电影院座位设计问题.docx
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电影院座位设计问题
电影院座位设计问题
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电影院座位设计问题
一、问题的提出
下图为影院的剖面示意图,座位的满意程度主要取决于视角a和仰角3°视角a是观众
眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角,a越大越好;仰角3是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水
o
平线的夹角,3太大使人的头部过分上仰,引起不舒适感,一般要求3不超过3°°
设影院屏幕高h,上边缘距地面高H,地板线倾角0,第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D,观众平均坐高为c(指眼睛到地面的距离)。
已知参数h=1.8,H=5,d=4.5,D=19,c=1.1(单位:
m)°(如图所示)
o
(1)地板线倾角0=1°,试问最佳的座位在什么地方。
(2)求地板线倾角0(—般不超过2°°),使所有观众的平均满意程度最大。
(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析
观众在电影院观赏电影,感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否,而且还取决于座位设计的舒适程度.座位的设计应满足什么要求,是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角.经调
查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足,只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况.根据题意很容易得知
和]的正切值呈递减趋势,这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个
问题逐一进行分析.
针对问题1:
为方便求解,可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y轴,向上为正方向,以与之垂直的地面为x轴,以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角二=10°时,根据已知条件通过计算得知,最前排视角:
和仰角1的值均
为最大,最后排视角〉和仰角:
的值均为最小.那么仰角:
=30°时的位置是否是最佳位置呢?
我们可以先将离散的座位连续化,根据条件求出tg>的表达式,作
出〉对x的变化图象以及其变化率图象,计算tg〉的最大值,找到最佳座位点,
然后再将问题离散化,对求得的最佳座位点进行优化•
针对问题・2:
—般地,人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.
本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识,我们可以引入满意度函数的概念,构造一个满意度函数,通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势.在倾斜角二固
定的情况下,满意度函数值随x的变化而变化,不同的x有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后,我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意
度最大时,求出此时对应的倾斜角,即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度•
3.模型的假设
1.假设座位在地板线上严格等距,且均匀分布;
2.假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量,因而可将离散问题连续化;
3.假设视角对观众的满意度影响较大;
4.符号说明
«当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角
P当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角
p(x,y)当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标
F(x):
关于距离x和倾斜角二的正切函数
G(x)■-关于距离x和倾斜角二的正切函数
M(x)满意度函数
M(人)第i个位置的满意程度
M平均满意程度
九满意度函数的相关因子(即满意因子)
五•模型的建立
1•建模的准备
1.1建立坐标系
为了建立合适的数学模型,我们先建立如下坐标系:
直线L上任意一点P(x,y)的仰角B的正切值为:
(2)
(3)
tg:
_H_c_(x_d)tg=
x
又由图可知:
tg(—)=H-c-h-(x-d)®
x
由
(2)(3)得:
h
2
htg一2(H-cdtg旳(1tg~)x(HydS)"(H-cdt^)
x
1.2构造满意度函数
一般说来,人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念•由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识,根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律,不妨定义观众
对座位的满意度为:
(x-xo)2
(4)
M(x)=eC0)
其中■表示观众满意度的相关因子,称为满意因子,一般为常数.x0表示最佳座位点,即最佳座位处的横坐标值.
2.模型的建立
2.1问题1的模型
座位的满意程度主要取决于视角a和仰角B.a越大越好,B太大使人的头部过分上仰,引起不舒适感,一般要求B不超过30°.要确定最佳座位,必须同时兼顾视角a和仰角B.
由上文不难发现tg〉和tg1均是x的函数,这里不妨令F(x)二tg:
•,
G(x)"gl,则可得到:
F(x)-
2(H—c+dtq8)—h(H—c+dtq日)htg日-2(H-c+dtg日)+tg0)x+-
x
(5)
G(x)
(6)
H-c-(X-d)tg二
x
由30°,即tgl:
:
tg300得:
x_HCdtg
Tl介
tg6tg
又由题意知:
x乞D
则x的取值范围为:
H-cdtg%乞d
n
tg—tgr
从而得到求解最佳座位的数学模型:
MaxF(x)=
h
2
htg一2(H-cdtg旳(1tg~)x(HydS)-h(HYW)
x
st
H-cdtgv
n齐
tg6tg二
(8)
当9=10度时求得模型的解
观众的满意度随位置变化曲线如图:
4681012141618
地板线横坐标x
e=1度时观众的满意度曲线
76543210aaaaaaa
值度意满的众观
2.2问题2的模型
为了求平均满意程度最大时地板的倾角二,本文先设法求平均满意程度M.
(x-Xo)2
由(4),记第i个座位满意度为:
M(xJ=e丸(九:
>0)(9)
n
则区间[d,D]上n个座位的满意度为:
aM(xi)(10)
i壬
n
_送M(xj
从而得座位的平均满意程度为:
M=』(11)
n
从而得到求解地板倾角的数学模型:
n
_ZM(xi)
MaxM=』(12)
n
其中Xi的表达式为:
Xi=d(i-1)l,l为常数,表示前后两个座位之间的距离
D-dn的表达式为:
n=[^^]1.
l
观众满意度随地板线曲率变化如图:
观众平均满意度随地板线斜率变化曲线
0
0.5
11.5
2
2.5
地板线斜率k(tge)
有图解得:
-arctan0.36=19.8
2.3问题3的模型
为了进一步提高观众的满意程度,应当使总满意程度进一步增大。
因此,禾U
用最优化模型,使得每一名观众的满意程度达到最大。
目标函数为:
Max
(X-xo)2
约束条件为:
M(xj二eC0,0:
:
i:
:
n)
从而得到结果为:
5幺
附录:
第一、二问程序:
n=0;
ku=0;
q=5;
t0=0;
s=0.3;
fork=0:
0.01:
0.37;
m=0;
forx=450:
1900;
y(x)=(x/100)*(kA2+1)/2+((3+4.5*kF2-0.81)/(2*(x/100))-k*(3+4.5*k)
5
z(x)=0.9/y(x);
w(x)=atan(z(x));
f(x)=atan((5-k*((x/100)-4.5)-1.1)/(x/100));
x30=(3.9+4.5*k)/(k+(3A0.5)/3);
ifk==0.18
ifx<=x30
t=(w(x)-q*(f(x)-pi/6));
ift>t0
t0=t;
x10=x/100;
end
end
ifx>x30
t=(w(x)-s*q*(f(x)-pi/6));
ift>t0
t0=t;
x10=x/100;
end
end
x11=x/100;
figure
(1);
plot(x11,t);
grid;
xlabel('地板线横坐标x');
ylabel('观众的满意度值');
title('0=10度时观众的满意度曲线’);
holdon;
end
ifx<=x30
m=((w(x)-q*(f(x)-pi/6))/100)+m;
end
ifx>x30
m=((w(x)-s*q*(f(x)-pi/6))/100)+m;
end
end
figure
(2);
plot(k,m,'.');
grid;
xlabel('地板线斜率k(tg0)');
ylabel('观众平均满意度’);
title('观众平均满意度随地板线斜率变化曲线’);
holdon;
m>n
n=m;
ku=k;
end
plot(x10,t0,'*');
第三问程序:
h=1.8;
H=5;
d=4.5;
D=19;
c=1.1;
q=1;
s=0.3;
para=O;
stepx=(D-d)/20;
stepy=(H-c)/25;
y=zeros(1,21);
total=0;
max=0;
fori1=0:
1
i
(1)=i1;
fori2=0:
1
i
(2)=i2;
fori3=0:
1
i(3)=i3;
fori4=0:
1
i(4)=i4;
fori5=0:
1
i(5)=i5;
fori6=0:
1
i(6)=i6;
fori7=0:
1
i(7)=i7;
fori8=0:
1
i(8)=i8;
fori9=0:
1
i(9)=i9;
fori10=0:
1
i(10)=i10;
fori11=0:
1
i(11)=i11;
fori12=0:
1
i(12)=i12;
fori13=0:
1
i(13)=i13;
fori14=0:
1
i(14)=i14;
fori15=0:
1
i(15)=i15;
fori16=0:
1
i(16)=i16;
fori17=0:
1
i(17)=i17;
fori18=0:
1
i(18)=i18;
fori19=0:
1
i(19)=i19;
fori20=0:
1
i(20)=i20;
fori21=0:
1
i(21)=i21;
fori22=0:
1
i(22)=i22;
fori23=0:
1
i(23)=i23;
fort=1:
21
x(t)=(t-1)*stepx+d;
y
(1)=c;
ift>1
forr=2:
t
y(t)=i(r-1)*stepy+y(t-1);
end
end
x1=x(t);
yi=y(t);
de=(x1)A2+(H-h/2-y1)A2-(h/2)A2;
w(t)=(atan((h*x1)/de)-s*q*((atan(H-y1)/x1)-pi/6));
ifx1<(3A0.5)*5;
ify1<=(5-((3A0.5)/3)*x1);
w(t)=(atan((h*x1)/de)-q*((atan(H-y1)/x1)-pi/6));
end
end
total=total+w(t);
end
end
para=0;
iftotal>max
max=total;
fore=1:
20
ify(e)>(H-h)
forv=1:
e
aa=((v-1)*stepx+d)*(-(y(e)-(H-h))/((e-1)*stepx+d))+(H-h);ifaa para=1; end end end end fors=1: 20* ifpara〜=1; m(s)=i(s); end end end end total=0; end end end end end end end end end end end end end end end end end end end end end forj=1: 21 m0=0; ifj>1 fore=2: j m0=m(e-1)+m0; end end yopt(j)=m0*stepy; xopt(j)=(j-1)*stepx+d; end x3=1: 0.1: length(yopt)-1; y3=interp1(xopt,yopt,x3,'cubic'); p=polyfit(x3,y3,15); y4=polyval(p,x3); plot(x3,y4,'-'); holdonplot(x3,y3,xopt,yopt); forrr=1: length(yopt)-1;y5=y4((rr-1)*10+1);plot(rr,y5); holdon end gridon; holdon; plot(0,(H-h),'*'); plot(0,H,'*');
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