届高三数学一轮复习导学案江苏专版教师用书第一章 集合与常用逻辑用语.docx
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届高三数学一轮复习导学案江苏专版教师用书第一章集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语
第一节 集合
本节主要包括3个知识点:
1.集合的基本概念;
2.集合间的基本关系;
3.集合的基本运算.
突破点
(一) 集合的基本概念
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1.集合的有关概念
(1)集合元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:
若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A.
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法、Venn图法.
2.常用数集及记法
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N+
Z
Q
R
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
求元素(个数)或已知元素个数求参数
[例1]
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________.
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________.
[解析]
(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.
(2)当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=
.故a=0或
.
[答案]
(1)5
(2)0或
[方法技巧]
求元素(个数)的方法
一般给定一个新定义集合,如“已知集合A,B,求集合C={z|z=x*y,x∈A,y∈B}(或集合C的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算”.具体的解决方法:
根据题目规定的运算“*”,一一列举x,y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想),从而得出z的所有可能取值,然后根据集合元素的互异性进行检验,相同元素重复出现只算作一个元素,判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数.
元素与集合的关系
[例2]
(1)已知集合A={1,2,3,4},若a∈A,且6-a∈A,则实数a的取值集合为________.
(2)(2018·苏州模拟)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
[解析]
(1)逐一验证可得a可以取2,3,4,即a的取值集合为{2,3,4}.
(2)因为3∈A,
所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,
即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,
解得m=-
或m=1(舍去),
当m=-
时,m+2=
≠3符合题意.
所以m=-
.
[答案]
(1){2,3,4}
(2)-
[方法技巧]
利用元素的性质求参数的方法
已知一个元素属于集合,求集合中所含的参数值.具体解法:
(1)确定性的运用:
利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值.
(2)互异性的运用:
根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1.
设集合P={x|x2-
x≤0},m=30.5,则下列关系中正确的序号是________.
①mP;②m∈P;③m∉P;④m⊆P.
解析:
易知P={x|0≤x≤
},而m=30.5=
>
,∴m∉P.
答案:
③
2.
已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为________.
解析:
集合B中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
答案:
9
3.
(2018·徐州模拟)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
解析:
因为{1,a+b,a}=
,a≠0,所以a+b=0,则
=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
答案:
2
4.
已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为________.
解析:
因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5<k≤6.
答案:
(5,6]
5.
(2018·如东中学高三月考)已知x2∈{0,1,x},则实数x的值为________.
解析:
由集合中元素的互异性可知x≠0,x≠1,所以x2=1解得x=-1或x=1(舍去).
答案:
-1
突破点
(二) 集合间的基本关系
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A⊆B,并且A≠B
AB或BA
相等
集合A中的元素都是集合B的元素,集合B中的元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
集合子集个数的判定
含有n个元素的集合,其子集的个数为2n;真子集的个数为2n-1(除集合本身);非空真子集的个数为2n-2(除空集和集合本身,此时n≥1).
[例1] 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.
[解析] 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
[答案] 4
[易错提醒]
(1)注意空集的特殊性:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)任何集合的本身是该集合的子集,在列举时千万不要忘记.
集合间的关系
考法
(一) 集合间关系的判定
[例2]
(1)已知集合A={x|y=
,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则集合A,B之间的关系是________.
(2)(2018·无锡期初测试)已知集合A=
,B=
,则集合A,B的关系是________.
[解析]
(1)由题意知A={x|y=
,x∈R},所以A={x|-1≤x≤1},所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},所以BA.
(2)法一:
由已知得A=
,B=
,所以AB.
法二:
A=
=
,
B=
=
.
对任意x0∈A,设x0=
(3k+2),k∈N,则x0=
[3(k+1)-1].
∵k∈N,∴k+1∈N,∴x0∈B,A⊆B.
对于集合B,由k=0得-
∈B,但-
∉A,∴AB.
[答案]
(1)BA
(2)AB
[方法技巧]
判断集合间关系的三种方法
(1)列举法:
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系.
(2)结构法:
从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断.
(3)数轴法:
在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.
[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时,其端点能否取到,一定要注意用回代检验的方法来确定.如果两个集合的端点相同,则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系.
考法
(二) 根据集合间的关系求参数
[例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
[解析] ∵B⊆A,∴①若B=∅,
则2m-1<m+1,此时m<2.
②若B≠∅,则
解得2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
[答案] (-∞,3]
[易错提醒]
(1)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时,应注意子集与真子集的区别,此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易产生增解或漏解.
(2)对于含有参数的集合,需思考参数对集合的影响,尤其注意该集合是否为空集.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1.
集合A={x∈N|0<x<4}的真子集个数为________.
解析:
因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23-1=7.
答案:
7
2.
(2018·南通模拟)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},有下列四个关系:
①P⊆Q;②Q⊆P;③∁RP⊆Q;④Q⊆∁RP.
其中正确关系的序号是________.
解析:
因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},所以∁RP={y|y>1},又Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁RP⊆Q.
答案:
③
3.
已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=________.
解析:
∵A⊆B,∴a+3=1,解得a=-2.
答案:
-2
4.
已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
解析:
集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
答案:
(-∞,-2]
突破点(三) 集合的基本运算
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1.集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
集合的交集
A∩B
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
集合的补集
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
2.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∪A=A,A∪∅=A.
(2)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
(4)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
求交集、并集或补集
[例1]
(1)(2016·江苏高考)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=________.
(2)(2018·南京溧水高三第一次检测)设集合A={2,3},B={1,2},则A∪B=________.
(3)(2017·北京高考改编)已知U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA=________.
[解析]
(1)在集合A中满足集合B中条件的元素有-1,2两个,故A∩B={-1,2}.
(2)由A={2,3},B={1,2},得A∪B={1,2,3}.
(3)根据补集的定义并结合数轴可得∁UA=[-2,2].
[答案]
(1){-1,2}
(2){1,2,3} (3)[-2,2]
[方法技巧] 求集合交集、并集或补集的方法步骤
集合运算的综合应用
[例2]
(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=________.
(2)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=____________.
(3)(2018·常州月考)已知集合M=(-3,-1),N={x|2x+a≤0},若M∩N=M,求实数a的取值范围是________.
[解析]
(1)因为∁UB={2,5,8},所以A∩(∁UB)={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.
(2)∵A∪B={x|x≤0}∪{x|x≥1}={x|x≤0或x≥1},
∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.
(3)因为集合N=
,而M∩N=M得M⊆N,所以-
≥-1,即a≤2.
[答案]
(1){2,5}
(2){x|0<x<1} (3)(-∞,2]
[方法技巧]
集合运算综合应用问题的解题策略
(1)进行集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算;当集合用不等式形式表示时,可借助数轴求解,对于端点值的取舍,应单独检验.
(2)注意灵活地将集合的运算性质转化为集合间的关系,再利用集合间关系解决问题.
集合的新定义问题
[例3] (2018·南京模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B=____________________.
[解析] 因为A=
,B={y|y<0},
所以A-B={y|y≥0},B-A=
,
A⊕B=(A-B)∪(B-A)=
.
[答案]
[方法技巧]
解决集合新定义问题的两个着手点
(1)正确理解新定义.耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,并合理利用.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1.
已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=________.
解析:
集合A={x|-2<x<2},集合B={-1,0,1,2,3},所以A∩B={-1,0,1}.
答案:
{-1,0,1}
2.
(2018·南通模拟)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=________.
解析:
∵A=(0,+∞),B=(-1,1),∴A∪B=(-1,+∞).
答案:
(-1,+∞)
3.
(2018·淮安模拟)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=________.
解析:
由题意知B={x|-1≤x≤3},
所以∁RB={x|x<-1或x>3},
所以A∩(∁RB)={x|3<x<4}.
答案:
{x|3<x<4}
4.
定义集合A,B的一种运算:
A*B={x|x=x1·x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为________.
解析:
∵A*B={x|x=x1·x2,其中x1∈A,x2∈B},且A={1,2},B={1,2},∴A*B={1,2,4},故A*B中的所有元素之和为1+2+4=7.
答案:
7
5.
设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为________.
解析:
因为A={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},∁UB={x|x≥-1},阴影部分为A∩(∁UB),
所以A∩(∁UB)={x|-1≤x<0}.
答案:
{x|-1≤x<0}
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1.(2017·江苏高考)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为________.
解析:
因为a2+3≥3,所以由A∩B={1}得a=1,即实数a的值为1.
答案:
1
2.(2017·全国卷Ⅲ改编)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
解析:
因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.
答案:
2
3.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=________.
解析:
M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},M∪N={x|0≤x≤1}.
答案:
{x|0≤x≤1}
4.(2017·全国卷Ⅱ改编)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=________.
解析:
因为A∩B={1},所以1∈B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3,方程为x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B={1,3}.
答案:
{1,3}
5.(2018·镇江中学高三模拟)已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|x2-1<0},则图中的阴影部分表示的集合为________.
解析:
因为A={x|0≤x≤2},B={x|-1<x<1},所以A∪B={x|-1<x≤2},A∩B={x|0≤x<1}.故图中阴影部分表示的集合为∁(A∪B)(A∩B)=(-1,0)∪[1,2].
答案:
(-1,0)∪[1,2]
6.(2018·扬州月考)已知集合A={x|x2-2x-a<0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
解析:
由A={x|x2-2x-a<0},1∉A得12-2×1-a≥0,解得a≤-1.
答案:
(-∞,-1]
7.(2018·如东高三第一次检测)已知全集U=N(N是自然数集),集合A={x|x-2>0},则∁UA=________.
解析:
由U=N,A={x|x-2>0}得∁UA={x|x≤2,x∈N}={0,1,2}.
答案:
{0,1,2}
8.设集合A=
,B={b,a+b,-1},若A∩B={2,-1},则A∪B=________.
解析:
由A∩B={2,-1},可得
或
当
时,
此时B={2,3,-1},则A∪B={-1,2,3,5};当
时,
此时不符合题意,舍去.故A∪B={-1,2,3,5}.
答案:
{-1,2,3,5}
9.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁RB)=________.
解析:
∵A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},∴A∪(∁RB)=(-∞,1]∪[2,+∞).
答案:
(-∞,1]∪[2,+∞)
10.(2018·盐城模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(∁UA)=∅,则实数m的值构成的集合为________.
解析:
由题可知A={-1,2},又B∩(∁UA)=∅,所以B=∅或{-1}或{2}.若B=∅,则m=0;若B={-1},则m=1;若B={2},则m=-
.故实数m的值构成的集合为
.
答案:
11.(2018·常熟高三月考)若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的实数a的集合是________.
解析:
借助数轴可得
解得6≤a≤9.
答案:
{a|6≤a≤9}
12.(2018·启东市一中月考)定义:
满足任意元素x∈A,则|4-x|∈A的集合称为优集,若集合A={1,a,7}是优集,则实数a的值为________.
解析:
依题意,当x=1时,|4-x|=3∈A,当x=7时,|4-x|=3∈A,所以,a=3时符合条件.
答案:
3
13.(2018·南通模拟)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素的个数是________.
解析:
由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使logxy∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),共4个.
答案:
4
14.已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=yy=
x2-x+
,0≤x≤3.若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________________.
解析:
A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.
当A∩B=∅时,
∴
≤a≤2或a≤-
,
∴a的取值范围是(-∞,-
]∪[
,2].
答案:
(-∞,-
]∪[
,2]
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
本节主要包括2个知识点:
1.命题及其关系;
2.充分条件与必要条件.
突破点
(一) 命题及其关系
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1.命题的概念
(1)能够判断真假的语句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
(2)命题都可以写成“若p则q”的形式.
2.四种命题及相互关系
3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
命题的真假判断
[例1] (2018·嘉兴模拟)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,有下列四个命题:
①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行;
②若m,n平行于同一平面,则m与n平行;
③若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线;
④若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.
其中是假命题的有________.(填写所有假命题的序号)
[解析] 垂直于同一平面的两个平面可以平行,也可以相交,①为假命题;平行于同一平面的两条直线可以相交,平行或异面,②为假命题;α与β相交,只要在α内平行于两平面交线的直线必平行于另一个平面,③为假命题;垂直于同一平面的两条直线一定平行,④为真命题.
[答案] ①②③
[方法技巧]
判断命题真假的思路方法
(1)判断一个命题的真假时,首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么,然后联系其他相关的知识进行判断.
(2)当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后,判断这个命题真假的方法:
①若由“p”经过逻辑推理,得出“q”,则可判定“若p,则q”是真命题;
②判定“若p,则q”是假命题,只需举一反例即可.
四种命题的关系
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.
2.四种命题间具有相对性,一旦将一个命题确定为原命题,相应的也就确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.
[例2]
(1)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是____________________.
(2)给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是________.
(3)(2018·无锡月考)给出命题:
函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在R上为减函数,若a+b>0则f(a)+f(b)<0,则该命题的逆否命题是________命题.(
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