小六数学第9讲整除和位值原理.docx
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小六数学第9讲整除和位值原理
第九讲整除和位值原理
整除问题
整除是我们很早接触的一个概念,对于它的性质我们也比较熟悉,不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性,仍然是值得我们不断学习和思考的.下面我们先回顾一下相关知识:
1.整除的概念
a,b,c为整数,且,如果a÷b=c,即整数a除以整数b,得到的商是整数c且没有余数,那么称作n能被b整除,或者是说b能整除a,记作;否则,称为a不能被b整除,或是说b不能整除n.如果整数a能够被整数b整除,则a叫做b的倍数,b叫做a的约数.
2.整除的基本性质
①如果a,b都能够被c整除,那么它们的和与差也能够被c整除.即:
如果,那么
②如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:
如果,那么
③如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.即:
如果
④如果b,c都能够整除,且b与c互质,那么b与c的乘积能整除a.即:
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0,2,4,6,8;
②能被3(或9)整除的数的特征:
各位的数字之和能够被3(或9)整除;
③能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能够被4(或25)整除;
④能被5整除的数的特征:
个位数字是0或5;
⑤能被7(或11、13)整除的数的特征:
一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除;
⑦能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能够被8(或125)整除;
⑧能被11整除的数的特征:
奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除.
4.位值原理
同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数也不同。
也就是说,每一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”。
例如“5”,写在个位上,就表示5个一;写在十位上,就表示5个十;写在百位上,就表示5个百;等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。
用阿拉伯数字和位值原理,可以表示出一切整数。
例如,926表示9个百,2个十,6个一,即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要,有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数,如:
表示a个百,b个十,c个一。
其中a可以是1~9中的数码,但不能是0,b和c是0~9中的数码。
5.位值原理的表达形式
以三位数为例:
上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数,用以区别
1.理解整除的概念,会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义,能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质,并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。
例1:
证明:
当时,必是9的倍数。
分析:
与的数字顺序恰好相反,我们称与互为反序数,互为反序数的两个数之差必能被9整除。
例2:
有一个两位数,把数码1加在它的前面可以得到一个三位数,加在它的后面也可以得到一个三位数,这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
分析与解:
由位值原则知道,把数码1加在一个两位数前面,等于加了100;把数码1加在一个两位数后面,等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。
由题意得到
(10x+1)-(100+x)=666,
10x+1-100-x=666,
10x-x=666-1+100,
9x=765,
x=85。
原来的两位数是85。
例3:
a,b,c是1~9中的三个不同的数码,用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍?
分析与解:
用a,b,c组成的六个不同数字是
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加,得到
所以,六个数的和是(a+b+c)的222倍。
例4:
用2,8,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少?
分析与解:
由例3知,可以组成的六个三位数之和是(2+8+7)×222,
所以平均值是(2+8+7)×222÷6=629。
例5:
一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大6,求这个两位数。
分析与解:
设这两个数为,则有
(a+b)×5-(10a+b)=6,
5a+5b-10a-b=6,
4b-5a=6。
当b=4,a=2或b=9,a=6时,4b-5a=6成立,所以这个两位数是24或69。
例6:
将一个三位数的数字重新排列,在所得到的三位数中,用最大的减去最小的,正好等于原来的三位数,求原来的三位数。
分析与解:
设原来的三位数的三个数字分别是a,b,c。
若
由上式知,所求三位数是99的倍数,可能值为198,297,396,495,594,693,792,891。
经验证,只有495符合题意,即原来的三位数是495。
A
1.一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,则满足条件的最小自然数是.
答案:
37
2.有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质,给出下面四个判断:
①(a+c)2不能被b整除,②a2+c2不能被b整除:
③(a+b)2不能被c整除;④a2+b2不能被c整除,其中,不正确的判断有().
A.4个B.3个C2个D.1个
答案:
A
3.已知7位数是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.
答案:
符合条件的7位数是:
1287216,1287936,1287576
4.
(1)一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被3除余2,被2除余1,则N的最小值是.
(北京市竞赛题)
(2)若1059、1417、2312分别被自然数x除时,所得的余数都是y,则x—y的值等于().
A.15B.1C.164D.174
(“五羊杯”竞赛题)
(3)设N=,试问N被7除余几?
并证明你的结论.(安徽省竞赛题)
答案:
5.盒中原有7个球,一位魔术师从中任取几个球,把每一个小球都变成了7个小球,将其放回盒中,他又从盒中任取一些小球,把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中,如此进行,到某一时刻魔术师停止取球变魔术时,盒中球的总数可能是()
A.1990个B.1991个C1992个D.1993个
答案:
D
B
6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?
答案:
30、60、90三个.
7.某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”.证明:
这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.
答案:
显然,号码为9999是幸运券,除这张外,如果某个号码n是幸运券,那么号m=9999—n也是幸运券,由于9是奇数,所以m≠n.由于m+n=9999相加时不出现进位,这就是说,除去号码9999这张幸运券外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的整倍数,而101│9999,故知所有幸运券号码之和也能被101整除
思考:
“如果某个号码n是幸运券,那么号m=9999—n也是幸运券”,这是解决问题的关键,请你考虑这句话合理性.
若六位数是99的倍数,求整数a、b的值.
∵能被9整除,∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除,得3+a+b=9kl(k1为整数).①
又能被11整除,∴8—1+a—b+9—3=13+a—b能被11整除,得2+a—b=11k2(k2为整数).②
∵0≤a,b≤9∴0≤a+b≤18,-9≤a-b≤9.
由①、②两式,得3≤<9k1≤21,-7≤11k2≤1l,
知k1=1,或k1=2;k2=0,或,而3+a+b与2+a—b的奇偶性相异,而k1=2,k2=1不符合题意.
故把k1=1,k2=0代人①、②两式,解方程组可求得a=2,b=4.
8.写出都是合数的13个连续自然数.
答案:
方法一:
直接寻找
从2开始,在自然数2,3,4,5,6,…中把质数全部划去,若划去的两个质数之间的自然数个数不小于13个,则从中取13个连续的自然数,就是符合要求的一组解,例如:
自然数114,115,116,…,126就是符合题意的一组解.
方法二:
构造法
我们知道,若一个自然数a是2的倍数,则a+2也是2的倍数,若是3的倍数,则a+3也是3的倍数,…,若a是14的倍数,则a+14也母14的倍数,所以只要取a为2,3,…,14的倍数,则a+2,a+3,…a+14分别为2,3,…,14的倍数,从而它们是13个连续的自然.
所以,取a=2×3×4×…×14,则a+2,a+3,…,a+14必为13个都是合数的连续的自然数.
9.已知定由“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式20+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:
这个定理中的整数n的最大可能值是多少?
请证明你的结论.
答案:
先将a+b+c化为3(a+2b)的形式,说明a+b+c是3的倍数,然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论得出a+2b也为3的倍数.
∵a+b+2a+5b=3(a+2b),
显然,3│a+b+c
若设a、b被3整除后的余数分别为ra、rb,则ra≠0,rb≠0.
若ra≠rb,则ra=2,rb=1或ra=1,rb=2,则2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2);3(2P+59+4),即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾.
∴只有ra=rb,则ra=rb=1或ra=rb=2.
于是a+2b必是3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.
又2a+5b=2×11十5×5=47时,
a+b+c=11+5+47=63,
2a+5b=2×13十5×7=61时,
a+b+c=13+7+61=81,
而(63,81)=9,故9为最大可能值.
10.一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“新生数”,试求所有的三位“新生数”.
答案:
将所有的三位“新生数”写出来,然后设出最大数、最小数,求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值,再进行筛选确定.
11.设N是所求的三位“新生数”,它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等),将其各位数字重新排列后,连同原数共得6个三位数:
,不妨设其中的最大数为,则最小数为.由“新生数”的定义,得N=—=(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a—c).
答案:
由上式知N为99的整数倍,这样的三位数可能为:
198,297,396,495,594,693,792,891,990.这九个数中,只有954-459=495符合条件,故495是唯一的三位‘新生数”.
C
12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行,从左向右从1到11报数,报到11的同学原地不动,其余同学出列;然后,留下的同学再从左向右从1到11报数,报到11的同学留下,其余同学出列;留下的同学再从左向左从1到11地报数,报到11的同学留下,其余同学出列.问最后留下的同学有多少?
他们的编号是几号?
答案:
由题意,第一次报数后留下的同学,他们的编号必为11的倍数;第二次报数后留下的同学,他们的编号必为112=121的倍数;第三次报数后留下的同学,他们的编号必为113=1331的倍数.
因此,最后留下的同学编号为1331的倍数,我们知道从1~2002中,1331的倍数只有一个,即1331号,所以,最后留下一位同学,其编号为1331.
13.在一种游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就能说出这个人所想的数.现在设N=3194,请你做魔术师,求出数来.
答案:
将也加到和N上,这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次,所以有+N=222(a+b+c)
从而3194<222(a+b+c)<3194+1000,而a、b、c是整数.
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- 数学 整除 原理