奥数专题裂项法一含答案.docx
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奥数专题裂项法一含答案
奥数专题一一裂项法
(一)
同学们知道:
在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分
母分数后再计算。
(一)阅读思考
111
例如,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,
3412
把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:
11n1n
——=—
nn1n(n1)n(n1)
_n1-n_1
n(n1)n(n1)
1
n(n1)
十111
%=——
n(n1)nn1
F面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
1
1
1
19851986
-1985
1986
1
1
1
19861987
-1986
1987
1
1
1
19871988
-1987
1988
1995199619951996
1_11
19961997-1996一1997
上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这
一来问题解起来就十分方便了。
11111
…•—
1985198619861987198719881995199619961997
1
+
1997
_11
-19851986
11
_+
19971997
像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分
例2.计算:
分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。
12
1_12
12
1223
12
12334
12
123445
12
12100一100101
1
1
1
—+—
++
11
2
123
1
+
12100
Z丄丄.….
99100100101
11111
=2(…)1><22汉33汉499000100X01
111111111
=2(1…)
2233499100100101
1
=2
(1)
101
100=2
101
200
101
99=1—
101
符号所代表的数的数的积是多少?
1
这里1是个单位分数,所以
y
n2
ntn(nt)
111111
分析与解:
减法是加法的逆运算,1丄L就变成-丄—,与
6()£>6()<>
111111
前面提到的等式1丄相联系,便可找到一组解,即-丄
nn+1n(n+1)6742
另外一种方法
111
设n、x、y都是自然数,且x严y,当时,利用上面的变加为减的想法,
nxy
得算式
nx
x-n—定大于零,假定x-n=t0,贝Ux=n•t,代
当t=1时,x=7,y=42当t=2时,x=8,y=24
当t
=3时,
x=9,y
-18
当t
=4时,
x=10,
y=15
当t
=6时,
x=12,
y=10
当t
=9时,
x=15,
y=10
当t
=12时,
x=18,
y=9
当t
=18时,
x=24,
y=8
当t
=36时,
x=42,
y=7
故(
)和<>所
代表的两数和分别为
49,32,27,25。
【模拟试题】(答题时间:
20分钟)
1.尝试体验:
3.已知x、y是互不相等的自然数,当--时,求xy。
18xy
【试题答案】
1.计算:
1
1
1
1
1
+
…
•+
+
12
23
34
9899
99100
111111111
二1…-
22334989999100
1
100
99
100
111
3.已知x、y是互不相等的自然数,当时,求xyo
18xy
Xy的值为:
75,81,96,121,147,200,361。
11+111因为18的约数有1,2,3,6,9,18,共6个,所以有一—一
1818汉(1+1)3636
11211
一——+
1818(12)5427
5427=81
11311
一——+
1818(13)7224
7224=96
11611
=—+
18-18(16)"12621
21126=147
11911
='-f-
18一18(19)_18020
20180=200
111811
=--y-
18一18(118)-19342
19342=361
12311
一——+
1818(23)4530
3045二75
12911
18-18(29)一9922
2299=121
还有别的解法。
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1•丄.1.….1
112123123100
公式的变式
12
12…nn(n_1)
当n分别取1,2,3,……,100时,就有
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