整理知识点梳理简单几何体.docx
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整理知识点梳理简单几何体
简单几何体
一.棱柱
1.概念:
2.结构特征:
(1)两底面互相平行;
(2)侧面是平行四边形;(3)侧棱互相平行.
3.分类一:
三棱柱、四棱柱、五棱柱……
分类二:
斜棱柱、直棱柱、正棱柱.
直棱柱:
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.
正棱柱:
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
平行六面体:
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.
二.棱锥
1.概念:
2.结构特征:
(1)有一个面是多边形(包括三角形);
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形.
3.分类:
一般棱锥、正棱锥.
正棱锥:
底面为正多边形,公共顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.
正四面体:
各面都是等边三角形的三棱锥叫做正四面体.
三.棱台
1.概念:
2.结构特征:
(1)侧棱的延长线相交于一点;
(2)侧面是梯形;(3)两底面互相平行,两底面相似.
四.圆柱
1.概念:
2.结构特征:
(1)两底面互相平行;
(2)任意两条母线都平行;(3)母线与底面垂直;(4)轴截面为矩形;(5)侧面展开图是矩形.
五.圆锥
1.概念:
2.结构特征:
(1)所有母线相交于一点;
(2)旋转轴与底面垂直;(3)轴截面为等腰三角形;(4)侧面展开图是扇形.
六.圆台
1.概念:
2.结构特征:
(1)两底面互相平行;
(2)母线的延长线相交于一点;(3)轴截面为等腰梯形;(4)侧面展开图是扇环.
七.球体
1.概念:
2.结构特征:
(1)球面是曲面,不能展开成平面图形;
(2)球面上任一点与球心的连线都是半径.
大圆:
经过球心的截面去截球面所得的圆称为大圆.
小圆:
不经过球心的截面去截球面所得的圆称为小圆.
3.球的截面的性质:
(1)球的截面是圆面;
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面;
(3)球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系是.
4.两点间的球面距离:
在球面上,两点之间的最短路线,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点间的球面的距离.
一、选择题
1.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆,那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为()
A.B.C.B.
2.如图8-22,用一个平面去截一个正方体,得到一个三棱锥.在这个三棱锥中,除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3,则这个三棱锥的体积为()
A.V=B.V=
C.V=D.V=
3.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面()
A.必定都不是直角三角形B.至多有一个直角三角形
C.至多有两个直角三角形D.可能都是直角三角形
4.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为()
A.B.56πC.14πD.64π
5.把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球(不计损耗),两个小球的半径之比为1∶2,则其中较小球半径为()
A.RB.RC.RD.R
6.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1、S2、S3,则()
A.S1 7.图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的,且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为() A.B.C.D. 8.设地球半径为R,在北纬30°圈上有甲、乙两地,它们的经度差为120°,那么这两地间的纬线之长为() A.πRB.πRC.πRD.2πR 9.如图8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是() 10.如图8-25,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且满足A1P=BQ,过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为() A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.∶1 11.如图8-26,下列四个平面形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是() 12.已知A、B、C、D为同一球面上的四点,且连接每点间的线段长都等于2,则球心O到平面BCD的距离等于() A.B.C.D. 二、填空题 13.命题A: 底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是: 底面为正三角形,且的三棱锥是正三棱锥. 14.如图8-27,在三棱锥S—ABC中,E、F、G、H分别是棱SA、SB、BC、AC的中点,截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体AB—EFGH、SC—EFGH,其体积分别是V1、V2,则V1∶V2的值是. 15.已知三棱锥的一条棱长为1,其余各条棱长皆为2,则此三棱锥的体积为 16.已知正四棱柱的体积为定值V,则它的表面积的最小值为. 三、解答题 17.正四棱台上、下底面边长分别为a和b,上、下底面积之和等于侧面积,求棱台体积. 18.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积. 19.如图8-29,半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体的一边长为,求半球的表面积和体积. 20.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图8-30),设容器的高为h米,盖子边长为a米. (1)求a关于h的函数解析式; (2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大? 求出V的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度) 【综合能力训练】 1.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B10.B11.C12.B 13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 14.1∶115.16.6 17.解: V=(a2+ab+b2). 18: 解析: 由三视图知正三棱柱的高为2cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm. 设底面边长为a,则, ∴a=4. ∴正三棱柱的表面积S=S侧+2S底 =3×4×2+2××4×=8(3+)(cm) 答案: 8(3+)(cm). 19.解设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α,则α截半球面得半圆,α截正方体得一矩形,且矩形内接于半圆,如图所示,则矩形一边长为,另一边长为·=2, ∴r2=()2+()2=9,∴r=3,故S半球=2πr2+πr2=27π, V半球=πr3=18π,即半球的表面积为27π,体积为18π. 注: 本题是正方体内接于半球问题,它与正方体内接于球的问题是有本质差别的,请注意比较. 20.解 (1)设h′为正四棱锥的斜高, 由已知得 解得a=(h>0). (2)V=ha2=(h>0), 易得V=, 因为h+≥2=2,所以V≤, 等号当且仅当h=,即h=1时取得. 故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米. 奇偶性练习 1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则( ) A.,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=1,b=0 D.a=3,b=0 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是( ) A.y=x(x-2) B.y=x(|x|-1) C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2) 4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f (2)等于( ) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 5.函数是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 6.若,g(x)都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值5, 则f(x)在(-∞,0)上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 7.函数的奇偶性为________. 8.若y=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=_________. 9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若,则f(x)的解析式为_______. 10.已知函数f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为_______. 11.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. 12.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(xR,yR),且f(0)≠0,试证f(x)是偶函数. 13.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2—1,求f(x)在R上的表达式. 14.f(x)是定义在(-∞,-5][5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在 (-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明. 15.设函数y=f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),求证f(x)是偶函数. 奇偶性练习参考答案 1.解析: f(x)=ax2+bx+c为偶函数,为奇函数, ∴g(x)=ax3+bx2+cx=f(x)·满足奇函数的条件. 答案: A 2.解析: 由f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,得b=0. 又定义域为[a-1,2a],∴a-1=2a,∴.答案: A. 3.解析: 由x≥0时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数, ∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-x-2). ∴即f(x)=x(|x|-2) 答案: D 4.解析: f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数, f(-2)+8=18,∴f (2)+8=-18,∴f (2)=-26. 答案: A 5.解析: 此题直接证明较烦,可用等价形式f(-x)+f(x)=0. 答案: B 6.解析: 、g(x)为奇函数,∴为奇函数. 又f(x)在(0,+∞)上有最大值5,∴f(x)-2有最大值3. ∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3,∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1. 答案: C 7.答案: 奇函数 8.答案: 0解析: 因为函数y=(m-1)x2+2mx+3为偶函数, ∴f(-x)=f(x),即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3,整理得m=0. 9.解析: 由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,可得,联立 ,得.答案: 10.答案: 0 按照国家规定实行审批制的建设项目,建设单位应当在报送可行性研究报告前报批环境影响评价文件。 按照国家规定实行核准制的建设项目,建设单位应当在提交项目申请报告前报批环境影响评价文件。 按照国家规定实行备案制的建设项目,建设单位应当在办理备案手续后和开工前报批环境影响评价文件。 11.答案: (1)前期准备工作。 包括明确评价对象和评价范围,组建评价组,收集国内外相关法律、法规、规章、标准、规范,收集并分析评价对象的基础资料、相关事故案例,对类比工程进行实地调查等内容。 12.证明: 令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f(0
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