第十五届华杯赛全国总决赛集训题几何.docx
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第十五届华杯赛全国总决赛集训题几何
第十五届“华杯赛”全国总决赛赛前集训题(几何)
一、基本概念;直线、射线、线段;
任意四边形、任意三角形;
梯形、平行四边形、长方形、正方形、三角形、任意三角形;
圆、直径、半径、圆周率、扇形。
二、基本定理及公式:
三角形、四边形内角和;周长公式、面积公式。
漏斗定理
鸟头定理
对角面积相乘互等定理
三、常用求面积方法:
1、直接计算法:
已知大正方形的边长是4厘米,阴暗部分面积是14平方厘米,求小正方形的边长是多少?
(答案:
3厘米)
如图,长方形被分成面积相等的4部分。
X=( 6 )厘米。
2、排除法:
已知在平行四边形ABCD中,E是BC边的中点,F是CD边的中点,求阴影部分面积是平行四边形面积的几分之几?
解:
SABE=SADF=1/4S平行四边形
SEFC=1/8S平行四边形
所以SEFA=3/8S平行四边形
正方形ABCD的边长为6厘米,AC=3AE,BC=3CF,求阴影部分的面积。
解:
连接BE,SBEC=SDEC=1/3S正方形,SDCF=1/6S正方形,SEFD=(1/3+1/3-1/6)S正方形=1/2S正方形,=18cm2
3、分割法:
如左下图,求阴影部分面积?
解:
S阴影=8×12÷2-(8-2)×6÷2=30
如右上图,图中的每个小正方形的面积都是2平方厘米,则图中阴影部分的面积是____平方厘米。
解:
设小正方形的边长为a,S阴影=(2a+4a)×3a÷2+2a2-a2-a2=9a2
因为a2=2,所以S阴影=18.
4、中介法:
已知,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,已知三角形AFH的面积为6平方厘米,求三角形CDH的面积.
解:
设大、小正方形的面积分别是x、y,显然SCEF=(x+y)x÷2,S梯形EFAD=(x+y)x÷2
所以SAFH=SDCH=6cm2
如右上图,已知三角形ABE的面积是3,BEC的面积是5,求阴影面积。
解:
设正方形总面积为S,则SAED+SBEC=S/2,又因为SABE+SBED+SAED=S/2,所以SAED+SBEC=SABE+SBED+SAED,SBED=SBEC-SABE=2。
5、拼补法:
如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7,BC=3,三个角的度数:
角B和D是直角,角A是45°.求这个四边形的面积.
解:
延长DC、AB交于E点,三角形ADE和CBE都是等腰直角三角形。
所以SABCD=SADE-SCBE=7*7/2-3*3/2=20。
如右上图,正方形ABCD的各个顶点都落在直角三角形AEF的各边上,已知正方形ABCD的面积是36,DE的长是4,则线段BF的长是。
解:
直角三角形DEC与AEF相似,所以4:
10=6:
(6+BF),BF=9
6、推磨法:
如图4,用标号为1,2,3,4,5的五种大小不同的正方形拼成一个大方形,大长方形的长和宽分别是18,14,则标号为5的正方形的面积是__2____。
解:
设正方形1、2、3、4、5的边长分别是x1、x2、x3、x4、x5,显然
x1+x2=18,x2+x3=14,x4+x5=x3,x3+3x4=18,x1+x4=14
所以x1=10、x2=8、x3=6、x4=4、x5=2.
如右上图所示,一个长方形恰好可以分成7个大小不同的小正方形,其中正方形A和正方形B的边长分别为4厘米和7厘米,长方形的面积是多少?
图看不明白。
7、特殊性质法:
两个等腰直角三角形ABC和DBF的直角边的长分别是8厘米和6厘米,DE与AB垂直,阴影部分的面积是多少?
解:
三角形ABC、BDF、BDE、ADG、CEG均为等腰直角三角形,CF=2;设CE=x,
因为:
CE:
FE=CG:
FD,所以x:
(x+2)=x:
6,(x+2)=6,x=4,S阴影=(4+6)*2/2=10cm2
右上图是一块正方形的地板砖示意图,各部分相互对称,红色小正方形的面积是4,四块绿色小三角形的面积总和是18,求大正方形ABCD的面积。
8、旋转法:
左下图,等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB,AB=5厘米,BE=2厘米,求图中阴影部分的面积。
在三角形ABC中,∠ABC=90度,AC=8厘米,BC=6厘米,分别以AC、BC为边作正方形AEDC、BCFG,则三角形BEF的面积是。
9、加减法:
如图所示,7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分,图中空白部分的面积是()平方厘米。
在右图11×15的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?
10、代数法:
如左下图3,D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点,E和F两点将BC边平均分为三段。
连接CD、AE和AF三条线段,将三角形ABC分为了六个部分。
如果假设三角形ABC的面积为1,那么这六个部分的面积分别是多少?
如右上图:
在三角形ABC中,DC:
BD=2:
5,BO:
OE=4,那么,CE:
EA=()。
11、比例法:
已知在矩形ABCD中,三角形EFD的面积是4,三角形DFC的面积是6,求矩形ABCD的面积是多少?
在右上图中,三角形ABC的面积是1,D、E、F分别是所在边上的三等分点,求图中阴影部分的面积。
12、最小单元法:
三角形ABC和三角形DEC都是等腰直角三角形,A和E是直角顶点,阴影部分是正方形,如果三角形DEC的面积是24平方厘米,那么三角形ABC的面积是平方厘米。
如右上图是一个长方形,其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成(如图b)。
那么这个长方形的面积是( )
13、弦图法:
如下图a是一个正方形网格,每个小正方形的面积都是1,请在网格上画一个面积是5的正方形。
如下图,CDEF是正方形,ABCD是等腰梯形,它的上底AD=23厘米,下底BC=35厘米。
求三角形ADE的面积。
14、混元法:
左下图,正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
右上图,阴影部分面积是30平方厘米,求圆环面积。
15、中间凿洞法:
如下左图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH,中间阴影为正方形,已知甲、乙、丙、丁四个长方形的面积和是32平方平方厘米,四边形ABCD的面积是20平方厘米,求正方形EFGH的周长是多少?
如图,正方形ABCD的边长为10厘米,GI平行于AD,FJ平行于AB,EF=2厘米,GH=3厘米,则四边形EIJH的面积是______平方厘米。
16、容斥原理法:
四边形ABCD中,M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点,若四个小三角形AHQ,BEM,CFN,DGP的面积和为5平方米,阴影面积是多少?
求阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
17、知微见著法:
已知E、F、H、G分别正方形ABCD边上的中点,求图中阴影部分与空白部分的面积比是多少?
一个考古发现的正多边形残片,如图所示:
已知,正多边形残片中的∠EAB=∠ZFBA=∠165°,请你判定这个正多边形的边数。
18、高屋建瓴法:
长方形ABCD周长为16米,在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形,(如左下图)已知这四个正方形的面积的和是68平方米,求长方形ABCD的面积。
图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,,它们的公共点是该正方形的中心,如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的面积是多少?
19、等值对应法:
如下左图,在长方形ABCD中,EFGH是正方形,已知AF=10厘米,HC=7厘米,求长方形ABCD的周长。
如右上图,四边形ABCD是一个长方形,它的面积是770平方厘米,又知图中阴影部分的面积之和是451平方厘米,那么四边形EFGO的面积是多少?
20、平推法:
一条白色的正方形手帕,它的边长是18厘米,手帕上横竖各有二道红条,如图所示,红条宽都是2厘米。
问:
这条手帕白色部分的面积是多少?
有红黄绿三个大小一样的正方形纸片,放在一个底面为正方形的盒内,它们之间互相迭合,如下左图,已知露在外面的部分中,红色为20,黄色为12,绿色为10,求正方形盒底的面积。
已知矩形ABCD的面积是24平方平方厘米,三角形ADM、CBN的面积之和是7.8平方厘米,求四边形PMON的面积是平方厘米。
一个正方形,一边截去6厘米,另一边截去2厘米,剩下的长方形面积比原正方形的面积少68平方厘米,求原正方形的边长。
如图,三角形ABC中,∠ACB=90O,分别以AC,BC,AB为边向形外作正方形ACGF,BCHK和ABDE,正方形ABDE的面积是25平方厘米,正方形BCHK的面积是9平方厘米,问:
图中阴影四边形AFBD的面积是多少平方厘米?
第8题图
补充:
2007的2007次方是A、A的各位数字之和是B、B的各位数字之和是C、C的各位数字之和是D、求D是的多少?
解:
任何十进制数用9除其余数与该数的各位数之和用9除其余数相同,如3286除9余数为1,该数的各位数之和为3+2+8+6=19,19除9余数也为1,这一点很容易证明.
A=2007^2007<(1000×3)^2007=(1000^2007)×(3^2007)
<(1000^2007)×(3^2008)
=(1000^2007)×(9^1004)
<(1000^2007)×(10^1004)
=10^7025,
故B<7025*9=63225,C<6+4*9=42,C的各位数之和D<4+9=13,2007^2007用9除其余数与B用9除其余数相同,B用9除其余数又与C用9除其余数相同,C用9除其余数又与D用9除其余数相同,故D用9除其余数就等于2007^2007用9除其余数,下面需求2007^2007用9除其余数,
而2007^2007=(9×223)^2007,显然能被9整除,
在D<13的数中,能被9整除的只能是9,故D=9。
一个五位数恰好等于他与各位数字和的2009倍,则这个五位数是多少?
解:
这个五位数必是9;2009的倍数:
2009*9=18081;经检验得:
2*18081=36162:
(3+6+1+6+2)*2009=36162;(36162是所求的数)
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