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数学建模作业(三)
第三章习题
2013/04/09
l速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上,空气的密度是ρ,用量纲分析法确定风车获得的功率p与v,s,ρ的关系。
l对于风车获得的功率p与v,s,ρ的关系我们假设:
1.忽略其它因素对功率的影响
2.将其视为理想化模型
l在这些假设下,风车获得的功率与以下物理量有关:
风车获得的功率p,风速v,迎风面积s,空气密度ρ。
l它们的量纲分别是
,
l设,有
由得到以下线性方程组
不难验证,这个方程组的秩为3.
因此方程组的解空间是4维。
由
可得方程组的基本解:
于是,与这四个参数有关的量纲乘积为
l四个物理量之间的关系为即
l根据隐函数运算法则,得
l,
其中为无单位的常比例系数。
l俗话说“大饺子能装馅”,试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析,判断这一说法是否正确。
l“大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。
l为了简化模型,我们做出以下假设
1.饺子都是标准球形
2.饺子大小全部一致
3.饺子皮的厚度相同
4.饺子皮的厚度忽略不计
l涉及到的物理量:
饺子皮总面积S,一个饺子皮的面积s,饺子数n,饺子半径r,所包馅的总体积V,一个饺子包含馅的体积v
l这些物理量有以下关系:
可得
l因此,大饺子能装馅,这一说法正确。
l考察一个模拟水下爆炸的实验,爆炸物的质量m在距爆炸点的距离为r处接受冲击波,产生压强为p。
记大气初始压强为p0,水的密度为ρ,水的体积弹性模量为k。
由量纲分析法已经得到。
设模拟现场与现场的p。
,ρ,k相同,而爆炸物模型的质量为原型的1/10000.为使实验中接受到与现场相同的压强,试计算接受冲击波仪器的相对位置(是现场仪器与爆炸点之间距离的多少倍)。
l设模拟实验时现场仪器与爆炸点之间距离为r1,爆炸物质量为m1.现场爆炸时现场仪器与爆炸点之间距离为r2,爆炸物质量为m2.
l根据题目假设有模拟现场与现场的p。
,ρ,k相同,而爆炸物模型的质量为原型的1/10000。
l根据量纲分析法得到的公式有。
为使实验中接受到与现场相同的压强,需要使得,因此有
l即
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