届北京市海淀区高三第二学期期中练习一模数学文word版有答案.docx
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届北京市海淀区高三第二学期期中练习一模数学文word版有答案
2018届
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(文科)2018.4
本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将答题纸交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合
,
,且
,则
可以是
(A)
(B)0(C)l(D)2
(2)已知向量a=(l,2),b=(
,0),则a+2b=
(A)(
,2)(B)(
,4)(C)(1,2)(D)(1,4)
(3)下列函数满足
的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为
(A)2(B)6
(C)8(D)10
(5)若抛物线
上任意一点到焦点的距
离恒大于1,则
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)如图,格纸上小正方形的边长为1,若四边形
及其内部的点组成的集合记为
,
为
中任意一点,则
的最大值为
(A)1(B)2
(C)
(D)
(7)已知
是等差数列
的前
项和,则“
对,
恒成立”是“数列
为递增数列”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(8)已知直线
:
与圆
相交于
两点,
是线段
的中点,则点
到直线
的距离的最大值为
(A)2(B)3(C)4(D)5
第二部分(非选择题,共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)复数
.
(10)已知点(2,0)是双曲线
:
的一个顶点,则
的离心率为.
(11)在
中,若
,
,
,则
,
.
(12)某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是.
(13)已知函数
,给出下列结论:
①
在
上是减函数;
②
在
上的最小值为
;
③
在
上至少有两个零点,
其中正确结论的序号为.(写出所有正确结论的序号)
(14)将标号为1,2,…,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出,将这些卡片中标号最大的数设为
;把每行标号最大的卡片选出,将这些卡片中标号最小的数设为
.
甲同学认为
有可能比
大,乙同学认为
和
有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确
的同学是.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
已知等比数列
满足以,
,
.
(I)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)试判断是否存在正整数
,使得
的前
项和
为
?
若存在,求出
的值;
若不存在,说明理由.
(16)(本小题13分)
函数
(
)的部分图象如图所示,
其中
是函数
的一个零点.
(I)写出
及
的值;
(Ⅱ)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
(17)(本小题13分)
流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%—55%时,病毒死亡较快,现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在
%~
%时记为区间
.
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85)
[85,95)
频数
2
3
15
30
50
75
120
5
(I)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;
(Ⅱ)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)的概率;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对
湿度的平均数在第几组(只需写出结论).
(18)(本小题14分)
如图,四棱锥
中,
,且
平面
,
为棱
的中点.
(I)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:
平面
平面
;
(Ⅲ)当四面体
的体积最大时,判断直线
与直线
是
否垂直,并说明理由.
(19)(本小题14分)
已知椭圆
的两个焦点为
,离心率为
.
(I)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设点
是椭圆
的右顶点,过点
的直线与椭圆
交于
,
两点,直线
,
与直线
分别交于
,
两点.求证:
点
在以
为直径的圆上.
(20)(本小题13分)
已知函数
(I)当
时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)当
时,判断
在
上的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)当
时,求证:
,都有
.
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(文)参考答案与评分标准2018.4
一.选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
D
B
C
C
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.
12.
13.
14.乙
三.解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.解:
(Ⅰ)设
的公比为
,
因为
,且
,
所以
,
得
所以
………………6分
(Ⅱ)不存在
,使得
的前
项和
为
因为
,
,
所以
………………10分
方法1:
令
,则
得
,该方程无解.
所以不存在
,使得
的前
项和
为
.………………13分
方法2:
因为对任意
,有
,
所以
所以不存在
,使得
的前
项和
为
。
………………13分
16.解:
(Ⅰ)
………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
因为
,
所以
当
即
时,
的最小值为
.
当
即
时,
的最大值为
.………………13分
17.解:
(Ⅰ)由已知,当空气相对湿度在
时,病毒死亡较快.
而样本在
上的频数为30,
所以所求频率为
………………3分
(Ⅱ)设事件
为“从区间
的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于
”
设区间
中的两个数据为
,区间
中的三个数据为
,
因此,从区间
的数据中任取两个数据,
包含
共10个基本事件,
而事件
包含
共6个基本事件,
所以
.…………………….…10分
(Ⅲ)第6组.…………………….…13分
18.(Ⅰ)证明:
取线段
的中点
,连接
.
因为
为棱
的中点,
所以在
中
,
.
又
,
所以
.
所以四边形
是平行四边形,
所以
.
又
平面
平面
所以
平面
.
(Ⅱ)因为
为
中点,
所以
.
又
平面
平面
所以
又
所以
平面
.
又
,
所以
平面
.
因为
平面
所以平面
平面
..…………………….…9分
(Ⅲ)
.
设
,
则四面体
的体积
.
当
,即
时体积最大.
又
平面
平面
所以
.
因为
所以
平面
.
因为
平面
,
所以
..…………………….…14分
19.解:
(Ⅰ)由题意,设椭圆方程为
,
则
得
所以椭圆方程为
.…………………….…5分
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)可得
.
当直线
不存在斜率时,可得
直线
方程为
,令
得
同理,得
.
所以
得
.
所以
在以
为直径的圆上.
当直线
存在斜率时,设
方程为
,
、
.
由
可得
.
显然
直线
方程为
,得
同理,
.
所以
.
因为
所以
所以
所以
在以
为直径的圆上..…………………….…14分
综上,
在以
为直径的圆上.
20.解:
(Ⅰ)当
时,
.
得
又
所以曲线
在
处的切线方程为
.…………………….…4分
(Ⅱ)方法1:
因为
,
所以
.
因为
,
所以
.
所以
.
所以当
时,
,
所以
在区间
单调递增..…………………….…8分
方法2:
因为
,
所以
.
令
,
则
,
随x的变化情况如下表:
x
+
极大值
当
时,
.
所以
时,
,即
,
所以
在区间
单调递增..…………………….…8分
(Ⅲ)方法1:
由(Ⅱ)可知,当
时,
在区间
单调递增,
所以
时,
.
当
时,设
,
则
,
随x的变化情况如下表:
x
+
极大值
所以
在
上单调递增,在
上单调递减
因为
,
,
所以存在唯一的实数
,使得
,
且当
时,
,当
时,
,
所以
在
上单调递增,
在
上单调递减.
又
,
所以当
时,对于任意的
,
.
综上所述,当
时,对任意的
,均有
.
.…………………….…13分
方法2:
由(Ⅱ)可知,当
时,
在区间
单调递增,
所以
时,
.
当
时,由(Ⅱ)可知,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因为
,
,
所以存在唯一的实数
,使得
,
且当
时,
,当
时,
,
所以
在
上单调递增,
在
上单调递减.
又
,
所以当
时,对于任意的
,
.
综上所述,当
时,对任意的
,均有
..…………………….…13分
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