线性代数第二章习题答案.docx
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线性代数第二章习题答案
解:
由于A=B得<
f3x-y=2
2x+3=5,
Z—2=0
V1'
f-12}
1.i^A=
、B=\
、10丿
l04丿
求
(1)2A-5B;
解:
(1)2A-5B=
2
(2)AB-BA=\
<2
2
3
0
(3)A2-B2
-1
0
解:
3A-2B=3
(2)AB-BA;
*1
0
2
(3)A2-B1.
4
2
0人04
2
1
0人1
3
-2
3
2
4
0I
12丫-1
04Ao
2
0
1
0
2\
-5
0
(_2
10、
20;
8、
2」
9
2
0
4
-1
0
4
1
冇
3
-2
3
-2
3
-3
2
3
-3
2
2
0
-5
-1
4丿
2
0
-5
-8、
-20,
0广
<2
-29、
-52,
一4、
-15.•
胜1场得1分,
负一场得0分,
使用矩阵丧示输赢状况,并排序.
1
2
3
4
5
6
1
‘0
1
0
1
1
P
2
0
0
0
1
1
1
解:
3
1
1
0
1
0
0
>
选手按胜多员少排序为:
1,234,6・
4
0
0
0
0
1
1
5
0
0
1
0
0
1
6
、0
1
0
0
0
0>
1
3兀一"
12)
2•诛矩阵A=
B=
(2x+3
0
/
〔5z-2丿-
习题2-1
1・由6名选手参加乒乓球比赛,成绩如下:
选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3;选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3;选手3胜选手1、2、4而员于选手5、6;选手4胜选手5.6而负于选手1、2、3;选手5胜选手3.6而员于选手1、2、4;选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5.若
x=1
解得:
题2-2
‘-3
6
9
3、
r8
6
4
-2、
=11
0
5
5、
0
9
-6
3
—
10
-6
0
2
=
-10
15
-6
1
」2
0
9
6丿
、2
4
-10
0丿
(10
-4
19
6丿
求
‘1
2
1
2、
(4
3
2
1
3.设4=
21
2
1
B=
-2
1
-2
1
2
3
4>
10
\
-1
0
-L
4
2
4、
r12
9
6
3、
厂14
13
8
7]
4
2
4
2
+
-6
3
-6
3
=
-2
5
-2
5
、2
4
6
8>
3
-3
0
一3丿
<2
1
6
5丿
由A-X=B得,
1
2
1
2)
<4
3
2
1、
‘_3-1
-1
r
X=A-B=
2
1
2
1
—
-2
1
-2
1
=
4
0
4
0
<1
2
3
4J
<0
-1
0
-L
<1
3
3
5丿
由(2A-y)+2(B-y)=o得,
"10
10
厂4
3
1丫7、
^4x74-3x2+1x1、
(1)
1
-2
3
2
=
lx7+(-2)x2+3xl
=
6
<5
7
0>
丄
k5x7+7x2+0xl)
4.计算下列矩阵的乘积:
⑶
(1
23]2
(2}
"2x(-1)2x2)
'-24、
1
(-12)=
1x(-1)1x2
=
-22
3
<3x(-1)3x2丿
1—36丿
⑶
11丿
3
2
1
(1)3A—B;
(2)24+3〃;
5
2
1
2、
'4
3
2
1
解:
(1)3A-B=3
2
1
2
1
—
-2
1
-2
1
2
3
%
0
\
-1
0
-b
(3)若X满足A—求X;
(4)若丫满足(24—Y)+2(B—Y)=O,求卩・
'3
6
3
6、
14
3
2
1、
<-1
3
1
5、
6
3
6
3
—
-2
1
-2
1
=
8
2
8
2
<3
6
9
12丿
0
-1
0
-b
<3
7
9
13丿
2A+3B=2
(4
-2
、°
3
1
-1
2
-2
0
1
-L
=1x3+2x2+3x1=10;
-1-3
一2丿
14
2xl+lx0+4xl+0x42x3+lx(—l)+4x(—3)+OxO2x2+lx2+4xl+0x(-2)、Jxl+(—l)xO+3x1+4x4lx3+(-l)x(-l)+3x(-3)+4xOlx2+(-l)x2+3x1+4x(-2);"6-710]
<20-5-5'
⑸*x2
12
«13
。
23
■
32
(anx}+a2]x2+a3,x3
«l2Xj+Cl22X2+(t32X3Cl\3X\+a23X2+a33X3
x2
勺丿
=(anx}+a2]x2+a3[x3)x}+(anx}+a22x2+a32x3)x2+(al3x{+a23x2+a33x3)x3
=^nx\2+(®2+^21)X1X2+(勺3+如1)召勺+a22x2"+(a23+ai2)x2x3+«33x32o
(\
2
1
0、
0
3
1
fl
2
5
2
0
1
0
1
0
1
2
—
•1
0
1
2
-4
(6)
—
0
0
2
1
0
0-
-2
3
0
0-4
3
、0
0
0
3丿
I
0
0
0
—
3J
、0
0
0
-9
a
1
0、
5•诛A=
0
2
1
>
求4
3
■
<0
0
/
(2
1
0
••
/Az
1
0、
<2
—
2z
\
1
解:
"=
0
2
1
0
).
1
=
0
A2
22
0
A
)
<0
0
2丿
0
0
2;.
0)
3z2
3x、
A3=A2A=
0
22
22
02
1
=
0
;.3
322
0
0
100
0
0
23
/
‘10、
rl0、
V30〕
B=
02
、c=
02
J20;
r
辽0丿
、45,
6•设A=
(1)求AB7ZAC;
(2)如杲AB=AC,畏否必有B=C?
(3)求沪八.
d3
0)
0、
(16\
"23
0、
0、
(26、
AB=
0
2
=
、AC=
0
2
=
<12
0丿
o>
J勺
J2
o>
、4
5,
J4,
解:
⑴
(2)由
(1)AB=AC,而B^C\
(3)BtAt=(AB)t=
4
1
7・巳知f(X)=X2-X-l,
‘3ir
A=312,求/(A).
(1-10;
"3
1
1
11
3
1
1、
fl
0
0、
解:
f(A)=A2-A-E=
3
1
2
3
1
2
—
3
1
2
—
0
1
0
J
jo丿
J
一10丿
U
-1oj
0
\
0
b
"13
3
5〕
1
\\
0
0、
"9
2
4、
14
2
5
—
3
1
2
—
0
1
0
=
11
0
3
<0
0
-b
J
一1°丿
、°
0
[丿
1
一2,
S・举反例说明下列命題是错误的:
(1)若A2=O,则A=O;
(2)若A1=A,则4=0或4=疋;
(3)若AX=AY,且4HO,则X=Y
1
解:
(1)举例若4=
(\n
(2)举例若A=
lo0
1.
HO,而=0;
-1丿
A1=4而4工0且AhE;
1
(3)举例若A=
l-l
AX=AY,且AhO而XhY。
9•证明:
如杲C4=4C,CB=〃C,则有
(1)(A+B)C=C(A+B);
(2)(AB)C=C(AB)・
证明:
(1)(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B);
(2)(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)
10.设A,B均为"阶矩阵,证明下列命題是等价的:
(1)AB=BA;
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2;
(3)(A-B)2=A2-2AB+B2,
(4)(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)=A2-B1・
证明:
(1)=>⑵闵为AB=劭,所以(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2,
(2)=>
(1)(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2,所以AB=BA;
(1)=>(3)因为AB=K4,所以(A-B)2=A2-AB-BA+B2=A2-2AB+B2
(3)=>
(1)(A-B)2=A2-2AB+B2=A2-AB-BA+B2f所以=
(1)=>(4)闵为=所以(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2
(4)=>
(1)(A+B)(A-B)=A2-AB+BA^B2=A2-B2,所以AB=BA°11•设A与〃晏两个c阶反对称矩阵,证明:
当且仅当4B=—B4时,4B是反对称矩阵.证明:
先证当=时,AB曼反对称矩阵。
闵为(AB)r=BrAr=BA=-AB,所以AB是反对称矩阵。
反之,若AB是反对称矩阵,即(AB)t=-AB,则A〃=—(A〃)7‘二一/卩^7*=-34。
<1
0
T
-1>
COS&
一sin&
(1)
(2)
;(3)
2
1
0
4
3
、sin。
COS&
\
/
、
「3
2-
-5y
z
X
‘1
2
34'
fl
2
3、
rl
2
3、
0
1
23
(4)
2
2
1
;(5)
4
5
6
(6)
0
0
12
3
4
3丿
k7
8
9
z
0
0b
1・判别下列方阵是否可逆,若可逆,
习題2-3
求它们的逆矩阵:
解:
(i)
-1
3
=7^0,故存在,An=3A21=1
A]2=-4A22=1
从而
屮1
‘31、
77
7(一41丿
41
177>
-sin。
cos®
⑵|A|=
COS&
sin&
=1HO,故存在,
Ah=cos0A?
1=sin0Ap=—sin。
A”=cos&
'cos®sin&
、一sin&cosQ
1
⑶卅2
-3
1
0
-5
=2H0,故存在,An=-5,AI2=10,Ah=7,A?
】=2,A22
A23=-52,生]
从而宀计
1
⑷|A|=2
3
r_5
"2
:
5
7
I2
3
1
3
-1
-1
£
2
1
£
2
=2工0,
故4|存在,Aj)=2,A12=—3,Ab=2,A2j=6,A22
A23=2,A3]=-4,A32=5,A33=_2
从而4"=^-A
HI
1
=_3
'"2
1
3
6
9
=0,
一3
-2
5
2
J
故A1不存在。
1
0
0
()
=1工0,故存在,Au=1,Al2=o,A13=0,Al4=0,A2|=-2
生2=1*23=0,也=0,£=1
从而A"=二
\A\
"1
0
0
<0
-2
1
-2
所以
1
-2
V23、
z、
53、
2n
221
20
(53)
、343丿
X/
、31>
1丿
求矩阵X使满足AXB=C.
2•诛A=
3
解:
由1题中的
(4)小題知
A'1
1
_3
I1
-2
2
-1丿
3
-5
-1
2
1
3-21
(\
3、
、(\
1V、
—2
1)
3
5
I3-1
'3
-n
-3-
2
0
=
0
-2
=
10
一4
"2
2
1-52J
一5
2丿
1
1-1
<3
b
X/
<0
2丿
\
z
-10
4>
解下列矩阵方程:
X=AlCBl
"25、
"4-6、
f-24)
B=
,c=\
J3,
<21,
[21丿
3•诛A=
(1)AX=B,
3
-1
(2)XA=B;(3)AXB=C.
-5、
2>
(1)AX=B^X=A}B=
(2)XA=B^X=BA^
-6
1
-5、
2>
2\o
18
<5
-23、
8>
-32、
x}+2x2+3x3=12X]+2x2+5x3=2・3“+5x2+x3=3
解:
(1)
取/<=
-1
4
-2
-1
-2
4
-1
4
-2
=60,
-1'
-2
4)
x=x2,B=11,则原方程组为AX=B
U1丿
1
60
12
-18
<-18
6
11
1
6]
1
lb
..X=A]B=
3
1
1
'15
17、
(3-5)
=2
4、
1
r1
6、
"T
<-12J
<2
b
16
<-2
5
7
8
4>
⑶AXB=CdX=AlCB{
4.利用逆矩阵解下列线性方程组:
2%|_x2-x3=4
(1)
3X]+4x2一2x3=11;
3兀[一2x2+4x3=11
123
1
J23134、
225
=15,A-1=—
13-81
..X=AlB=
0
即“
15
351
41—2丿
O
坷=1X2=0ox3=0
证明(E-A)"1=E+A+A2+・・・+A^
0
1
-1
"123)
(\
T
(2)取4=
225
x=
厶
B=
2
<351,
kX3>
则原方程组为AX=B
5.i^Ak=O(k为正整数),
证明:
因为(E-A)(E+A+A2++
=E+A+A2+--+Ak^-(A+A2+・・・+A^+Ak)=E(由Ak=O)所以(E-A)_,=E+A+A2+…+A“"。
6.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A和A+2E都可逆,并求/T*和(A+2E)-1.证明:
因为A2~A-2E=O可知4•丄(4一E)=E,所以A可逆且A"1=-(A-E);
22叉有A,—A—2E=O得(A+2E)丄(3E—A)=E,所以A+2E可逆且
4
(A+2E)'1=-(3E-A)0
4
3
1
解:
因为AB=A+2B,所以(A-2E)B=A,而A-2E=
3
-1
2
3)
o,\A-2E\=2f
1丿
2
-1
(A-2E)-1=--1
2l.1
r-l33、
,033)
'033、
-113
110
=
-123
、11-L
一123丿
」10丿
B=(A-2E)_,A=1
/
101
8.设A=
020
.AB+E=A2+B,求矩降B.
1°
解:
由于AB+E=A2+B,有(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E)
‘001
(201、
而A-E=
010
且A-E=-1HO,可知A-E可逆,所以B=A+E=030
JOO
I02,
9•诛4*畏〃阶方阵A的伴随矩阵,证明:
(1)若A可逆,则A*=IAIA_1;
(2)若IA1=0,则IA*I=O;
(3)IA*1=1Al^1;
(4)若A可逆,则(A-,)*=(A*r1=—A;
IAI
(5)若A可逆,则(At)*=(A*)t.
证明:
(1)\AA'=\A\E,而A可逆,・・・4*=AT罔etaia-i
(2)IA1=0,当A=0,则A*=O,/.A4=0
当4H0,则由AA^=\^\E=0,/.A=0t盾。
二zC=0
故当|同=0时,有|a-|=0o
(3)若|A|=0由
(2)知卜[=0此时命題也成立,故有|A4|=|A|,,_10
若卅0,則由AA*=|A|E=>|A||A*|=||A||E||=|A|",/.|A*|=|A|"_,综上有|A*|=|A|n_,0
(4).AA4=|A|E,而A可逆,•••(4、尸=占A
\A\
又A-l(A-*r=A-1E=-Le,即(A-1)*=(A*)-'=-l-A
lAllAlIAI
(5)TA可.\At可逆
^AT(ATy=ATE=\A\E,
At(A^t=(AxA)r=(\A\E)t=\A\E
即A7’(AT)*=Ar(A*)T,
r
0
10.设A的伴随矩阵A*=]、0求矩阵B・
・・・(At)*=(A*)t
000、
100I.
且ABA1=BA[+3E,
010
—308,
解:
由ABA}=BAl+3EAB=B+3AAAB=AB+3AA
=>\A\B=AB+3|A|E=>(2E-A)B=6Efl000
‘60
0
而(2E_")T=j
0
01-2
Jz
1-6oo_一o1o
・・.〃=6(2E—")"=
0
0
6
0
0、
0
0
-1丿
11.^P~lAP=A,其中_4
一0、
解: /P[AP=A故4=几仍一—所以4“ 故刖 -1 1 -4V-1 10 4、 3 £ 3 y1+2门31^-1-2" 4+2八 -4-211, ⑵31 .-683 2732、 -684; ■ <14、 .1 '14、 11(一1°1 ii "-10、 3,P= =- A'= = 3 、T-b 0
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- 线性代数 第二 习题 答案