名师金典教师用书版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理.docx
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名师金典教师用书版高考数学大一轮复习第十章计数原理
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考情展望] 1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查.
两个计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有( )
A.50个 B.45个 C.36个 D.35个
【答案】 C
2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10B.11C.12D.15
【答案】 B
3.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )
A.504B.210C.336D.120
【答案】 A
4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A.6种B.12种C.24种D.30种
【答案】 C
5.(2014·大纲全国卷)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )
A.60种B.70种C.75种D.150种
【答案】 C
6.(2013·浙江高考)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).
【答案】 480
考向一[168] 分类加法计数原理
集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…9},且P⊆Q,把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9 B.14 C.15 D.21
【答案】 B,
规律方法1 分类标准是运用分类计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.
对点训练 如图10-1-1所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个.
图10-1-1
【答案】 40
考向二[169] 分步乘法计数原理
将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【答案】 A,
规律方法2 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且也要确定分步的标准,分步必须满足:
完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件:
(1)步骤互相独立,互不干扰.
(2)步与步确保连续,逐步完成.
对点训练 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则
(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数;
(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.
【解】
(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.
(2)y=ax2+bx+c的开口向上时,a的取值有2种情况,b、c的取值均有6种情况.
因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二次函数.
考向三[170] 两个计数原理的综合应用
在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中,其各个数字之和为9的三位数共有( )
A.16个 B.18个 C.19个 D.21个
【答案】 C,
规律方法3 用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步.
(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
对点训练 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
【答案】 B
思想方法之二十二 分类讨论思想在计数原理中的妙用
分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用.解决此类问题的关键是确定分类标准,做到不重复、不遗漏.
———————— [1个示范例] ————————
编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图10-1-2所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?
图10-1-2
【解】 根据A球所在位置分三类:
(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C、D、E,则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6种不同的放法;
(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C、D、E,则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6种不同的放法;
(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C、D、E有A=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理得,3×3×2×1=18种不同方法.
综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.
———————— [1个对点练] ————————
如图10-1-3,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.
图10-1-3
【解析】 按区域1与3是否同色分类:
(1)区域1与3同色:
先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法.
∴区域1与3涂同色,共有4A=24种方法.
(2)区域1与3不同色:
先涂区域1与3有A种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法.
∴这时共有A×2×1×3=72种方法,
故由分类计数原理,不同的涂色种数为24+72=96.
【答案】 96
课时限时检测(五十七) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(时间:
60分钟 满分:
80分)一、选择题(每小题5分,共30分)
1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )
A.56B.65
C.D.6×5×4×3×2
【答案】 A
2.三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过5次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )
A.6种B.8种C.10种D.16种
【答案】 C
3.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择,其他号码只想在1、3、6、9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A.180种B.360种
C.720种D.960种
【答案】 D
4.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有( )
A.1种B.3种C.6种D.9种
【答案】 C
5.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为( )
A.240B.204C.729D.920
【答案】 A
6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( )
A.20种B.30种C.40种D.60种
【答案】 A
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种(用数字作答).
【答案】 36
8.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答).
【答案】 14
9.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7}.从两个集合中各取一个元素作点的坐标,则在直角坐标系中,第一、第二象限不同点的个数为________.
【答案】 14
三、解答题(本大题共3小题,共35分)
10.(10分)如图10-1-4,用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,求有多少种不同的涂色方法?
图10-1-4
【解】 法一 如题图分四个步骤来完成涂色这件事:
涂A有5种涂法;涂B有4种方法;涂C有3种方法;涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色).
根据分步计数原理共有5×4×3×3=180种涂色方法.
法二 由于A、B、C两两相邻,因此三个区域的颜色互不相同,共有A=60种涂法;又D与B、C相邻,因此D有3种涂法;由分步计数原理知共有60×3=180种涂法.
11.(12分)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,求第30个“渐升数”.
【解】 渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共有:
6+5+4+3+2+1=21(个).
形如
的渐升数共有5个.
形如
的渐升数共有4个.
故此时共有21+5+4=30个.
因此从小到大的渐升数的第30个必为1359.
12.(13分)高二年级四个班中有34个自愿组成数学课外小组,其中一班有7人,二班有8人,三班有9人,四班有10人.推荐两人为中心发言人,且这两人必须来自不同的班级,则有多少种不同的选法?
【解】 分六类,每类都分两步,①从一、二班各选一人,共有7×8=56种;②从一、三班各选一人,共有7×9=63种;③从一、四班各选一人,共有7×10=70种;④从二、三班各选一人,共有8×9=72种;⑤从二、四班各选一人,共有8×10=80种;⑥从三、四班各选一人,共有9×10=90种.所以共有不同的选法为:
N=56+63+70+72+80+90=431种.
第二节 排列与组合
[考情展望] 1.以实际问题为背景考查排列、组合的应用,同时考查分类讨论的思想.2.以选择题或填空题的形式考查,或在解答题中和概率相结合进行考查.
一、排列与排列数
1.排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作A.
二、组合与组合数
1.组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作C.
三、排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
(2)C===(n,m∈N*,且m≤n).特别地C=1.
性质
(1)0!
=1;
(2)A=n!
.
(2)①C=C;②C=C+C.
解排列、组合应用题的常见策略
(1)特殊元素优先安排的策略;
(2)合理分类与准确分步的策略;
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;
(4)正难则反、等价转化的策略;
(5)相邻问题捆绑处理的策略;
(6)不相邻问题插空处理的策略;
(7)定序问题除法处理的策略;
(8)分排问题直排处理的策略.
1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有( )
A.9个B.24个C.36个D.54个
【答案】 D
2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6种B.12种C.30种D.36种
【答案】 C
3.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有( )
A.24种B.60种C.90种D.120种
【答案】 B
4.某电视台在直播2012年伦敦奥运会时,连续播放5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能连续播放则不同的播放方式有________种.
【答案】 36
5.(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144B.120C.72D.24
【答案】 D
6.(2013·北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.
【答案】 96
考向一[171] 排列应用题
6个学生按下列要求站成一排,求各有多少种不同的站法?
(1)甲不站排头,乙不能站排尾;
(2)甲、乙都不站排头和排尾;
(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻;
(4)甲、乙都不与丙相邻.
【尝试解答】
(1)分两类:
甲站排尾,有A种;甲站中间四个位置中的一个,且乙不站排尾,有AAA种.由分类计数原理,共有A+AAA=504(种).
(2)分两步:
首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个,有A种;再站其余4人,有A种.
由分步计数原理,共有A·A=288(种).
(3)分两步:
先站其余3人,有A种;再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当,有A种.
由分步计数原理,共有A·A=144(种).
(4)分三类:
丙站首位,有AA种;丙站末位,有AA种;丙站中间四个位置中的一个,有AAA种.
由分类计数原理,共有2AA+AAA=288(种).,
规律方法1 1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
对点训练
(1)(2014·四川高考)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
(2)(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.
【答案】
(1)B
(2)36
考向二[172] 组合应用题
男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)至少有1名女运动员;
(2)既要有队长,又要有女运动员.
【尝试解答】
(1)法一 至少有1名女运动员包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
CC+CC+CC+CC=246(种).
法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
从10人中任选5人有C种选法,其中全是男运动员的选法有C种.
所以“至少有1名女运动员”的选法为C-C=246(种).
(2)当有女队长时,其他人选法任意,共有C种选法.
不选女队长时,必选男队长,共有C种选法.其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时共有C-C种选法,所以既有队长又有女运动员的选法共有C+C-C=191(种).
规律方法2 1.本题中第
(1)小题,含“至少”条件,正面求解情况较多时,可考虑用间接法.第
(2)小题恰当分类是关键.
2.组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:
“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:
若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.
对点训练 2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演练中,中方参加演习的有5艘军舰,4架飞机;俄方有3艘军舰,6架飞机,若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或一艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同),且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有( )
A.51种B.224种
C.240种D.336种
【答案】 C
考向三[173] 排列组合的综合应用
(1)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为________.
(2)现需编制一个八位的序号,规定如下:
序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成;2个x不能连续出现,且y在z的前面;数字在0、1、2、…、9之间任选,可重复,且四个数字之积为8,则符合条件的不同的序号种数有( )
A.12600 B.6300 C.5040 D.2520
【答案】
(1)36
(2)B,
规律方法3 1.解排列组合问题要遵循两个原则:
一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
2.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:
(1)不均匀分组.
(2)均匀分组.(3)部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.
对点训练
(1)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.33 B.34 C.35 D.36
(2)(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).
【答案】
(1)A
(2)60
思想方法之二十三 解排列组合问题的妙招——“排除法”
解决排列组合应用问题时,一是要明确问题中是排列还是组合或排列组合混合问题;二是要讲究一些基本策略和方法技巧.
对于“至少”“至多”型排列组合问题,若分类求解时,情况较多,则可从所有方法中减去不满足条件的方法,即正难则反问题用排除法解决.
———————— [1个示范例] ————————
某学校星期一每班都排9节课,上午5节、下午4节,若该校李老师在星期一这天要上3个班的课,每班1节,且不能连上3节课(第5和第6节不算连上),那么李老师星期一这天课的排法共有( )
A.474种 B.77种 C.462种 D.79种
【解析】 首先求得不受限制时,从9节课中任意安排3节,有A=504种排法,其中上午连排3节的有3A=18种,
下午连排3节的有2A=12种,
则这位教师一天的课表的所有排法有504-18-12=474种.
———————— [1个对点练] ————————
学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有( )
A.36种B.30种
C.24种D.6种
【解析】 由于每科一节课,每节至少有一科,必须有两科在同一节,
先从4个中任选2个看作整体,然后做3个元素的全排列,共CA种方法,
再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共A种方法,
故总的方法种数为:
CA-A=36-6=30
【答案】 B
课时限时检测(五十八) 排列与组合
(时间:
60分钟 满分:
80分)一、选择题(每小题5分,共30分)
1.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有( )
A.36种B.30种C.42种D.60种
【答案】 A
2.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有( )
A.36个B.24个
C.18个D.6个
【答案】 A
3.(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A.9B.10C.18D.20
【答案】 C
4.2013年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定:
凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”,享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”,则这组号码中“金兔卡”的张数为( )
A.484B.972C.966D.486
【答案】 C
5.2012年国庆、中秋双节期间,张、王两家夫妇各带一个小孩到颐和园游玩,购得门票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6人的入馆顺序的排法种数是( )
A.12B.24C.36D.48
【答案】 B
6.某外商计划在4个侯选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )
A.16种B.36种C.42种D.60种
【答案】 D
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.(2013·大纲全国卷)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种.(用数字作答)
【答案】 480
8.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33,…,99.3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…,999.则4位回文数有________个.
【答案】 90
9.(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).
【答案】 590
三、解答题(本大题共3小题,共35分)
10.(10分)用0,1,3,5,7五个数字,可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数?
【解】 分两类求解
第一类,0在十位上,这时5不在十位上,所以五位数的个数为A=24(个).
第二类:
0不在十位上,这时由于5不能排在十位上,所以十位上只能排1,3,7之一,有A种排法,由于0不能排在万位上,所以万位上只能
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