江苏省南京市盐城市届高三数学第二次模拟考试试题.docx
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江苏省南京市盐城市届高三数学第二次模拟考试试题
2019届高三年级第二次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={x|1 2.若复数z满足=i(i为虚数单位),且实部和虚部相等,则实数a的值为________. 3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位: kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,则第三组的人数为________. (第3题) (第4题) 4.如图是某算法的伪代码,输出的结果S的值为________. 5.现有5件相同的产品,其中3件合格,2件不合格,从中随机抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________. 6.在等差数列{an}中,a4=10,前12项的和S12=90,则a18的值为________. 7.在平面直角坐标系xOy中,已知A是抛物线y2=4x与双曲线-=1(b>0)的一个交点.若抛物线的焦点为F,且FA=5,则双曲线的渐近线方程为____________________. 8.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过点(,2),且相邻两条对称轴间的距离为,则f()的值为________. 9.已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等,高为,则该正四棱锥的表面积为________. 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-5x,则不等式f(x-1)>f(x)的解集为________. 11.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若在圆M: (x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一一点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为________. 12.已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高,点P在DA的延长线上,且满足(+)·=4.若AD=,则·的值为________. 13.已知函数f(x)=设g(x)=kx+1,且函数y=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数k的取值范围是________. 14.在△ABC中,若sinC=2cosAcosB,则cos2A+cos2B的最大值为________. 二、解答题: 本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 设向量a=(cosα,λsinα),b=(cosβ,sinβ),其中λ>0,0<α<β<,且a+b与a-b互相垂直. (1)求实数λ的值; (2)若a·b=,且tanβ=2,求tanα的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分别是AB1和BC的中点.求证: (1)DE∥平面ACC1A1; (2)AE⊥平面BCC1B1. 17.(本小题满分14分) 某公园内有一块以O为圆心,半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案: 如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上;观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=120°,且AB,PQ在点O的同侧.为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.设∠OAB=α,α∈(0,).问: 对于任意α,上述设计方案是否均能符合要求? 18.(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于. (1)求椭圆C的方程; (2)设经过点P(2,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,点Q(m,0). ①若对任意直线l总存在点Q,使得QA=QB,求实数m的取值范围; ②设F为椭圆C的左焦点,若点Q为△FAB的外心,求实数m的值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=lnx-,a>0. (1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程; (2)若对任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求实数a的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}各项均为正数,且对任意n∈N*,都有(a1a2…an)2=aa. (1)若a1,2a2,3a3成等差数列,求的值; (2)①求证: 数列{an}为等比数列; ②若对任意n∈N*,都有a1+a2+…+an≤2n-1,求数列{an}的公比q的取值范围. 2019届高三年级第二次模拟考试(十) 数学附加题(本部分满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2: 矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A=,B=,AB=. (1)求a,b的值; (2)求A的逆矩阵A-1. B.[选修4-4: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),P是曲线C上的任意一点.求点P到直线l的距离的最大值. C.[选修4-5: 不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式: |2x-1|-x≥2. 【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图是一旅游景区供游客行走的路线图,假设从进口A开始到出口B,每遇到一个岔路口,每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩,他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩,并按箭头所指路线行走,最后到出口B集中,设C是其中的一个交叉路口点. (1)求甲经过点C的概率; (2)设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C,求随机变量X的概率分布和数学期望. 23.(本小题满分10分) 平面上有2n(n≥3,n∈N*)个点,将每一个点染上红色或蓝色.从这2n个点中,任取3个点,记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T. (1)若n=3,求T的最小值; (2)若n≥4,求证: T≥2C. 2019届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城) 数学参考答案 1.{x|1 10.(-2,3) 11.± 12.2 13. 14. 15. (1)由a+b与a-b互相垂直,可得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, 所以cos2α+λ2sin2α-1=0.(2分) 又因为sin2α+cos2α=1, 所以(λ2-1)sin2α=0.(4分) 因为0<α<,所以sin2α≠0,所以λ2-1=0. 又因为λ>0,所以λ=1.(6分) (2)由 (1)知a=(cosα,sinα). 由a·b=,得cosαcosβ+sinαsinβ=, 即cos(α-β)=.(8分) 因为0<α<β<,所以-<α-β<0, 所以sin(α-β)=-=-.(10分) 所以tan(α-β)==-,(12分) 因此tanα=tan(α-β+β)==.(14分) 16. (1)连结A1B,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1∥BB1且AA1=BB1, 所以四边形AA1B1B是平行四边形. 又因为D是AB1的中点, 所以D也是BA1的中点.(2分) 在△BA1C中,D和E分别是BA1和BC的中点,所以DE∥A1C. 又因为DE平面ACC1A1,A1C平面ACC1A1, 所以DE∥平面ACC1A1.(6分) (2)由 (1)知DE∥A1C,因为A1C⊥BC1, 所以BC1⊥DE.(8分) 又因为BC1⊥AB1,AB1∩DE=D,AB1,DE平面ADE,所以BC1⊥平面ADE. 又因为AE平面ADE,所以AE⊥BC1.(10分) 在△ABC中,AB=AC,E是BC的中点, 所以AE⊥BC.(12分) 因为AE⊥BC1,AE⊥BC,BC1∩BC=B, BC1,BC平面BCC1B1, 所以AE⊥平面BCC1B1.(14分) 17.过点O作OH垂直于AB,垂足为H. 在直角三角形OHA中,OA=20,∠OAH=α, 所以AH=20cosα,因此AB=2AH=40cosα.(4分) 由图可知,点P处的观众离点O最远.(5分) 在三角形OAP中,由余弦定理可知 OP2=OA2+AP2-2OA·AP·cos(7分) =400+(40cosα)2-2×20×40cosα·(-cosα-sinα) =400(6cos2α+2sinαcosα+1) =400(3cos2α+sin2α+4) =800sin+1600.(10分) 因为α∈,所以当2α=,即α=时, (OP2)max=800+1600, 即OPmax=20+20.(12分) 因为20+20<60,所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.(13分) 故对于任意α,上述设计方案均能符合要求.(14分) 18. (1)依题意得解得 所以b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1.(2分) (2)解法一: 设直线的方程为y=k(x-2), 代入椭圆C的方程,消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 因为直线l交椭圆C于两点, 所以Δ=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)>0, 解得- 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. ①设AB的中点为M(x0,y0), 则x0==,y0=k(x0-2)=-.(6分) 当k≠0时,因为QA=QB,所以QM⊥l, 即kQM·k=·k=-1. 解得m=.(8分) 当k=0时,可得m=0,符合m=. 因此m=. 由0≤k2=<,解得0≤m<.(10分) ②因为点Q为△FAB的外心,且点F(-1,0), 所以QA=QB=QF. 由(12分) 消去y,得x2-4mx-4m=0, 所以x1,x2也是此方程的两个根, 所以x1+x2=4m,x1x2=-4m.(14分) 又因为x1+x2=,x1x2=, 所以=-,解得k2=, 所以m==.(16分) 解法二: ①设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0). 依题意两式作差, 得×=-(x0≠0). 又因为=kAB=, 所以y=-x0(x0-2). 当x0=0时,y0=0, 符合y=-x0(x0-2).(ⅰ)(4分) 又因为QA=QB,所以QM⊥l, 所以(x0-m)(x0-2)+(y0-0)(y0-0)=0, 即y=-(x0-m)(x0-2).(ⅱ)(6分) 由(ⅰ)(ⅱ),解得x0=2m, 因此y=2m-2m2.(8分) 因为直线l与椭圆C相交,所以点M在椭圆C内, 所以+(2m-2m2)<1,解得m<. 又y=2m-2m2≥0,所以0≤m≤1. 综上,实数m的取值范围是.(10分) ②因为点Q为△FAB的外心,且点F(-1,0), 所以QA=QB=QF. 由消去y, 得x2-4mx-4m=0.(ⅲ)(12分) 当y0≠0时,则直线l为y=-(x-2),代入椭圆的方程, 得(2y+x)x2-4xx+4x-4y=0. 将(ⅰ)代入上式化简得x2-2x0x+3x0-2=0.(ⅳ) 当y0=0时,此时x0=0,x1=-,x2=也满足上式.(14分) 由①可知m=,代入(ⅲ)化简得x2-2x0x-2x0=0.(ⅴ) 因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程, 所以3x0-2=-2x0,解得x0=, 所以m==.(16分) 19. (1)当a=2时,f(x)=lnx-,f′(x)=-,则f′ (1)=. 又因为f (1)=0,所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=(x-1), 即x-2y-1=0.(2分) (2)因为f(x)=lnx-, 所以f′(x)=- ==,(4分) 且f (1)=0.因为a>0,所以1-2a<1. ①当4a2-4a≥0,即a≥1时, 因为f′(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 当x∈[1,+∞)时,f(x)≥f (1)=0, 所以a≥1满足条件.(6分) ②当4a2-4a<0,即0 由f′(x)=0,得x1=1-2∈(0,1), x2=1+2∈(1,+∞), 当x∈(1,x2)时,f′(x)<0, 则函数f(x)在区间(1,x2)上单调递减, 所以当x∈(1,x2)时,f(x) (1)=0,这与x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立矛盾, 所以0 综上,实数a的取值范围为[1,+∞).(8分) (3)①当a≥1时, 因为函数f′(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)不存在极值, 所以a≥1不满足条件;(9分) ②当 所以函数f(x)的定义域为(0,+∞), 由f′(x)=0,得x1=1-2∈(0,1), x2=1+2∈(1,+∞). 列表如下: 由于函数f(x)在区间(x1,x2)是单调减函数,此时极大值大于极小值,不合题意, 所以 ③当a=时,由f′(x)=0,得x=2. 列表如下: 此时函数f(x)仅存在极小值,不合题意, 所以a=不满足条件.(12分)
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