平行线复习.docx
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平行线复习.docx
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平行线复习
《平行线与相交线》全章复习与巩固(提高)知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握对顶角,邻补角及垂线的概念及性质,了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念;
2.区别平行线的判定与性质,并能灵活运用;
3.了解命题的概念及构成,并能通过证明或举反例判定命题的真假;
4.了解平移的概念及性质.
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
有公共顶点
∠1的两边与
∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
邻补角互补即
∠3+∠4=180°
要点诠释:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:
有公共顶点,角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:
有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线.
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、距离
(1)垂线的定义:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.如图1所示,符号语言记作:
AB⊥CD,垂足为O.
要点诠释:
要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直.
(2)垂线的性质:
垂线性质1:
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).
垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:
垂线段最短.
(3)点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,如图2:
PO⊥AB,点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
要点诠释:
垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1.平行线判定
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.
要点诠释:
根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:
(1)平行线的定义:
在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.
(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).
(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
(4)平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:
(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.
(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.
3.两条平行线间的距离
如图3,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
要点诠释:
(1)两条平行线之间的距离处处相等.
(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
(3)如何理解“垂线段”与“距离”的关系:
垂线段是一个图形,距离是线段的长度,是一个量,它们之间不能等同.
知识点三、命题及平移
1.命题:
判断一件事情的语句,叫做命题.每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.
2.平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.
要点诠释:
平移的性质:
(1)平移后,对应线段平行(或共线)且相等;
(2)平移后,对应角相等;
(3)平移后,对应点所连线段平行(或共线)且相等;
(4)平移后,新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、相交线
1.
(1)如图
(1)已知直线AB,CD相交于点0.
(2)如图
(2)已知直线AE,BD相交于点C.
分别指出两图中哪些角是邻补角?
哪些角是对顶角?
2.直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠COE=40°,求∠BOD的度数.
举一反三:
【变式1】如图所示,O是直线AB上一点,射线OC、OD在AB的两侧,且∠AOC=∠BOD,试证明∠AOC与∠BOD是对顶角.
【变式2】已知:
如图,∠1=∠B,∠2=∠3,EF⊥AB于F,求证:
CD⊥AB.
类型二、平行线的性质与判定
3.(2015•宁德)如图,将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2,若∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.40°B.50°C.90°D.130°
举一反三:
【变式1】如图所示,已知直线AB∥CD,当点E在直线AB与CD之间时,有∠BED=∠ABE+∠CDE成立;而当点E在直线AB与CD之外时,下列关系式成立的是().
A.∠BED=∠ABE+∠CDE或∠BED=∠ABE-∠CDE
B.∠BED=∠ABE-∠CDE
C.∠BED=∠CDE-∠ABE或∠BED=∠ABE-∠CDE
D.∠BED=∠CDE-∠ABE
【变式2】已知:
如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.
求证:
AB∥DC.
类型三、命题及平移
4.在小学,学习对“几何的初步认识”我们知道:
一个三角形的三个内角之和等于180°,现在学习了平行线性质以后,你能说出这是为什么吗?
5.(吉林)如图所示,把边长为2的正方形的局部进行图①~④的变换,组成图⑤,则图⑤的面积是()
A.18B.16C.12D.8
举一反三:
【变式】(2015.镇海区模拟)如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为()
A.48B.96C.84D.42
类型四、实际应用
6.手工制作课上,老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样,若折痕与一条边BC的夹角∠EFB=30°,你能说出∠EGF的度数吗?
举一反三:
【变式】
(山东滨州)如图,把—个长方形纸片对折两次,然后剪下—个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为()
A.60°B.30°C.45°D.90°
【巩固练习】
一、选择题
1.(2015春•邵阳县期末)同一平面内,三条不同直线的交点个数可能是( )个.
A.1或3B.0、1或3C.0、1或2D.0、1、2或3
2.一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是().
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°.
B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°.
C.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°.
D.第一次向左拐50°,第二次向右拐130°.
3.已知:
如图,AB∥DE,∠E=65°,则∠B+∠C的度数是().
A.135°B.115°C.65°D.35°
4.两条平行直线被第三条直线所截时,产生的八个角中,角平分线互相平行的两个角是().
A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D.同位角或内错角
5.如图所示,b∥c,a⊥b,∠1=130°,则∠2=().
A.30°B.40°C.50°D.60°
6.如图,已知∠A=∠C,如果要判断AB∥CD,则需要补充的条件是().
A.∠ABD=∠CEFB.∠CED=∠ADB
C.∠CDB=∠CEF
D.∠ABD+∠CED=180°
(第5题)(第6题)(第7题)
7.如图,
,则
AEB=().
A.
B.
C.
D.
8.把一张对面互相平行的纸条折成如图所示,EF是折痕,若∠EFB=32°,则下列结论不正确的有().
A.
B.∠AEC=148°C.∠BGE=64°D.∠BFD=116°
二、填空题
9.(2015春•嘉兴期末)如右图所示,点E在AC的延长线上,如果添一个条件 可以使BD∥AC(只要添一种条件即可)
10.(宁波外校一模)如图所示,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________.
11.(吉安)如图所示,AB∥CD,MN交AB、CD于E、F,EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线,那么EG与FG的位置关系是.
12.如图,一块梯形玻璃的下半部分打碎了,若∠A=125°,∠D=107°,则打碎部分的两个角的度数分别为.
13.如图所示,已知AB∥CD,∠BAE=3∠ECF,∠ECF=28°,则∠E的度数.
14.如图,某个窗户上安装有两扇可以滑动的铝合金玻璃窗ABCD和A/B/C/D/,当玻璃窗户ABCD和A/B/C/D/重合时窗户是打开的;反之窗户是关闭的。
若已知AB=10,BC=6,重叠部分四边形A/B/CD的面积是10,则该窗户关闭时两玻璃窗户展开的最大面积是.
15.如图所示,直线AD、BE、CF相交于一点O,∠BOC的同位角有________,∠OED的同旁内角有________,∠ABO的内错角有________,由∠OED=∠BOC得________∥________,由∠OED=∠ABO得________∥________,由AB∥DE,CF∥DE可得AB________CF.
16.如图,AB∥CD,则α、β、γ之间的关系为.
三、解答题
17.(2015春•兴平市期末)如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,试说明BD∥CE.
18.如图所示,已知∠1=50°,∠2=130°,∠4=50°,∠6=130°,试说明a∥b,b∥c,d∥e,a∥c.
19.如图所示,已知AB∥CD,∠1=110°,∠2=125°,求∠x的大小.
20.河的两岸成平行线,A,B是位于河两岸的两个车间(如图),要在河上造一座桥,使桥垂直于河岸,并且使A,B间的路程最短。
确定桥的位置的方法是:
作从A到河岸的垂线,分别交河岸PQ,MN于F,G.在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC,垂足为C,那么DC就是造桥的位置.试说出桥造在CD位置时路程最短的理由,也就是(AC+CD+DB)最短的理由.
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