幂级数的部分练习题及答案.docx
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幂级数的部分练习题及答案
题目部分,(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择(10小题,共22.0分)
(2分)[1]
(2分)[2]函数项级数的收敛域是
(A)
(B)
(C)
(D)
答()
(2分)[3]设级数在处收敛,则此级数在处
(A)发散;
(B)绝对收敛;
(C)条件收敛;
(D)不能确定敛散性。
答:
()
(3分)[4]设级数在处是收敛的,则此级数在处
(A)发散;
(B)绝对收敛;
(C)条件收敛;
(D)不能确定敛散性。
答:
()
(2分)[5]设级数的收敛半径是1,则级数在点
(A)发散;
(B)条件收敛;
(C)绝对收敛;
(D)不能确定敛散性。
答:
()
(2分)[6]如果,则幂级数
(A)当时,收敛;
(B)当时,收敛;
(C)当时,发散;
(D)当时,发散;
答()
(2分)[7]若幂级数的收敛半径为R,那么
(A),
(B),
(C),
(D)不一定存在.
答()
(3分)[8]若幂级数在处收敛,在处发散,则
该级数
(A)在处发散;
(B)在处收敛;
(C)收敛区间为;
(D)当时发散。
答()
(2分)[9]如果在点的某个邻域内任意阶可导,那么
幂级数的和函数
(A)必是,(B)不一定是,
(C)不是,(D)可能处处不存在。
答()。
(2分)[10]如果能展开成的幂级数,那么该幂级数
(A)是的麦克劳林级数;
(B)不一定是的麦克劳林级数;
(C)不是的麦克劳林级数;
(D)是在点处的泰勒级数。
答()。
二、填空(54小题,共166.0分)
(2分)[1]函数项级数的收敛域是。
(2分)[2]讨论x值的取值范围,使当_____________时收敛
当_____________时发散
(3分)[3]设级数的部分和函数,
级数的通项。
(2分)[4]级数的和是。
(2分)[5]级数在上的和
函数是。
(3分)[6]设不是负整数,对的值讨论级数的收敛性
得当时,绝对收敛,
当时,条件收敛。
(2分)[7]幂级数的收敛域是。
(3分)[8]幂级数的收敛半径是,和函数是。
(1分)[9]如果幂级数的收敛半径是1,则
级数在开区间内收敛。
(2分)[10]如果,则幂级数在开区间内收敛。
(2分)[11]设幂级数的收敛半径是,
则幂级数的收敛半径是。
(2分)[12]如果幂级数在处收敛,在处发散,则它的收
敛域是.
(5分)[13]幂级数的通项
是,收敛域是。
(6分)[14]幂级数的收敛域是。
(4分)[15]幂级数的收敛区间是。
(4分)[16]幂级数的收敛域是。
(4分)[17]若幂级数和的
收敛半径分别为、,则、具有
关系。
(3分)[18]设,则幂级数
的收敛半径是。
(2分)[19]幂级数的收敛域是,
和函数是。
(3分)[20]幂级数的和函数是。
(3分)[21]幂级数
的收敛域是,和函数是。
(2分)[22]级数的收敛域
是,和函数是。
(2分)[23]若幂级数的收敛半径是,则其
和函数在开区间上是连续的。
(2分)[24]如果幂级数与的收敛半径
分别是、,则级数的收敛
半径是。
(3分)[25]若幂级数的收敛半径是,则
其和函数在开区间内是
可微的,且有逐项求导公式。
(3分)[26]设幂级数的收敛半径是,则其和函数在
开区间上可积,且有逐项求积公式。
(4分)[27]函数的麦克劳林展开成为,其收敛域是。
(3分)[28]函数的麦克劳林展开式为,收敛区间是。
(3分)[29]函数在点的泰勒展开式为,收敛区间是。
(3分)[30]函数的麦克劳林展开式为,收敛域是。
(3分)[31]函数的麦克劳林级数展开式为,收敛域是。
(5分)[32]函数的麦克劳林展开式为,收敛域是。
(6分)[33]函数关于的幂级数为,收敛域是。
(4分)[34]函数的麦克劳林展开式为,收敛域是。
(4分)[35]函数的麦克劳林展开式为
,其收敛域是。
(3分)[36]如果的麦克劳林展开式为
,则。
(2分)[37]函数在点的泰勒级数为
,收敛区间为。
(2分)[38]函数的麦克劳林级数为,
收敛区间为。
(2分)[39]函数的麦克劳林级数为,收敛域为。
(4分)[40]函数的麦克劳林展开式是,。
(3分)[41]函数的麦克劳林展开式为,。
(5分)[42]函数关于x的幂级数是,
。
(4分)[43]函数的麦克劳林展开式为,
=。
(4分)[44]函数的麦克劳林展开式为,
。
(2分)[45]函数关于的幂级数
是,。
(6分)[46]函数的麦克劳林级数为,
。
(3分)[47]将函数展开成形如的幂级数时,收敛域是。
(3分)[48]若函数在点的某一邻域内任意阶可微,设
,那么在该
邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是。
(3分)[49]函数在点的泰勒展开式是,
其收敛域是。
(3分)[50]函数的麦克劳林级数是
,其收敛域是。
(3分)[51]函数的麦克劳林级数是
,其收敛域是。
(3分)[52]根据的幂级数展开式将表示成一个数项级数,该数项级数的前三项(用分数表示)
是。
(2分)[53]级数发散时,的取值范围是。
(2分)[54]利用的幂级数展开式将表示成一个数项级数,该数项级数的第六项(用分数表示)是。
三、计算(36小题,共161.0分)
(3分)[1]设,求级数的和函数。
(3分)[2]设
试求级数的和函数。
(3分)[3]求函数项级数的和函数s(x)。
(4分)[4]求级数在(-1,1)内的和函数。
(4分)[5]设为上的连续函数,级数,
其中
试确定的收敛域及和函数。
(4分)[6]试求幂级数的和函数。
(5分)[7]试求幂级数的收敛域。
(4分)[8]试求级数的收敛域。
(3分)[9]试求级数的收敛域。
(4分)[10]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(4分)[11]试求幂级数的收敛域。
(5分)[12]求幂级数的收敛域。
(4分)[13]已知幂级数的收敛半径,试求的收敛半径。
(5分)[14]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(5分)[15]试求幂级数的收敛域。
(5分)[16]试求幂级数的收敛域。
(5分)[17]试求幂级数的收敛域。
(5分)[18]试求幂级数的收敛域。
(6分)[19]试求幂级数的收敛域。
(5分)[20]试求幂级数的收敛半径。
(6分)[21]试求幂级数的收敛域。
(5分)[22]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(4分)[23]试求幂级数在其收敛域上的和函数。
(5分)[24]试求幂级数在收敛域上的和函数。
(2分)[25]试求级数
的收敛域。
(3分)[26]试求幂级数的收敛半径。
(2分)[27]试求幂级数的收敛半径。
(6分)[28]设,确定的连续区间,
并求积分的值。
(6分)[29]设,确定的连续区间
并计算的值。
(6分)[30]设,,
试用幂级数表示。
(6分)[31]设,
试用幂级数表示。
(6分)[32]设,
试用幂级数表示。
(6分)[33]设,试确定,使得在
上可微,并计算的值。
(6分)[34]设,确定,使得在上可微,
并计算的值。
(3分)[35]设,求关于
h的麦克劳林级数。
(3分)[36]试求函数关于x的幂级数.
====================答案====================
答案部分,(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择(10小题,共22.0分)
(2分)[1][答案]
C
(2分)[2][答案]
B
(2分)[3][答案]
B
(3分)[4][答案]
D
(2分)[5][答案]
A
(2分)[6][答案]
A
(2分)[7][答案]
(D)
(3分)[8][答案]
(D)
(2分)[9][答案]
(B)
(2分)[10][答案]
(A)
二、填空(54小题,共166.0分)
(2分)[1][答案]
(2分)[2][答案]
(3分)[3][答案]
(2分)[4][答案]
。
(2分)[5][答案]
0
(3分)[6][答案]
(2分)[7][答案]
(3分)[8][答案]
……
(1分)[9][答案]
(2分)[10][答案]
(2分)[11][答案]
(2分)[12][答案]
(5分)[13][答案]
(6分)[14][答案]
(4分)[15][答案]
(4分)[16][答案]
(4分)[17][答案]
=
(3分)[18][答案]
(2分)[19][答案]
,
。
(3分)[20][答案]
(3分)[21][答案]
(2分)[22][答案]
(2分)[23][答案]
(2分)[24][答案]
或为
(3分)[25][答案]
(3分)[26][答案]
(4分)[27][答案]
(3分)[28][答案]
(3分)[29][答案]
(3分)[30][答案]
(3分)[31][答案]
(5分)[32][答案]
(6分)[33][答案]
(4分)[34][答案]
(4分)[35][答案]
(3分)[36][答案]
(2分)[37][答案]
(2分)[38][答案]
(2分)[39][答案]
(4分)[40][答案]
(3分)[41][答案]
(5分)[42][答案]
(4分)[43][答案]
(4分)[44][答案]
(2分)[45][答案]
(6分)[46][答案]
(3分)[47][答案]
(3分)[48][答案]
对于该邻域内的任意,有
(3分)[49][答案]
(3分)[50][答案]
(3分)[51][答案]
(3分)[52][答案]
(注:
填也得10分)
(2分)[53][答案]
;
(2分)[54][答案]
(注:
答案形式为也给分)
三、计算(36小题,共161.0分)
(3分)[1][答案]
(3分)[2][答案]
于是,
(3分)[3][答案]
所给级数是以为公比的等比级数
因此,当x>0,,级数收敛
且和函数
又x=0时,,级数收敛
且=0
综上所述=
(4分)[4][答案]
解法一
=
=
=
解法二
(4分)[5][答案]
设为的部分和,则
…所求和函数…所求收敛域为…
(4分)[6][答案]
幂级数的收敛域是,
所以当时,有
(5分)[7][答案]
设
因为
所以当时,级数收敛;
又当,级数发散,
故收敛域为。
(4分)[8][答案]
令,原级数化为,
当且仅当时,级数收敛,
所以原级数的收敛域是。
(3分)[9][答案]
令,级数化为,
当且仅当时,收敛,
所以当时,原级数收敛,
收敛域为.
(4分)[10][答案]
令,级数的收敛半径是1,
收敛域是,
故原级数收敛半径是1,
收敛域是.
(4分)[11][答案]
由于,所以,
当时,级数发散;
当时,级数收敛;
故收敛域为.
(5分)[12][答案]
令,原级数化为,
此级数的收敛半径是2,收敛域是,
故原级数的收敛域是.
(4分)[13][答案]
利用两级数之间的关系,可得:
当,即时,级数收敛,
当时,级数发散,
所以收敛半径是.
(5分)[14][答案]
设
因为,
所以收敛半径,
而且时,级数收敛。
故收敛域为。
(5分)[15][答案]
设
因为,
所以,
且时,级数发散,
故收敛域是。
(5分)[16][答案]
设
因为
所以当时,级数收敛,
当时,级数发散,
故收敛域为。
(5分)[17][答案]
设
由于,故,
且当时,级数发散;
当时,级数收敛。
所以收敛域是。
(5分)[18][答案]
因为,所以,
且当即时,级数收敛;
当即时,级数收敛,
所以收敛域是。
(6分)[19][答案]
由于,所以,
且当时,级数收敛,
当时,级数发散,
故收敛域是。
(5分)[20][答案]
因为,
所以当时,级数收敛,
故收敛半径。
(6分)[21][答案]
因为,
所以当时,级数收敛,
且当时,级数发散,
故收敛域是。
(5分)[22][答案]
因为
所以收敛半径R=2,
且当|x|=2时,级数发散。
故收敛域为(-2,2)。
(4分)[23][答案]
幂级数的收敛域是,
所以当时,有
(5分)[24][答案]
幂级数的收敛域是,
当时,有
(2分)[25][答案]
这是以为公比的等比级数
令解得
故所所求收敛域为。
(3分)[26][答案]
级数的收敛半径
(2分)[27][答案]
级数的收敛半径。
(6分)[28][答案]
因为幂级数的收敛域是,所以
在上的连续,
且可逐项积分。
(6分)[29][答案]
由于幂级数的收敛域是,所以
在上连续,且可逐项积分。
故
(6分)[30][答案]
由于的收敛区域是,当
时,可微,而且
,
所以
,
。
(6分)[31][答案]
因为的收敛区域是,
在任意点可微,且可逐项微分。
,
故
。
(6分)[32][答案]
由于、的收敛半径分别为,
所以两幂级数乘积的收敛半径是,
故当时,
(6分)[33][答案]
幂级数的收敛域是,
所以在上可微,且可逐项微分,
(6分)[34][答案]
因为幂级数的收敛半径,所以,
在内连续,可微,
且
(3分)[35][答案]
由于
由级数表示的唯一性,即知上式就是所求级数。
(3分)[36][答案]
因为
所以
级数的收敛域是
(A)
(B)
(C)
(D)
答()
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