,其概率分布分别为 选C. X -1 1 P 1 1 2 2 设随机变量 ). Y -1 1 P 1 1 2 2 (B) 则下列式子正确的是( X二丫; (A) P(X二Y)=0; (C) 解: - 2 A显然不对.P(X=Y) P(X=Y) (D) P(X=Y)=1. =P(X=-1,Y=-1)P(X — 22 =P(X--1)P(Y--1)P(X=1)P(Y=1)=- 2 =1,丫=1) - 2 32. (A) (C) 选C. 设X~N(0,1),Y~N(1,1),且X 1 P(XY乞0)= 2 1 P(X—JO"1; (B) (D) 解: X~N(0,1)Y~N(1,1)且独立 33. 与Y相互独立, 则( 1 P(XY-1^ 2 _2. N(1,2) P(X-丫汨) 1 P(XY乞1)=P(XY1)=: J(0)= 选B. 设随机变量 Xi —1 1 <4 1 1 =1,2 (D)1. 选A. 34.设随机变量 X=a 1 =a2 (1-a) P*=X2)=P(Xr=X2_-1)Pg=X2=0)P(Xr=X2=1) =000=0 a=(1-a): 2 a-3a1=0,a 35,但a" 2 X取非负整数值,P(X二n)二an(n一1),且EX=1,则 选B. x-1, 3-寸5 a= 2 35•设连续型随机变量X的分布函数为 k-1, x x: 1, 则X的数学期望为( (A)2;(B)0;(C)4/3;(D)8/3. r_5 4xxK1 解: f(x)=* 4 EXxrdx二4 '1x : : dx,/1、; i厂4(Vx 0xc1 选C. 36.已知X~B(n,p),EX=2.4,DX=1.44,则二项分布的参数为(). (A)n=4,p=0.6;(B)n=6,p=0.4; (C)n=8,p=0.3;(D)n=24,p=0.1. EX=np二24 解: =q=1.44一2.4=0.6二p=0.4n=6 DX=npq=1.44 选B. 37.已知离散型随机变量X的可能值为为--1,x2=0,x3=1,且 EX二0.1,DX二0.89,则对应于人,X2,X3的概率P1,p? P3为(). (A) P1 =0.4, P2^O.1, P3 =0.5; (B)p1=O.1, P2=0.1,P3=0.5; (C) P1 =0.5, p2=0.1, P3 =0.4; (D)P1=04 P2=0.5,P3=0.5. 解: EX =0.1 =-P1+p 3 1 DX =EX 2-(EX)2 ― ex2= 0.89+(0.1)2=0 Ci1 .9=P1+P3J b= 0.4 =』 P2= 0.1 选A. B= 0.5 38. 设X 〜N( : 2,1),Y〜 N(—1,1), 且X,Y独立,记 Z=3X—2Y—6, 则Z〜 (A)N(2,1); (B)N(1,1); (C) N(2,13); (D) N(1,5). 解: X~N(2,1)Y~ N(-1,1)且独立 EZ=E(3X- -2Y-6): =2. DZ=9DX4DY=94=13. 又独立正态变量的线性组合仍为正态变量,•••Z~N(2,13) 选C. (A) 4. 14;(B)6;(C)12;(D) (B) •选B. 44•设X,Y的方差存在,且不等于0,则D(XY^DX'DY是X,Y 解: D(X-Y)=DXDY-2cov(X,Y),cov(X,Y)=EXY-EXEY=6-4=2D(X—Y)=91-22=6. •选B. 40. 设随机变量X的万差存在,则 (). (A) (EX)=EX2; (B)(EX)2_EX2; (C) (EX)2EX2; (D)(EX)2乞EX2. 解: DX-EX2-(EX)2-0 EX_(EX)2.•选D. 41. 设X1,X2,X3相互独立, 且均服从参数为’的泊松分布 令 2 则丫的数学期望为(). (). (A)不相关的充分条件,但不是必要条件; (B)独立的必要条件,但不是充分条件; (C)不相关的必要条件,但不是充分条件; (D)独立的充分必要条件• 解: 由D(XY)=DXDY=cov(X,Y)=0=—0=X与Y不相关 •••D(XYHDXDY是不相关的充要条件•A、C不对• 由独立=D(XYHDXDY,反之不成立 •-选B. 45•设X,Y的相关系数,xy=1,则() (A)X与丫相互独立;(B)X与丫必不相关; (C)存在常数a,b使P(Y=aX5)=1; 2 (D)存在常数a,b使P(丫二aXb)=1. 解: |.y|=1=存在a,b使P(丫二aXb)=1 •-选C. 46•如果存在常数a,b(a=0),使P(丫二aX•b)=1,且0: : : DX: : : •: : 那么X,Y的相关系数t为()• •-选C. 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为 N 0 1 2 0 0,1
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