浙江高考数学复习专题限时集训8 空间几何体表面积或体积的求解含答案.docx
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浙江高考数学复习专题限时集训8空间几何体表面积或体积的求解含答案
专题限时集训(八)
空间几何体表面积或体积的求解
(对应学生用书第130页)
[建议A、B组各用时:
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图816所示,则其俯视图为( )
图816
C [根据正视图和侧视图知,正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角,所以它的俯视图是一个正方形,正方形的右下角是以一个实线画出的三角形,左上角是一个以实线画出的三角形,依题意可知该几何体的直观图如图所示,故选C.]
2.(2017·杭州学军中学高三模拟)已知某几何体的三视图如图817所示,则该几何体的表面积为( )
图817
A.16 B.26
C.32D.20+
C [由三视图可知该几何体的直观图如下,由图可知,该几何体的各个面都是直角三角形,故表面积为×(4×5+3×4+4×3+4×5)=32,故选C.
]
3.在三棱锥PABC中,AB=BC=,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为( )【68334102】
A.πB.π
C.πD.π
D [由题可知,△ABC中AC边上的高为=,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,∴x2=32+(-x)2,解得x=,∴R2=x2+2=+1=(其中R为三棱锥外接球的半径),∴外接球的表面积S=4πR2=π,故选D.]
4.已知某几何体的三视图如图818所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为( )
图818
A. B.2
C.3 D.4
B [分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的,故其体积V=×22×3-××2×=2,故选B.]
5.如图819,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( )
图819
A.8+8+4B.8+8+2
C.2+2+D.++
A [在正方体中还原出该四面体CA1EC1如图所示,可求得该四面体的表面积为8+8+4.]
二、填空题
6.某几何体的三视图如图820所示(单位:
cm),则该几何体的体积为________cm3,表面积为________cm2.【68334103】
图820
[由三视图知该几何体为一个半球被割去后剩下的部分,其球半径为1,所以该几何体的体积为××π×13=,表面积为××4π×12+×π×12+2××π×12=.]
7.三棱锥PABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥DABE的体积为V1,PABC的体积为V2,则=________.
[如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,所以==.]
8.(2017·浙江省新高考仿真训练卷
(一))某简单几何体的三视图如图821所示,则该几何体的体积是________,外接球的表面积是________.
图821
24 25π [由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形,高为3的直四棱柱,则其体积为4×4××3=24.又直四棱柱的外接球的半径为R==,所以四棱柱的外接球的表面积为4πR2=25π.]
三、解答题
9.如图822,P为正方形ABCD外一点,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2,E为PD的中点.
图822
(1)求证:
PA⊥CE;
(2)求四棱锥PABCD的表面积.
[解]
(1)证明:
取PA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AD∥BC,即EF,BC共面.
∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥BC,又BC⊥AB且PB∩AB=B,
∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA.3分
∵PB=AB,∴BF⊥PA,又BC∩BF=B,
∴PA⊥平面EFBC,∴PA⊥CE.6分
(2)设四棱锥PABCD的表面积为S,
∵PB⊥平面ABCD,
∴PB⊥CD,又CD⊥BC,PB∩BC=B,
∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC,即△PCD为直角三角形,8分
由
(1)知BC⊥平面PAB,而AD∥BC,∴AD⊥平面PAB,
故AD⊥PA,即△PAD也为直角三角形.
S▱ABCD=2×2=4,
S△PBC=S△PAB=S△PDA=×2×2=2,
S△PCD=×2×=2,12分
∴S表=S▱ABCD+S△PBC+S△PDA+S△PAB+S△PCD
=10+2.15分
10.如图823,一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.
图823
(1)求证:
平面DEFG∥平面ABB1A1;
(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高.
【68334104】
[解]
(1)证明:
因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1,又DE∩DG=D,所以平面DEFG∥平面ABB1A1.6分
(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由
(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,△ABC的面积为S,则由已知条件可知,△CDE∽△ABC,且S△CDE=S,所以S四边形ABED=S.11分
由于两种状态下液体体积相等,所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=Sl,即h=l.
因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.15分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1.(2017·杭州质量检测)如图824,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形,一个直角三角形),则这个几何体可能为
( )
图824
A.三棱台B.三棱柱
C.四棱柱D.四棱锥
B [根据三视图的法则:
长对正,高平齐,宽相等,可得几何体如图所示.这是一个三棱柱.]
2.某几何体的三视图如图825所示,则该几何体的体积为( )
图825
A.B.
C.D.
B [根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2,高为1);该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2,高为1),因此该几何体的体积为×2×1×1+××2×1×1=,选B.]
3.某几何体的三视图如图826所示,则该几何体的体积为( )
图826
A.6π+4B.π+4
C.D.2π
D [由三视图知,该几何体为一个底面半径为1,高为1的圆柱体,与底面半径为1,高为2的半圆柱体构成,所以该三视图的体积为π×12×1+π×12×2=2π,故选D.]
4.从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为( )
A.B.
C.D.
C [设OP交平面ABC于O′,
由题得△ABC和△PAB为正三角形,
所以O′A=AB=AP.
因为AO′⊥PO,OA⊥PA,
所以=,=,=,
所以OA==×=1,
即球的半径为1,所以其体积为π×13=π.
选C.]
二、填空题
5.一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为________.【68334105】
[由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,∴球半径为R===,∴该球的体积V=πR3=×3π=.]
6.如图827,在三棱锥ABCD中,△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形,且平面ACD⊥平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为________.
图827
π [取AB,CD的中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AF⊥BF,AF=BF=2,EF==,易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上,
所以OE+OF=.
设外接球的半径为R,连接OA,OC,则有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,所以AE2+OE2=CF2+OF2,()2+OE2=22+OF2,
所以OF2-OE2=2,
又OE+OF=,则OF2=,R2=,所以该三棱锥外接球的表面积为4πR2=π.]
三、解答题
7.如图828,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD,BE⊥DF.
图828
(1)若M为EA中点,求证:
AC∥平面MDF;
(2)若AB=2,求四棱锥EABCD的体积.
[解]
(1)证明:
设EC与DF交于点N,连接MN,
在矩形CDEF中,点N为EC中点,
因为M为EA中点,所以MN∥AC.2分
又因为AC⊄平面MDF,MN⊂平面MDF,
所以AC∥平面MDF.4分
(2)取CD中点为G,连接BG,EG,
平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,
AD⊂平面ABCD,AD⊥CD,
所以AD⊥平面CDEF,同理ED⊥平面ABCD,7分
所以ED的长即为四棱锥EABCD的高.8分
在梯形ABCD中,AB=CD=DG,AB∥DG,
所以四边形ABGD是平行四边形,BG∥AD,所以BG⊥平面CDEF.
又DF⊂平面CDEF,所以BG⊥DF,又BE⊥DF,BE∩BG=B,
所以DF⊥平面BEG,DF⊥EG.11分
注意到Rt△DEG∽Rt△EFD,所以DE2=DG·EF=8,DE=2,
所以VEABCD=S梯形ABCD·ED=4.15分
8.如图829,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,点O为CD的中点,连接OM.
图829
(1)求证:
OM∥平面ABD;
(2)若AB=BC=2,求三棱锥ABDM的体积.
[解]
(1)证明:
∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,点O为CD的中点,∴OM⊥CD.1分
∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM⊂平面CMD,
∴OM⊥平面BCD.2分
∵AB⊥平面BCD,∴OM∥AB.3分
∵AB⊂平面ABD,OM⊄平面ABD,
∴OM∥平面ABD.4分
(2)法一:
由
(1)知OM∥平面ABD,
∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分
过点O作OH⊥BD,垂足为点H.
∵AB⊥平面BCD,OH⊂平面BCD,∴OH⊥AB.6分
∵AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,AB∩BD=B,∴OH⊥平面ABD.7分
∵AB=BC=2,△BCD是等边三角形,∴BD=2,OD=1,OH=OD·sin60°=.9分
∴V三棱锥ABDM=V三棱锥MABD
=××AB·BD·OH
=××2×2×=.11分
∴三棱锥ABDM的体积为.12分
法二:
由
(1)知OM∥平面ABD,∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分
∵AB=BC=2,△BCD是等边三角形,∴BD=2,OD=1.6分
连接OB,则OB⊥CD,OB=BD·sin60°=.7分
∴V三棱锥ABDM=V三棱锥MABD=V三棱锥OABD=V三棱锥ABDO
=××OD·OB·AB
=××1××2=.12分
∴三棱锥ABDM的体积为.15分
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