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2MATLAB矩阵及其运算
2MATLAB矩阵及其运算
矩阵是MATLAB数据存储的基本单元,而矩阵的运算是MATLAB语言的核心,在MATLAB语言系统中几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的。
下面重点介绍矩阵的生成、矩阵的基本运算和矩阵的数组运算。
2.1变量和数据操作
2.1.1变量与赋值
1.变量命名
在MATLAB6.5中,变量名是以字母开头,后接字母、数字或下划线的字符序列,最多63个字符。
在MATLAB中,变量名区分字母的大小写。
2.赋值语句
(1)变量=表达式
(2)表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子,其结果是一个矩阵。
例2-1计算表达式的值,并显示计算结果。
在MATLAB命令窗口
输入命令:
x=1+2i;
y=3-sqrt(17);
z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))
其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量,分别代表代表圆周率π和虚数单位。
输出结果是:
2.1.2预定义变量
在MATLAB工作空间中,还驻留几个由系统本身定义的变量。
例如,用pi表示圆周率π的近似值,用i表示虚数单位。
预定义变量有特定的含义,在使用时,应尽量避免对这些变量重新赋值。
2.1.3内存变量的管理
1.内存变量的删除与修改
MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。
在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。
当选中某些变量后,再单击Delete按钮,就能删除这些变量。
当选中某些变量后,再单击Open按钮,将进入变量编辑器。
通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素,也可修改变量中的具体元素。
clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。
who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。
who命令只显示出驻留变量的名称,whos在给出变量名的同时,还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。
2.内存变量文件
利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来,扩展名是.mat。
MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。
常用格式为:
save文件名[变量名表][-append][-ascii]
load文件名[变量名表][-ascii]
其中,文件名可以带路径,但不需带扩展名.mat,命令隐含一定对.mat文件进行操作。
变量名表中的变量个数不限,只要内存或文件中存在即可,变量名之间以空格分隔。
当变量名表省略时,保存或装入全部变量。
-ascii选项使文件以ASCII格式处理,省略该选项时文件将以二进制格式处理。
save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。
2.1.4MATLAB常用数学函数
MATLAB提供了许多数学函数,函数的自变量规定为矩阵变量,运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上,因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。
函数使用说明:
(1)三角函数以弧度为单位计算。
(2)abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。
(3)用于取整的函数有fix、floor、ceil、round,要注意它们的区别。
(4)rem与mod函数的区别。
rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。
2.1.5数据的输出格式
MATLAB用十进制数表示一个常数,具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。
在一般情况下,MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。
数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。
format命令的格式为:
format格式符
其中格式符决定数据的输出格式
2.2MATLAB矩阵
输入矩阵时要以“[]”为其标识符号,矩阵的所有元素必须都在括号内。
矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔,行与行之间用分号或回车键分隔。
矩阵大小不需要预先定义。
矩阵元素可以是运算表达式。
若“[]”中无元素表示空矩阵。
2.2.1矩阵的建立
1.直接输入法
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。
具体方法如下:
将矩阵的元素用方括号括起来,按矩阵行的顺序输入各元素,同一行的各元素之间用空格或逗号分隔,不同行的元素之间用分号分隔。
2.利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵,可以为它专门建立一个M文件。
下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。
例:
单击“
”,打开MATLAB文本编辑器(或打开Windows记事本),输入:
[1,2,3,4,5;6,7,8,9,0]
保存为:
A.m
在MATLAB命令窗口中输入:
A
3.利用冒号表达式建立一个向量
冒号表达式可以产生一个行向量,一般格式是:
e1:
e2:
e3
其中e1为初始值,e2为步长,e3为终止值。
例:
a=1:
2:
8
在MATLAB中,还可以用linspace函数产生行向量。
其调用格式为:
linspace(a,b,n)
其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素,n是元素总数。
显然,linspace(a,b,n)与a:
(b-a)/(n-1):
b等价。
4.外部文件读入法
MATLAB语言也允许用户调用在MATLAB环境之外定义的矩阵。
可用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵,矩阵元素之间以特定分断符分开,并按行列布置。
可用load函数调用:
Load+文件名[参数]
Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据,并将输入的数据赋给以文件名命名的变量,如果不给定文件名,则将自动认为matlab.mat文件为操作对象,如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时,系统将会报错。
例如:
事先在记事本中建立文件:
111
123
136
以data1.txt保存.
在MATLAB命令窗口中输入:
>>loaddata1.txt
>>data1
data1=
111
123
136
2.2.2矩阵的拆分
1.矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素,例如:
A(3,2)=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。
矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。
在MATLAB中,矩阵元素按列存储,先第一列,再第二列,依次类推。
例如,输入:
A=[1,2,3;4,5,6]
A(3)
则输出:
显然,序号(Index)与下标(Subscript)是一一对应的,以m×n矩阵A为例,矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。
2.矩阵拆分
(1)利用冒号表达式获得子矩阵
①A(:
j)表示取A矩阵的第j列全部元素;
A(i,:
)表示A矩阵第i行的全部元素;
A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。
②A(i:
i+m,:
)表示取A矩阵第i~i+m行的全部元素;
A(:
k:
k+m)表示取A矩阵第k~k+m列的全部元素;
A(i:
i+m,k:
k+m)表示取A矩阵第i~i+m行内,并在第k~k+m列中的所有元素。
此外,还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标,从而获得子矩阵。
end表示某一维的末尾元素下标。
例:
试看结果
A=[1,2,3;4,5,6]
A(2,end)
(2)利用空矩阵删除矩阵的元素
在MATLAB中,定义[]为空矩阵。
给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。
注意,X=[]与clearX不同,clear是将X从工作空间中删除,而空矩阵则存在于工作空间中,只是维数为0。
2.2.3特殊矩阵
1.通用的特殊矩阵
常用的产生通用特殊矩阵的函数有:
zeros:
产生全0矩阵(零矩阵)。
ones:
产生全1矩阵(幺矩阵)。
eye:
产生单位矩阵。
rand:
产生0~1间均匀分布的随机矩阵。
randn:
产生均值为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵。
例建立一个3×3零矩阵:
zeros(3)
建立一个3×2零矩阵:
zeros(3,2)
设A为2×3矩阵,建立一个与矩阵A同样大小零矩阵:
A=[123;456];%产生一个2×3阶矩阵A
zeros(size(A))%产生与矩阵A同样大小的零矩阵
例建立随机矩阵:
在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵:
x=20+(50-20)*rand(5)
均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。
y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)
例:
它在矩阵总元素保持不变的前提下,将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵(注意:
不是转置):
A=[123;456]
reshape(A,3,2)
2.用于专门学科的特殊矩阵
(1)魔方矩阵
魔方矩阵:
每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。
n阶魔方阵,其元素由1,2,3,…,n2个整数组成。
求魔方矩阵的函数magic(n)。
例将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中,使其每行每列及对角线的和均为565。
M=100+magic(5)
(2)范得蒙矩阵
函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。
例A=vander([1;2;3;5])
(3)希尔伯特矩阵
希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵,其元素为1/(i+j-1),ij分别为其行标和列标正定,且高度病态(即:
任何一个元素发生一点变动,整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化),病态程度和阶数相关。
生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。
希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)。
例求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。
formatrat%以有理形式输出
H=hilb(4)
H=invhilb(4)
(4)托普利兹矩阵
托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外,其他每个元素都与左上角的元素相同。
生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y),它生成一个以x为第一列,y为第一行的托普利兹矩阵。
这里x,y均为向量,两者不必等长。
toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。
例T=toeplitz(1:
6)
(5)已知矩阵A的特征多项式f(x),求A(都译为“伴随矩阵”,不妥)
例已知矩阵A的特征多项式为:
x3-7x+6,求A:
p=[1,0,-7,6];
compan(p)
(6)帕斯卡矩阵
由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例求(x+y)5的展开式。
输入命令:
pascal(6)
2.3MATLAB矩阵运算
2.3.1算术运算
1.基本算术运算
MATLAB的基本算术运算有:
+(加)、-(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。
注意,运算是在矩阵意义下进行的,单个数据的算术运算只是一种特例。
(1)矩阵加减运算:
A+B、A-B
(2)矩阵乘法:
A*B
(3)矩阵除法。
设A是非奇异方阵
左除:
A\B等价于A的逆左乘B,也就是inv(A)*B;
右除:
B/A等价于A的逆右乘B,也就是B*inv(A)。
注:
对于含有标量的运算,两种除法运算的结果相同,如3/4和4\3有相同的值,都等于0.75。
又如,设a=[10.5,25],则a/5=5\a=[2.10005.0000]。
(4)矩阵的乘方:
A^x
2.点运算
在MATLAB中,有一种特殊的运算,因为其运算符是在有关算术运算符前面加点,所以叫点运算。
点运算符有.*、./、.\和.^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算,要求两矩阵的维参数相同。
2.3.2关系运算
MATLAB提供了6种关系运算符:
<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、~=(不等于)。
它们的含义不难理解,但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。
关系运算符的运算法则为:
(1)当两个比较量是标量时,直接比较两数的大小。
若关系成立,关系表达式结果为1,否则为0。
(2)当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时,比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行,并给出元素比较结果。
最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由0或1组成。
(3)当参与比较的一个是标量,而另一个是矩阵时,则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较,并给出元素比较结果。
最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由0或1组成。
例2-8产生5阶随机方阵A,其元素为[10,90]区间的随机整数,然后判断A的元素是否能被3整除。
(1)成5阶随机方阵A。
A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)
(2)判断A的元素是否可以被3整除。
P=rem(A,3)==0
其中,rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。
此时,0被扩展为与A同维数的零矩阵,P是进行等于(==)比较的结果矩阵。
2.3.3逻辑运算
MATLAB提供了3种逻辑运算符:
&(与)、|(或)和~(非)。
若参与逻辑运算的是两个同维矩阵,那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。
最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵,其元素由1或0组成。
若参与逻辑运算的一个是标量,一个是矩阵,那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。
最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵,其元素由1或0组成。
在算术、关系、逻辑运算中,算术运算优先级最高,逻辑运算优先级最低。
例立矩阵A,然后找出大于4的元素的位置。
解:
矩阵A:
A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]
find(A>4)
2.4矩阵分析
2.4.1对角阵与三角阵
对角阵
(1)提取矩阵的对角线元素
设A为m×n矩阵,diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素,产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。
diag(A)函数还有一种形式diag(A,k),其功能是提取第k条对角线的元素。
(2)构造对角矩阵
diag(V)将产生一个以V为对角线上元素的m×m对角矩阵
例先建立5×5矩阵A,然后将A的第一行元素乘以1,第二行乘以2,…,第五行乘以5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];
D=diag(1:
5);
D*A%用D左乘A,对A的每行乘以一个指定常数
三角阵
(1)上三角矩阵:
triu(A):
提取矩阵A的上三角阵的MATLAB函数;
triu(A,k):
求矩阵A的第k条对角线以上的元素。
例如,提取矩阵A的第2条对角线以上的元素,形成新的矩阵B。
(2)下三角矩阵
tril(A):
提取矩阵A的下三角矩阵的函数;
tril(A,k),其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
2.4.2矩阵的转置与旋转
1.矩阵的转置:
转置运算符是单撇号(‘)。
2.矩阵的旋转:
利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º的k倍,当k为1时可省略。
3.矩阵的左右翻转:
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换,第二列和倒数第二列调换,…,依次类推。
MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。
4.矩阵的上下翻转:
对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。
2.4.3矩阵的逆与伪逆
1.矩阵的逆:
inv(A)。
例用求逆矩阵的方法解线性方程组。
Ax=b
其解为:
x=A-1b
2.矩阵的伪逆
如果矩阵A不是一个方阵,或者A是一个非满秩的方阵时,矩阵A没有逆矩阵,但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B,使得:
A·B·A=A
B·A·B=B
此时称矩阵B为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。
在MATLAB中,求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。
2.4.4方阵的行列式
求方阵A的行列式的值:
det(A)。
2.4.5矩阵的秩与迹
矩阵的秩:
rank(A)。
矩阵的迹:
trace(A)。
2.4.6向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
范数有多种方法定义,其定义不同,范数值也就不同。
常用范数:
1、向量的范数
1-范数:
║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数:
║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2
∞-范数:
║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
其中2-范数就是通常意义下的距离。
向量的3种常用范数及其计算函数
(1)norm(V)或norm(V,2):
计算向量V的2—范数。
(2)norm(V,1):
计算向量V的1—范数。
(3)norm(V,inf):
计算向量V的∞—范数。
2.矩阵的范数
1-范数:
║A║1=max{∑|ai1|,∑|ai2|,……,∑|ain|}
2-范数:
║A║2=A的最大奇异值
=(max{λi(A^H*A)})^{1/2}
(谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H为A的转置共轭矩阵);
∞-范数:
║A║∞=max{∑|a1j|,∑|a2j|,...,∑|amj|}
MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数,其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
2.4.7矩阵的条件数
在MATLAB中,计算矩阵A的3种条件数的函数是:
(1)cond(A,1)计算A的1—范数下的条件数。
(2)cond(A)或cond(A,2)计算A的2—范数数下的条件数。
(3)cond(A,inf)计算A的∞—范数下的条件数。
2.4.8矩阵的特征值与特征向量
在MATLAB中,计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),常用的调用格式有3种:
(1)E=eig(A):
求矩阵A的全部特征值,构成向量E。
(2)[V,D]=eig(A):
求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成V的列向量。
(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’):
与第2种格式类似,但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量,而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
例2-12用求特征值的方法解方程。
3x5-7x4+5x2+2x-18=0
p=[3,-7,0,5,2,-18];
A=compan(p);%A的伴随矩阵
x1=eig(A)%求A的特征值
x2=roots(p)%直接求多项式p的零点
2.5矩阵的超越函数
1.矩阵平方根(解矩阵方程X2=A):
sqrtm(A)
例:
A=[123;456;7,8,9]
sqrtm(A)
2.矩阵对数(计算矩阵A的自然对数lnA):
logm(A)
例:
A=[123;456;7,8,9]
logm(A)
3.矩阵指数(求矩阵指数eA):
expm(A):
例:
A=[011;200;1,2,1]
Expm1(A)
2.6字符串
在MATLAB中,字符串是用单撇号括起来的字符序列。
MATLAB将字符串当作一个行向量,每个元素对应一个字符,其标识方法和数值向量相同。
也可以建立多行字符串矩阵。
字符串是以ASCII码形式存储的。
abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。
相反,char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。
例建立一个字符串向量,然后对该向量做如下处理:
(1)取第1~5个字符组成的子字符串。
(2)将字符串倒过来重新排列。
(3)将字符串中的小写字母变成相应的大写字母,其余字符不变。
(4)统计字符串中小写字母的个数。
命令如下:
ch='ABc123d4e56Fg9';
subch=ch(1:
5)%取子字符串
revch=ch(end:
-1:
1)%将字符串倒排
k=find(ch>='a'&ch<='z');%找小写字母的位置
ch(k)=ch(k)-('a'-'A');%将小写字母变成相应的大写字母
char(ch)
length(k)%统计小写字母的个数
与字符串有关的另一个重要函数是eval,其调用格式为:
eval(t)
其中t为字符串。
它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。
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